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ÉQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr RESOUDRE UNE EQUATION : c'est chercher et trouver le nombre caché sous l'inconnue.



ÉQUATIONS INÉQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ÉQUATIONS RESOUDRE UNE EQUATION : C'est chercher et trouver le nombre inconnu.



SECOND DEGRE (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRE (Partie 2). I. Résolution d'une équation du second degré.



RÉSOLUTION DÉQUATIONS À LAIDE DEXCEL

Dans notre exemple B1 est la cellule qui contiendra la valeur de x. En appuyant sur Résoudre



PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. PRIMITIVES ET Méthode : Résoudre une équation différentielle du type ' = .



Mathématiques Résoudre un problème du premier degré

Mettre un problème en équation en vue de sa résolution. Compétences mathématiques : S'approprier analyser



ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. ÉQUATIONS POLYNOMIALES Méthode : Résoudre une équation du second degré dans ?.



EQUATIONS INEQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. EQUATIONS Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-produit.



RAPPEL MATHÉMATIQUE Finance 4-230-09

Pour résoudre une équation il suffit de la transformer en une équation équivalente plus simple



RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

Substituer par la valeur obtenue en 3) dans l'une ou l'autre des équations de départ. Exemple. Résoudre le système à deux variables. 2 3 8. 3 4. 5. Solution.

1

ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Partie 1 : Équations du second degré dans ℂ

Définition : Soit , et c des réels avec ≠0 et un nombre complexe.

On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre réel, noté Δ, égal à -4.

Propriété :

- Si Δ > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions réelles distinctes : et - Si Δ = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution réelle : - Si Δ < 0 : L'équation ++=0 a deux solutions complexes conjuguées : et

Démonstration :

On met le trinôme sous sa forme canonique (Voir cours de la classe de 1

ère

2

-4

4

En posant Δ=

-4 : ++=0

2

4

≠0

2

4

- Si Δ > 0 :

2

3

4

2

3

4

2

2

2

2

L'équation a deux solutions réelles : et - Si Δ = 0 : L'équation peut s'écrire :

2

=0 L'équation n'a qu'une seule solution réelle : 2 - Si Δ < 0 : L'équation peut s'écrire :

2

4

=-1)

Donc :

2

3

4

2

3

4

4

>0)

2

2

2

2

L'équation a deux solutions complexes :

et Méthode : Résoudre une équation du second degré dans ℂ

Vidéo https://youtu.be/KCnorHy5FE4

Résoudre dans ℂ les équations suivantes : a) +5=0 b) +3+4=0

Correction

a) +5=0 =-5 =5

Donc : =

5 ou =-

5

Les solutions sont donc

5 et -

5. b) On calcule de discriminant Δ du trinôme : Δ=3 -4×1×4=-7 Δ<0 donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : et 3 2 7 2 3 2 7 2 Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme ++ sont donnés par : =- et =

Exemple :

On a vu dans la méthode précédente que l'équation +5=0 possède deux racines : 5 et - 5.

Ainsi : =

5 -

5=0 et =

5×-

5D=5 En appliquant, les formules de la propriété, on retrouve ces résultats : 0 1 =0= 5 1 =5. z 2 +3z+4=0 3

Partie 2 : Équations de degré n dans ℂ

1) Définition

Définition : Une fonction polynôme (ou polynôme) est une fonction de ℂ dans ℂ de la

forme , où ≠0) sont les coefficients réels de . L'entier est appelé le degré du polynôme . Propriété : Si une fonction polynôme est nulle, alors tous ses coefficients sont nuls.

2) Racine d'un polynôme

Définition : Soit un polynôme . Un nombre complexe s'appelle racine de si

=0.

Exemple :

Les nombres complexes et - sont les racines du polynôme +1. Théorème : Soit un polynôme définie par où est un entier supérieur ou

égal à 2.

Alors il existe un polynôme de degré -1, tel que

Démonstration au programme :

- Si =0 : C'est évident. - Si =1 :

On a :

+⋯++1 1 +⋯++1 +⋯++1

En soustrayant membre à membre, on a :

-1 +⋯++1 -1 - Si ≠0 quelconque : On remplace par / dans l'égalité ci-dessus : L -1MN +1O= -1

Soit en multipliant chaque membre par

Il existe donc un polynôme

de degré -1, tel que

Corollaire : Soit un polynôme de degré . Si est une racine complexe de , alors il existe

un polynôme de degré -1, tel que ()=

Démonstration au programme :

Comme est une racine complexe de , on a : =0.

Donc :

4 Or, pour tout compris entre 1 et , il existe un polynôme de degré -1, tel que :

Donc :

Il existe donc un polynôme de degré -1, tel que : Corollaire : Un polynôme de degré admet au plus racines.

Démonstration au programme :

Supposons que les nombres complexes

sont des racines deux à deux distincts du polynôme .

Alors il existe un polynôme

tel que : ()=

Or, 0=(

) et ≠0.

Donc

=0.

Ainsi, il existe un polynôme

tel que :

Et donc :

En continuant ainsi avec des polynômes

, on obtient :

D

On en déduit que le polynôme est de degré +é( Méthode : Factoriser un polynôme dont une racine est connue

Vidéo https://youtu.be/1Y-JtI6nNXU

Factoriser dans ℂle polynôme :

+4+4.

Correction

est un polynôme de degré 3, il admet au plus 3 racines.

On cherche une racine évidente de en testant des valeurs entières " autour de 0 ». On

peut tester également ou -. Il sera ensuite aisé de déterminer la ou les autres racines qui sont au plus au nombre de 2. On constate que =-1 est une racine évidente de : -1 -1 -1 +4 -1 +4=0 Donc, il existe un polynôme de degré 2, tel que : ()= +1

On a donc :

+4+4= +1 +4+4= +1 +4+4= +4+4=

Ainsi, en procédant par identification, on a :

Y =1 +=1 +=4 =4 soit Z =1 =0 =4 5

On en déduit que :

+4.

Or, il est possible de factoriser :

+4= -2 +2

En effet :

On a ainsi : ()=

+1 -2 +2

Méthode : Résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est

connue.

Vidéo https://youtu.be/KqghKmQ9gOk

Résoudre dans ℝ l'équation

-3+1=0.

Correction

On pose

-3+1.

On voit que =1 est une racine évidente de . Donc il existe un polynôme , de degré 2,

tel que : ()=(-1)().

On a donc :

-3+1=(-1)() -3+1=(-1)( -3+1= -3+1=

Ainsi, en procédant par identification, on a :

Y =1 -=1 -=-3 -=1 soit Z =1 =2 =-1

Donc :

-1 +2-1

L'équation

-3+1=0 peut s'écrire -1 +2-1 =0.

Soit : -1=0 ou

+2-1=0 =1 Δ=8 -2- 8 2 =-1- 2 ou =-1+ 2 =^-1- 2;-1+ 2;1`quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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