[PDF] Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux

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Ch 1. Ensembles et d´enombrementI. EnsemblesD´efinition 1Un ensemble est une collection de choses

qu"on appelle´el´ements. L"ensemble vide est not´e∅. Dans la suite, on consid`erera toujours un ensemble universel Ω(on lit"grand om´ega"), et tous les ensembles consid´er´es seront des parties deΩ. On noteP(Ω)l"ensemble des parties deΩ. Exemple. D´efinition 2SoientAetBdeux ensembles. On d´efinit : -A?B, l"union deAetB, est l"ensemble des´el´ements qui sont dansAou dansBou dans les deux. -A∩B, l"intersection deAetB, est l"ensemble des´el´e- ments qui sont dansAet dansB. -A\B, la diff´erenceAmoinsB, est l"ensemble des´el´e- ments qui sont dansA, mais pas dansB. -AΔB, la diff´erence sym´etrique deAetB, l"ensemble des´el´ements qui sont soit dansAsoit dansB, mais pas dansA∩B. -Acou A, le compl´ementaire deA, l"ensemble des´el´e- ments qui ne sont pas dansA. 1 On repr´esente graphiquement, d´es que c"est possible, les ensembles grˆace`ades diagrammes de Venn.

Proposition 3Premi`eres relations :

- commutativit´e:A∩B=B∩A,A?B=B?A. - associativit´e:A∩(B∩C) = (A∩B)∩C=

A∩B∩C,A?(B?C) = (A?B)?C=A?B?C.

- distributivit´e:(A?B)∩C= (A∩C)?(B∩C),

A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C).

-(A?B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac?Bc

Proposition 4 (R`egles de De Morgan)

n? i=1A i? ∩B=n? i=1(Ai∩B) n? i=1A i? ?B=n? i=1(Ai?B) n? i=1A i? c=n? i=1Aci,? n? i=1A i? c=n? i=1Aci

D´efinition 5SoientAetBdeux ensembles. On pose

C={(a,b) :a?A,b?B}. On appelleCl"ensemble

produit deAetBet on le noteA×B. 2 (exemples, g´en´eralisation) v´erifie les deux conditions : -Ai∩Aj=∅pour tousi?=j n? i=1A i= Ω (exemples, g´en´eralisation) D´efinition 7SoitA?Ω. On d´efinit surΩla fonction indicatrice deA,1lA, par : ?ω?Ω,1lA(ω) =?1siω?A

0sinon

(exemple) 3

II. Cardinaux

D´efinition 8SoitAun ensemble fini. Le cardinal deA, not´e|A|, est le nombre d"´el´ements que contientA. (exemple)

Proposition 9Additivit´e

SoientAetBdeux ensembles finis, disjoints (c"est-`a-dire

A∩B=∅). Alors

|A?B|=|A|+|B|

Proposition 10Multiplicativit´e

SoientAetBdeux ensembles finis, etC=A×B. Alors

|C|=|A| · |B| (preuve)

Corollaire 11Principe du d´enombrement

On r´ealise deux exp´eriences qui peuvent produire respec- tivementnetmr´esultats diff´erents. Au total, pour les deux exp´eriences prises ensemble, il existen.mr´esultats possibles. Corollaire 12SoitAun ensemble fini de cardinaln. Le nombre de suites de longueurrconstitu´ees d"´el´ements de

Aestnr.

4

Proposition 13 (Inclusion-exclusion)SoientAetB

deux ensembles finis. |A?B|=|A|+|B| - |A∩B| Plus g´en´eralement, pournensembles finisA1,...,An, |A1? ··· ?An|=n? i=1|Ai| -? iIII. D´enombrement D´efinition 14SoitAun ensemble fini. Une permutation deAest une mani`ere d"ordonner, d"arranger les´el´ements deA. La formulation math´ematique est : une permutation deAest une bijection deAdansA. Th´eor`eme 15Il y an!permutations d"un ensemble de cardinaln. preuve : clair par le principe du d´enombrement.♣ exemple : combien existe-t-il d"anagrammes de PROBA? 5 Th´eor`eme 16Soientnobjets distinguables. Le nombre de permutations derobjets, pris parmi lesnobjets, est A r n=n! (n-r)! (on dit aussi arrangement derobjets pris parmin) preuve :pour la premi`ere place, il y anobjets possibles, pour la seconde,(n-1)objets possibles, pour la derni`ere,(n-r+ 1)objets possibles. Au total,n(n-1)...(n-r+ 1)possibilit´es, par le principe du d´enombrement.♣ Th´eor`eme 17Le nombre de mani`eres de choisirp´el´e- ments parmin(sans tenir compte de l"ordre) est n p?=n! p!(n-p)! Autrement dit, c"est le nombre de parties`ap´el´ements pris parmin´el´ements. On appelle parfois ces parties des combinaisons dep´el´ements pris parmin. preuve : on regarde le nombre de permutations de cesp ´el´ements et on obtientp!arrangements. Il y a doncp!fois plus d"arrangements que de combinaisons.♣ 6

Proposition 181)?n

p?=?n n-p? 2) ?n p?=?n-1 p?+?n-1 p-1?

3)(x+y)n=?np=0?n

p?xpyn-p Corollaire 19SoitΩun ensemble fini de cardinaln. Le cardinal deP(Ω)vaut2n. preuve : il existe 1 partie`a0´el´ement, il existenparties`a1´el´ement, il existe?n p?parties`ap´el´ements, il existe 1 partie`an´el´ements.

Finalement, le nombre total de parties est

n p=0? n p?=n? p=0? n p?1r1n-r= (1 + 1)n= 2n Th´eor`eme 20On consid`erenobjets, parmi lesquelsn1 sont indistinguables,...,nrsont aussi indistinguables. Le nombre de permutations diff´erentes estn! n1!···nr! exemple : combien d"anagrammes de STAT? 4!/2!=12 7 exemple :r´esultat du loto (6 num´eros). - mani`ere de voir 1 : on regarde en direct le tirage du loto et on obtient un arrangement de 6 nombres pris dans {1,...,49}. On a alorsω= (x1,...,x6): les 6 nom- bres sortis avec leur ordre d"arriv´ee. Quel est le nombre de tirages diff´erents? A 6

49= 49?48?47?46?45?44 = 10.068.347.520

Mais on peut gagner les 6 bons num´eros quel que soit l"or- dre de sortie des 6 num´eros... - mani`ere de voir 2 : on regarde les 6 nombres sortis sans s"occuper de l"ordre d"arriv´ee.On a alorsω={x1,...,x6}. D"o`uΩest l"ensemble des combinaisons de 6 nombres pris dans{1,...,49}.

Quel est le nombre de tirages diff´erents?

49

6?=49?48?47?46?45?44

6?5?4?3?2= 13.983.816

remarque :(1,2,3,4,5,6)?= (2,1,3,4,5,6), mais {1,2,3,4,5,6}={2,1,3,4,5,6} 8

Ch 2. Le mod`ele probabiliste

I. Ensemble fondamental et ´ev´ene-

ments D´efinition 21Une exp´erience al´eatoire est une action, une proc´edure, qui donne un r´esultat impr´evisible, mais dont on connaˆıt pr´ecis´ement l"ensemble des r´esultats pos- sibles. Cet ensemble, not´eΩ, est appel´eensemble fonda- mental ou univers ou ensemble des possibles.

Exemples :

- lancer d"un d´e. On observera un r´esultatk? {1,...,6}. - sondageaupr`es de 1000 utilisateursd"un t´el´ephoneportable.

On observera le nombre d"abonn´es`aorange.

- questionnaire`a100 r´eponses binaires. On observera des suitesωde 100 r´eponses prisesdans{0,1};ω? {0,1}100. - parcours d"un taxi. On observera une fonction continue (trajectoire). - mise en service d"un ordinateur. On observera sa dur´ee de fonctionnement qui appartient`aR+. 9 D´efinition 22Onappelle´ev´enement´el´ementairetout´el´e- mentωdeΩ. C"est un r´esultat possible de l"exp´erience al´eatoire. On appelle´ev´enement toute partie deΩ. Pour d´esigner des´ev´enements, on utilisera souvent des let- tres capitales du d´ebut de l"alphabet (A,B,...). Exemples : - on lance un d´e. AlorsΩ ={1,...,6}. L"´ev´enementA:"on obtient un chiffre pair"est consti- tu´edes trois´ev´enements´el´ementaires 2, 4 et 6. On a :

A={2,4,6}.

- on lance trois fois une pi`ece de monnaie. Il est bon que les´ev´enements´el´ementaires d´ecrivent le plus pr´ecis´ement possible le r´esultat de cette exp´erience. On choisit donc de d´ecrireωpar un triplet(r1,r2,r3)qui donne les r´esul- tats des trois lancers (dans l"ordre). L"´ev´enementB:"on obtient pile au deuxi`eme lancer"est

B={(f,p,f),(f,p,p),(p,p,f),(p,p,p)}

Il n"est parfois pas n´ecessaire de connaˆıtre tous ces d´etails. On pourra aussi choisir :ωrepr´esente le nombre de"face" obtenus. Alors,Ω ={0,1,2,3}. Le mod`ele est beau- coup plus simple, mais ne permet pas de d´ecrire des´ev´ene- ments tels queB. Et les calculs qui vont suivre ne sont pas forc´ement simples, eux. Il existe plusieurs mani`eres de mod´eliser l"ensemble fonda- mental. Le choix du mod`ele est un des aspects difficiles de ce cours. 10

Vocabulaire probabiliste

Nous allons manipuler des ensembles, mais en utilisant un vocabulaire propre aux probabilit´es. Si le r´esultatωde l"exp´erience al´eatoire appartient`aA, on dit queωr´ealiseA, ou queAest r´ealis´e. Ainsi,Ω, qui est toujours r´ealis´e, est appel´e ´ev´enement certain. Et∅, qui n"est jamais r´ealis´e, est appel´e ´ev´enement impossible.

SiAetBsont deux´ev´enements,

-A?Bse dit"AimpliqueB"(car siAest r´ealis´e,B aussi), -A?Bse dit"AouB"(car siA?Best r´ealis´e,Aou

Best r´ealis´e),

-A∩Bse dit"AetB", -Acest l"´ev´enement contraire deA, -A∩B=∅se dit"AetBsont incompatibles", ou encore disjoints. Exemple : On lance un d´e. On poseΩ ={1,...,6}. Soit Al"´ev´enement"on obtient un chiffre pair". Le contraire de A,Ac, est l"´ev´enement"on obtient un chiffre impair". 11

II. Probabilit´es

Pensez`aquelques phrases de la vie courante qui conti- ennent le mot"probabilit´e". On constate qu"on parle tou- jours de la probabilit´ed"un´ev´enement. Consid´erons donc un´ev´enementA. Que repr´esente la probabilit´edeA, not´ee

P(A)? Il existe plusieurs mani`eres de voir.

- Proportion : On lance un d´e. Quelle est la probabilit´edeA="obtenir un chiffre pair"? Chaque face du d´ea la mˆeme chance, et il y en a 6. Quant aux chiffres pairs, ils sont 3. D"o`u, intuitivement,P(A) =3

6= 1/2.

- Fr´equence : On lance une pi`ece de monnaie. Quelle est la probabilit´e d"obtenir FACE? On lance une pi`ece un grand nombre de fois. Notonsknle nombre de FACE obtenus en lan¸cantn fois la pi`ece. Alors

P(FACE) = limn→+∞k

n n - Opinion : Quelle est la probabilit´epour que les´etudiants votent au second tour des pr´esidentielles? Quelle est la probabilit´e pour que l"´equipe de Montceau gagne la coupe? pour que l"OL soit championne de France? 12 D´efinition 23Soit une exp´erience al´eatoire etΩl"espace des possibles associ´e. Une probabilit´esurΩest une appli- cation, d´efinie sur l"ensemble des´ev´enements, qui v´erifie : - axiome 2 : pour toute suite d"´ev´enements(Ai)i?N, deux `adeux incompatibles, P i?NA i? i?NP(Ai) - axiome 3 :P(Ω) = 1 Remarque : les´ev´enements(Ai)i?Nsont deux`adeux in- compatibles, si pour tousi?=j,Ai∩Aj=∅. D´efinition 24Soit une exp´erience al´eatoire mod´elis´ee par un espace des possiblesΩet une probabilit´eP. On appelle le couple(Ω,P)un espace de probabilit´e. Corollaire 25SiΩest d´enombrable (c"est-`a-dire fini ou en bijection avecN), on peut num´eroter les´ev´enements ´el´ementairesω1,ω2,.... Les´ev´enements´el´ementaires sont deux`adeux incompatibles, et pour tout´ev´enementA, on peut´ecrireA=?ω?A{ω}et, d"apr`es le deuxi`eme ax- iome,

P(A) =?

ω?AP(ω)

13 Que signifie"un´ev´enementAa pour probabilit´e..."?

0.95 :Ava tr`es probablement se produire.

0.03 :Aa tr`es peu de chance d"ˆetre r´ealis´e.

4.0 : incorrect.

-2 : incorrect.

0.4 :Ava se produire dans un peu moins de la moiti´edes

essais.

0.5 : une chance sur deux.

0 : aucune chance queAsoit r´ealis´e.

Proposition 26SoientAetBdeux´ev´enements.

1) SiAetBsont incompatibles,

P(A?B) =P(A) +P(B).

2)P(Ac) = 1-P(A).

3)P(∅) = 0.

5)P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B).

(preuve) 14 Exemple :Trois´ev´enementsA,BetCsont repr´esent´es sur ce diagramme.

Calculons

-P(A) -P(B∩Cc) -P(A?B) - la probabilit´epour que`ala foisBetCsoient r´ealis´es -Cest r´ealis´e, mais pasB - exactement l"un des trois´ev´enements est r´ealis´e. 15

III. La probabilit´e uniforme

D´efinition 27Consid´erons une exp´erience al´eatoire, dont l"ensemble fondamentalΩest fini, et telle que chaque ´ev´enement´el´ementaire a la mˆeme probabilit´e. On parle, dans ce cas, d"´ev´enements´el´ementaires´equiprobables. No- tonspla probabilit´ecommune des´ev´enements´el´emen- taires. Alors

1 =P(Ω) =?

ω?ΩP(ω) =?

ω?Ωp=p× |Ω|

D"o`up=P(ω) =1

|Ω|, pour toutω. La probabilit´eainsi d´efinie sur l"ensembleΩs"appelle probabilit´euniforme. Proposition 28Dans le cadre de la probabilit´euniforme, la probabilit´ed"un´ev´enementAse calcule facilement :

P(A) =?

ω?AP(ω) =|A|

Attention! Cette formule n"estvalableque lorsqueles´ev´ene- ments´el´ementaires sont bien´equiprobables. 16 Exemple : on lance deux d´es distinguables. On mod´elise cette exp´erience`al"aide de l"ensemble des possiblesΩ = de sym´etrie, les probabilit´es des´ev´enements´el´ementaires peuventˆetre suppos´ees toutes´egales`a1/|Ω|= 1/36. Calculons la probabilit´ede voir apparaˆıtre au moins un as.

NotonsAcet´ev´enement.

P(A) = 1-P(Ac) = 1-|Ac|

= 1-52

62= 11/36 = 0.6944

Exemple : quand on lance deux d´es, la probabilit´ed"obtenir un 3 et un 4 est sup´erieure`ala probabilit´ed"obtenir un double 6. En effet, notonsAle premier´ev´enement consid´er´eetBle second. Visiblement,Aest de cardinal 2, alors queBest de cardinal 1. 17 Exemple : le prince de Toscane avait constat´equ"il obtenait plus souvent 11 que 12 avec trois d´es. Pourtant, le nombre de combinaisons dont la somme fait 12 est le mˆeme que le nombre de combinaisons dont la somme fait 11. Alors? Les

6 combinaisons qui donnent 11 sont

Les 6 combinaisons qui font 12 sont

Nous avons le choix entre deux univers diff´erents :

1={triplets(a,b,c)}(on distingue les d´es et on note

leurs r´esultats toujours dans le mˆeme ordre.

2: ensemble des r´esultats{a,b,c}, sans pr´eciser l"ordre

d"apparition des chiffres. Dans le cas d"Ω1, les´ev´enements´el´ementaires sont´equiprob- ables et ont tous la probabilit´e1/216... ce qui n"est pas vrai pourΩ2. En effet, l"´ev´enement´el´ementaire{1,5,5} correspond`a3 triplets(1,5,5),(5,1,5),(5,5,1); sa probabilit´evaut donc3/216. Par contre,{1,1,1}ne correspond qu"`aun triplet(1,1,1)et sa probabilit´evaut donc1/216. Comme la probabilit´esurΩ2n"est pas uni- forme, il ne suffit pas de compter le nombre de cas favor- ables. Finalement, on obtient 11 avec la proba27/216et

12 avec la probabilit´e25/216.

18

CH 3. Ind´ependance etconditionnement

I. Probabilit´es conditionnelles

Exemple : on lance deux d´es (Ω ={1,...,6}2et proba- bilit´euniforme). Supposons qu"on puisse savoir que le pre- mier d´efait 3. Quelle est dans ce cas la probabilit´epour que la somme des d´es fasse 8? Comme le d´einitial fait 3, il n"y a plus que 6´ev´enements´el´ementaires : (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6). Comme chacun de ces´ev´enements a la mˆeme probabilit´ed"apparaˆıtre dans l"exp´erience de d´epart (1/36), on peut imaginer qu"ils ont toujours la mˆeme prob- abilit´ed"aparaˆıtre, soit 1/6. Dans le mˆeme temps, les autres ´ev´enements´el´ementaires voient leur probabilit´epasser`a0. Et finalement, sachant que le premier d´efait trois, la prob- abilit´epour que la somme des deux soit 8 vaut 1/6.

D´efinition 29

´Etant donn´es deux´ev´enementsAetB,

avecP(B)>0, on appelle probabilit´edeAcondition- nellement`aB, ou sachantBla probabilit´enot´eeP(A|B) d´efinie par

P(A|B) =P(A∩B)

P(B) 19

On peut´ecrire aussiP(A∩B) =P(A|B)P(B).

Utilisation 1 : quandP(B)etP(A∩B)sont faciles`a calculer, on peut en d´eduireP(A|B).

Utilisation 2 : quandP(A|B)etP(B)sont faciles`a

trouver, on peut obtenirP(A∩B). Exemple : On veut regarder l"influenced"une surchargepond´erale sur l"hypertension. surcharge poids normal hypertension0,10 0,10 pas d"hypertension0,15 0,65 SoitΩ ={S,¯S} × {H,¯H}l"ensemble des 4 r´esultats pr´esents dans le tableau, accompagn´es de leurs probabil- it´es. SoitAl"´ev´enement"vous avez une surcharge pond´erale", B"vous faites de l"hypertension". Quelle est la probabilit´e

P(B|A)?

L"´ev´enementAest constitu´ede deux´ev´enements´el´emen- taires :A={(S,H),(S,¯H)}. Et

P(A) =?

ω?AP(ω) =P((S,H))+P((S,¯H)) = 0,25

P(B|A) =P(A∩B)

P(A)=0,100,25= 0,4

Influence?

Exemple : une urne contientrboules rouges etvboules vertes. On en tire deux, l"une apr`es l"autre (sans remise). Quelle est la probabilit´ed"avoir deux boules rouges? ChoisissonsΩqui d´ecrit les r´esultats de l"exp´erience.

Ω ={rouge,verte} × {rouge,verte}

SoitAl"´ev´enement"la premi`ere boule est rouge"etB l"´ev´enement"la seconde boule est rouge".

P(A∩B) =P(B|A)P(A) =r-1

r+v-1·rr+v Proposition 30SoitBun´ev´enement tel queP(B)>

0. Alors la probabilit´econditionnelle sachantB,P(.|B),

est une nouvelle probabilit´e. (preuve) Corollaire 31SoitAun´ev´enement tel queP(A)>0.

1)?,P(Bc|A) = 1-P(B|A),P(∅|A) = 0.

2) SiB?A,P(B|A) = 1.

3) Pour tousBetC,

P(B?C|A) =P(B|A)+P(C|A)-P(B∩C|A)

4) ...

20 peut calculer la probabilit´ede leur intersection en condi- tionnant successivement grˆace`ala formule :

P(E1∩E2∩ ··· ∩En) =

P(E1)P(E2|E1)···P(En|E1∩ ··· ∩En-1) (preuve :`arendre) Proposition 33 (Formule des probabilit´es totales) Soit(Ai)i?Iune partition deΩ. Pour tout´ev´enementB, on aquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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