[PDF] VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

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T aleSpé MathsG-01-VECTEURS, DROITES ET PLAN DE L"ESPACEVECTEURS, DROITES ET PLANS DE L"ESPACETerminale Spé Maths-Chapitre G-01Table des matières

IPositions relatives dans l"espace2

1)Positions relatives de deux droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2)Positions relatives de deux plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3)Positions relatives d"une droite et d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

IIVecteurs de l"espace3

1)Du plan à l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2)vecteurs colinéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3)vecteurs coplanaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IIIDroites et plans de l"espace6

1)Caractérisation vectorielle d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2)Caractérisation vectorielle d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

IVBase et repérage dans l"espace7

1)Bases de l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2)Repère de l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3)Coordonnées dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4)Calculs sur les coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

VReprésentations paramétriques9

1)Représentation paramétrique d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2)Représentation paramétrique d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Polycopié de cours de N. PEYRATP age1 sur10 Lyc éeSain t-Charles

T aleSpé MathsG-01-VECTEURS, DROITES ET PLAN DE L"ESPACEIP ositionsrelatives dans l"espac e 1)

P ositionsrelatives de deux droites

Deux droites de l"espace peuvent être :COPLANAIRES :

SÉCANTESPARALLÈLES

d∩d′={A} detd′sont sécantes enA.d∩d′=∅ detd′sont (strictement) parallèles.d∩d′=d=d′ detd′sont confondues.NON COPLANAIRES : d∩d′=∅ detd′sont non coplanaires.2)P ositionsrelatives de deux plans Deux plans de l"espace peuvent être :SÉCANTSPARALLÈLES

P∩P′=d

PetP′sont sécants end.P∩P′=∅

PetP′sont (strictement)

parallèles.P∩P′=P=P′ PetP′sont confondus.3)P ositionsrelatives d"une droite et d"un plan Une droite et un plan de l"espace peuvent être :SÉCANTSPARALLÈLES d∩P={A} detPsont sécants enA.d∩P=∅ detPsont (strictement) parallèles.d∩P=d dest incluse dansP(d⊂P).Polycopié de cours de N. PEYRATP age2 sur10 Lyc éeSain t-Charles T aleSpé MathsG-01-VECTEURS, DROITES ET PLAN DE L"ESPACEIIV ecteursde l"espace 1)

Du plan à l"espace

On étend à l"espace la notion de vecteurs :Soient deux points distinctsAetBde l"espace. Le vecteur--→ABa pour :

•direction : celle de la droite(AB); •sens : deAversB; •longueur (ounorme) : la distanceAB. On la note||--→AB||ou plus simplementAB.DÉFINITION

SiAetBsont confondus, alors le vecteur--→AB=-→AA=-→0, appelé vecteur nul. Sa norme vaut0et il

n"a ni direction, ni sens.REMARQUE

On étend également à l"espace les opérations associées aux vecteurs (addition de deux vecteurs, multiplication

d"un vecteur par un réel). Les règles de calcul sont les mêmes que dans le plan, et la relation de Chasles aussi :•Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et même norme.

•--→AB=--→CD⇐⇒ABDCest un parallélogramme (éventuellement aplati).

•Pour tout pointAde l"espace et tout vecteur-→u, il existe un unique pointBtel que--→AB=-→u.

•Latranslationde vecteur--→ABest la transformation qui à tout pointCassocie le pointDtel que--→CD=--→AB.PROPRIÉTÉadmise

Règles de calculs :

Soitkun réel et-→uun vecteur de l"espace : •k-→u= 0⇐⇒k= 0ou-→u=-→0.

•Si-→u̸= 0etk̸= 0, alors le vecteurk-→ua la même direction que le vecteur-→u, le même sens que-→u

sik >0,et le sens contraire sik <0. Enfin,||k-→u||=|k| × ||-→u||.

SoientA,B,CetDquatre points de l"espace :

•--→AB+--→BC=-→AC(relation de Chasles). •--→AB+-→AC=--→AD⇐⇒ABDCest un parallélogramme. Soitketk′deux réels et-→uet-→vdeux vecteurs de l"espace : •-→u--→v=-→u+ (--→v); •k(-→u+-→v) =k-→u+k-→v;

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T aleSpé MathsG-01-VECTEURS, DROITES ET PLAN DE L"ESPACE2)vecteurs colinéaires

Soient

-→uet-→vdeux vecteurs non nuls de l"espace.

On dit que les vecteurs-→uet-→vsontcolinéairessi et seulement si il existe un réelktel que-→u=k-→v.DÉFINITION

•On dit alors que les vecteurs-→uet-→vont même direction.

•Le vecteur nul-→0est colinéaire à tous les vecteurs de l"espace (puisque-→0 = 0-→u).REMARQUES

SoientA,B,CetDquatre points de l"espace.

•Les pointsA,B, etCsont alignés si et seulement si les vecteurs--→ABet-→ACsont colinéaires.

•Les droites(AB)et(CD)sont parallèles si, et seulement si les vecteurs--→ABet--→CDsont colinéaires.PROPRIÉTÉadmise

3) vecteurs coplanaires a

Définition Soient

-→u,-→vet-→wtrois vecteurs de l"espace.

On dit que les vecteurs-→u,-→vet-→wsontcoplanairessi pour tout point quelconqueOde l"espace, les

pointsO,A,BetCtels que-→u=-→OA,-→v=--→OBet-→w=--→OCsont dans un même plan.DÉFINITION

Si deux vecteurs parmi les trois vecteurs⃗u,⃗vet⃗wsont colinéaires, alors⃗u,⃗vet⃗wsont nécessairement

coplanaires. En effet, si⃗uet⃗vsont colinéaires, les pointsO,AetBsont alignés. Donc il existe au moins

un plan qui contient la droite(OA)et le pointC, et les vecteurs⃗u,⃗vet⃗wsont donc bien coplanaires.REMARQUE

b

Com binaisonli néaire

Soient deux vecteurs de l"espace⃗uet⃗v.

On dit que le vecteur⃗west unecombinaison linéairedes vecteurs⃗uet⃗vsi et seulement si il existe

deux réelsαetβtels que⃗w=α⃗u+β⃗v.DÉFINITION

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T

aleSpé MathsG-01-VECTEURS, DROITES ET PLAN DE L"ESPACE•Si⃗uet⃗vsont colinéaires, alors il existe un réelktel que⃗u=k⃗vet par suite, les vecteurs⃗w,⃗uet⃗v

sont colinéaires. •On peut faire des combinaisons linéaires de plus de deux vecteurs.REMARQUES c

Théorème

Soient⃗u,⃗vet⃗wtrois vecteurs tels que⃗uet⃗vne sont pas colinéaires.

Les vecteurs⃗u,⃗vet⃗wsont coplanaires si et seulement si il existe deux réelsaetbtels que⃗w=a⃗u+b⃗v.THÉORÈME

On reprend les notations de la figure ci-dessus.

Puisque⃗uet⃗vne sont pas colinéaires, alors ce sont deux vecteurs directeurs du plan(OAB).

Par définition, "⃗u,⃗vet⃗wsont coplanaires » signifie queCappartient au plan(OAB).

D"après le théorème dua), il existe alors deux réelsaetbtels que--→OC=a-→OA+b--→OB, soit⃗w=a⃗u+b⃗v.DÉMONSTRATION

Conséquences :

•Quatre pointsA,B,CetDsont coplanaires⇔les vecteurs--→AB,-→ACet--→ADsont coplanaires.

•Les droites(AB)et(CD)sont coplanaires⇔les vecteurs--→AB,-→ACet--→ADsont coplanaires.

•Deux plans sont parallèles⇔deux vecteurs non colinéaires de l"un et deux vecteurs non colinéaires

de l"autre sont coplanaires.PROPRIÉTÉSadmises d

V ecteurslinéairemen tindép endants

Soient⃗u,⃗vet⃗wtrois vecteurs de l"espace.

On dit que les vecteurs⃗u,⃗vet⃗wsontlinéairement indépendantssi l"un des vecteurs n"est pas une

combinaison linéaire des deux autres.DÉFINITION Soient⃗u,⃗vet⃗wtrois vecteurs de l"espace.

Les vecteurs⃗u,⃗vet⃗wsont linéairement indépendants si et seulement si l"égalitéa⃗u+b⃗v+c⃗w=⃗0

impliquea=b=c= 0.PROPRIÉTÉ

Cette propriété étant la contraposée du théorème précédent, sa démonstration est immédiate.DÉMONSTRATION

Trois vecteurs sontlinéairement indépendantssi et seulement si ils ne sontpas coplanaires.REMARQUE

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T aleSpé MathsG-01-VECTEURS, DROITES ET PLAN DE L"ESPACEIIIDroites et plans de l"espace 1)

Ca ractérisationvecto rielled"une droite On appellevecteur directeurd"une droitedde l"espace, tout vecteur-→unon nul dont la direction

est celle de la droited.

SiAest un point dedet-→uun vecteur directeur ded, alors on dit que(A,-→u)est unrepèreded.DÉFINITION

SoientAetBdeux points distincts de l"espace.

La droite(AB)est l"ensemble des pointsMde l"espace tels que les vecteurs--→AMet--→ABsont colinéaires,

c"est-à-dire s"il existe un réelktel que--→AM=k--→AB.PROPRIÉTÉadmise 2)

Ca ractérisationvecto rielled"un plan

a Propriété et définition SoientA,BetCtrois points non alignés dans l"espace.

Le plan(ABC)est l"ensemble des pointsMpour lesquels les vecteurs--→AM,--→ABet-→ACsont coplanaires

(c"est-à-dire il existe deux réelsxetytels que--→AM=x--→AB+y-→AC)PROPRIÉTÉadmise

Soient

-→uet-→vdeux vecteurs non colinéaires d"un planP, etAun point deP.

On dit alors que(A;-→u ,-→v)est unrepèredu planPet que(-→u ,-→v)est unebasede ce plan.DÉFINITION

b

Direction d"un plan

SoitPun plan de l"espace. On appelledirectiondu planPl"ensemble des vecteurs--→AB, oùAetB sont deux points distincts et quelconques appartenant àP.DÉFINITION c

Commen tdéfinir un plan

Un plan peut être défini soit :

•par trois points distincts non alignés; •par une droite et un point n"appartenant pas à cette droite; •par deux droites sécantes; •par deux droites strictement parallèles.DÉFINITION

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T aleSpé MathsG-01-VECTEURS, DROITES ET PLAN DE L"ESPACEIVBase et rep éragedans l"espace 1)

Bases de l"espace Une base de l"espace est formée par trois vecteurs non coplanaires.DÉFINITION

Soit(⃗ı,⃗ȷ,⃗k)une base de l"espace.

Pour tout vecteur⃗u, il existe un unique triplet de réels(x;y;z)tel que⃗u=x⃗ı+y⃗ȷ+z⃗k.PROPRIÉTÉ

1) Existence :

SoitOun point de l"espace etMle point tel que--→OM=-→u.Les vecteurs⃗ı,⃗ȷet⃗kétant non coplanaires, le plan(O;⃗ı,⃗ȷ)et la droite∆(M;⃗k)ne sont pas parallèles.

SoitM′le point d"intersection plan(O;⃗ı,⃗ȷ)et de la droite∆. M

′est un point du plan(O;⃗ı,⃗ȷ)donc il existe deux réelsxetytels que---→OM′=x⃗ı+y⃗ȷ.

Les vecteurs---→MM′et⃗ksont colinéaires, il existe donc un réelztel que---→MM′=z⃗k.

Or d"après la relation de Chasles,--→OM=---→OM′+---→M′Mdonc--→OM=x⃗ı+y⃗ȷ+z⃗k.

2) Unicité :

Supposons qu"il existe un autre triplet de réels(x′;y′;z′)tel que-→u=x′-→ı+y′-→ȷ+z′-→k=x-→ı+y-→ȷ+

z-→k. Alors(x-x′)-→ı+ (y-y′)-→ȷ+ (z-z′)-→k=-→0.

Or les vecteurs-→ı,-→ȷet-→kne sont pas coplanaires, doncx=x′,y=y′etz=z′.DÉMONSTRATION

2)

Rep èrede l"espace

Un repère de l"espace est un quadruplet composé d"un pointO(origine du repère) et d"une base(⃗ı,⃗ȷ,⃗k)

de l"espace. On le note(O;⃗ı,⃗ȷ,⃗k).DÉFINITION

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T aleSpé MathsG-01-VECTEURS, DROITES ET PLAN DE L"ESPACE3)Co ordonnéesdans l"espace Soit(0;⃗ı,⃗ȷ,⃗k)un repère de l"espace.

Soit⃗uun vecteur de l"espace etx,yetzles réels tels que⃗u=x⃗ı+y⃗ȷ+z⃗k.

Alors le triplet(x;y;z)représente les coordonnées du vecteur⃗udans le repère(0;⃗ı,⃗ȷ,⃗k).

xest l"abscisse,yl"ordonnéeetzlacotedu vecteur⃗udans ce repère. Soit enfinMle point de l"espace tel que⃗u=--→OM. AlorsMa aussi pour coordonnées(x;y;z)dans ce repère.THÉORÈMEadmis

Soient deux vecteurs

-→u(x;y;z)et-→v(x′;y′;z′)dans une base de l"espace et soitαun réel. •-→u+-→va pour coordonnées dans cette base(x+x′;y+y′;z+z′). •α-→ua pour coordonnées(αx;αy;αz).PROPRIÉTÉSadmises 4)

Calculs sur les co ordonnées

Tous les résultats établis en géométrie plane s"étendent à l"espace par l"adjonction d"une 3

ecoordonnée :Dans un repère(0;⃗ı,⃗ȷ,⃗k):

•Si⃗uet⃗vont pour coordonnées respectives(x;y;z)et(x′;y′;z′), alors :

- Pour tout réelk, le vecteurk⃗ua pour coordonnées(kx;ky;kz). - Le vecteur⃗u+⃗va pour coordonnées(x+x′;y+y′;z+z′). •SiAetBont pour coordonnées respectives(xA;yA;zA)etxB;yB;zB), alors : - Le vecteur--→ABa pour coordonnées(xB-xA;yB-yA;zB-zA). - Le milieuIdu segment[AB]a pour coordonnéesxA+xB2 ;yA+yB2 ;zA+zB2 .PROPRIÉTÉSadmises Dans un repère orthonormé(0;⃗ı,⃗ȷ,⃗k): ||⃗u||=px

2+y2+z2

AB=||--→AB||=p(xB-xA)2+ (yB-yA)2+ (zB-zA)2.PROPRIÉTÉadmise

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T aleSpé MathsG-01-VECTEURS, DROITES ET PLAN DE L"ESPACEVRep résentationspa ramétriques

Dans toute cette partie, l"espace est muni d"un repère(0;⃗ı,⃗ȷ,⃗k)quelconque.

1)

Rep résentationpa ramétriqued"une droite Soitdune droite passant par le pointA(xA;yA;zA)et dirigée par le vecteur⃗u(a;b;c).

Alorsdest l"ensemble des pointsM(x;y;z)tels que :

x=xA+at y=yA+bt z=zA+ct,t∈R.THÉORÈME

M(x;y;z)∈dsi et seulement si il existe un réelttel que--→AM=t⃗u, si et seulement si :

•Le système obtenu est appeléune représentation paramétriquede la droiteddans le repère

(0;⃗ı,⃗ȷ,⃗k).test appelé le paramètre. (On peut utiliser toute autre lettre)

•A chaque valeur det, on associe un pointM(xA+at;yA+bt;zA+ct)et un seul.

Réciproquement, à chaque pointMdedcorrespond une unique valeur dettel que--→AM=t⃗u.REMARQUES

Conséquence :

Si

x=x0+at y=y0+bt z=z0+ct,t∈Rest une représentation paramétrique d"une droited, alors on peut affirmer

quedpasse par le pointA(x0;y0;z0)et que⃗u(a;b;c)est un vecteur directeur ded.PROPRIÉTÉadmise

Soitdune droite dont une représentation paramétrique est :d: x= 2t y=t-1 z=t+ 2,t∈R. 1. Déterminer les co ordonnéesd"un p ointMquelconque de la droited. 2. Le p ointP(-6;-4;-1)appartient-il à la droited?EXEMPLE

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T aleSpé MathsG-01-VECTEURS, DROITES ET PLAN DE L"ESPACESoientA(1;-2;3)etB(0;0;1). 1. Déterminer une repré sentationparamétrique de (AB).

2.C(-3;6;-5)etD(2;-5;5)appartiennent-ils à la droite(AB)?

3. Déterminer l"in tersectionde la dro ite(AB)avec le plan(O;⃗ı,⃗ȷ).EXERCICE 2)

Rep résentationpa ramétriqued"un plan

SoitPun plan caractérisé par un pointA(xA;yA;zA)et deux vecteurs⃗u(a;b;c)et⃗v(α;β;γ)non

colinéaires.

AlorsPest l"ensemble des pointsM(x;y;z)tels que :

x=xA+at+αt′ y=yA+bt+βt′ (représentation paramétrique deP)THÉORÈME

M(x;y;z)∈Psi et seulement si il existe deux réelstett′tels que--→AM=t⃗u+t′⃗v, si et seulement si

x-xA=at+αt′,y-yA=bt+βt′etz-zA=ct+γt′, d"où le résultat.DÉMONSTRATION

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