[PDF] Géométrie dans lespace - Lycée dAdultes

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Exercices29 mai 2016

Géométrie dans l"espace

Droites et plans

Exercice1

Soit un cube ABCDEFGH et un plan (IJK) tel que :

EI=2

3---→EH,--→AJ=23---→AB et--→FK=14--→FG

Déterminer l'intersection du plan (IJK) avec le cube ABCDEFGH. A BC DE F G H ?I J? K

Exercice2

ABCDEFGH est un cube d'arête 8 cm.

M, N et P sont les points respectivement

des arêtes [GH], [EF] et [AB] tels que :

EN=MG=PB=2 cm

1) a) Construire les points Q et R, in-

tersections du plan (MNP) avec les arêtes [BC] et [CG] b) Vérifier que la section du cube par le plan (MNP) est un pentagone

2) a) Calculer la longueur des côtés du

pentagone b) Dessiner ce pentagone en vraie gran- deur. A BC DE F G H ?M N P paul milan1 TerminaleS exercices

Exercice3

Soit un tétraèdre ABCD et un plan (EFG)

tel que : •E est le centre de gravité du triangleABD, •--→BF=1

2---→BC et---→CG=15---→CA

Déterminer l'intersection d'un plan (EFG)

avec le tétraèdre ABCD. A B C D? E F? G?

Exercice4

QCM Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Identifier cette réponse et justifier votre choix. ABCDEFGH est un cube d'arête 1. I et J sont les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CG].

1) Le triangle IFJ est :

a) isocèle b) équilatéral c) rectangle isocèle

2) La section du cube par le plan (IFJ) est :

a) un parallélogramme b) un trapèze c) un quadrilatère quelconque A BC DE F G H I? J

3) Le plan (IFJ) coupe la droite (BC) en K.

a) C est le milieu de [BK] b) 2BK=3BC c) BK=3 BC

4) Le plan (IFJ) coupe le segment [DC] en L.

a) 5CL=CD b) 6CL=CD c) 4DL=3DC paul milan2 TerminaleS exercices

Exercice5

On considère le cube ABCDEFGH ci contre de côté 4 cm. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [GH], [AB], [EF] et [CD].

1) Le point F appartient-il au segment [IC]?

2) Justifier que EG=GB=BD=DE.

Peut-on en déduire que EGBD est un losange?

3) Démontrer que le quadrilatères EIGK, GKJC et

EICJ sont des parallélogrammes.

4) Démontrer que EICJ est un losange.

5) Le quadrilatère EICJ est-il un carré?

A BC DE F G HI J |K |L

Exercice6

ABCD est un tétraèdre. I et J sont les milieux respectifs de [AD]et [BC]. K est le point de l'arête [AB] tel que 3AK=AB.

1) a) Construire le point M intersection de la droite (IK) et duplan (BCD).

b) Démontrer que D est le milieu de [BM]. On appelera E le milieude [BK] et on tracera [ED]

2) a) En déduire la construction du point L intersection de [CD] et du plan (IJK).

b) Déterminer la valeur dekpour laquelle CL=kCD A B CD? I J? K

Vecteurs colinéaires et coplanaires

Exercice7

A, B, C sont trois points non alignés de l'espace. I est le milieu de [BC]. Le point G est tel que :---→GA+---→GB+---→GC=-→0 . a) Démontrer que

GB+---→GC=2--→GI .

b) En déduire que les points G, A et I sont alignés et que G est lecentre de gravité du triangle ABC. paul milan3 TerminaleS exercices

Exercice8

ABCD est un tétraèdre, I est le limieu de [BC]. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC, c'est à dire d'après l'exercice précédent que :---→GA+---→GB+---→GC=-→0 .

On considère le point K tel que :

1) a) Démontrer que : 3

KG+---→KD=-→0

b) En déduire que les points K, G et D sont alignés.

2) Trouver le réelktel que :---→DK=k---→DG puis placer K

sur la figure.D A C B I? G?

Exercice9

ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de

[AB] et J celui de [EH]. a) Démontrer que :

IJ=---→AE+1

2---→BD

b) En déduire que : 2

IJ=---→AE----→HB

c) Pourquoi peut-on en déduire que les vecteurs---→AE ,---→HB et-→IJ sont copla- naires? A BIC DE F G HJ

Dans un repère

Exercice10

1) On donne les points A(1;-1;2), B(0;5;3), C(4;-19;-1). Ces points sont-il alignés?

2) On donne les points A(3;2;2), B(-1;-4;4), C(1;0;1) et D(3;3;1). Les droites (AB)

et (CD) sont-elle parallèles?

3) La droitedest dirigée par?u(2;-1;3) et la droited?est dirigée par?v(-4;2;-6). Quel

théorème vous permet d'affirmer que ces deux droites sont parallèles?

Exercice11

On donne les points A(3;0;4), B(2;3;1), C(-1;2;3) et D(0;-1;6). a) Justifier que ces quatre points sont coplanaires. b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD?

Exercice12

On donne les points A(0;1;3), B(⎷2;0;2) et C(⎷2;2;2). Quelle est la nature du triangle ABC?

Exercice13

paul milan4 TerminaleS exercices On donne les points A(5;1;3), B(5;-3;-1), C(1;1;-1) et D(1;-3;3). Démontrer que le

Exercice14

On donne les points A(2;3;-1), B(2;8;-1), C(7;3;-1) et D(2;-1;2). Démontrer que les points B, C et D sont sur une même sphère de centre A.

Exercice15

Plan médiateur de [AB] : plan dont les points sont équidistants de A et de B. Il est ainsi perpendiculaire au segment [AB] en son milieu On donne les points A(5;2;-1) et B(3;-1;1). Indiquer parmi les points suivants ceux qui appartiennent au plan médiateur de [AB] : Représentation paramétrique d'une droite et d'un plan

Exercice16

y=-2+2t z=-1-tt?R

1) a) Déterminer le point I deΔde paramètre 0.

b) Déterminer un vecteur ?udirecteur deΔ. c) Justifier qu'il existe un point deΔd'abscisse 5.

2) La droiteΔpasse-t-elle par le point A?

-10;16

3;-143?

Exercice17

On donne les droitesdetd?de représentations paramètriques suivantes : ?x=6-3s y=-7+2s y=-3 z=-5+2tt?R

Démontrer que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'in-

tersection.

Exercice18

On donne les points A(2;1;0), B(0;1;1) et C(0;3;2). a) Démontrer que les points A, B et C ne ont pas alignés. b) Vérifier que

AB ,---→AC et?kne sont pas coplanaires.

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