[PDF] Mathématiques Mathématiques. Option Économique. Lundi

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Mathématiques

Option Économique

Lundi 19 avril 2021 de 8h00 à 12h00

Durée

: 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure "

Tiers-temps

8h00 - 13h20

L'énoncé comporte 6 pages.

Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat. Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.

Conformément au règlement du concours, l"usage d"appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l"épreuve.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l"énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs afrmations.

Si, au cours de l"épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en

expliquant les raisons des initiatives qu"il est amené à prendre.

Ce document est la propriété d"ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l"issue de l"épreuve. CONCOURS D'ADMISSION 2021

Tournez la page s.v.p.

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Sujet 1

EXERCICE1

SoitE=M

3 (R) l"ensembledes matricescarr´ees d"ordre3 `acoefficientsr ´eels.

On noteI

3 la matriceiden tit´edeEet 0 3 la matricen ulledeE. SoitAl"ensemblede smatricesMdeEv´erifiantl"´egalit´ e: M(M+I 3 M+2I 3 )=0 3

PartieA :Exemp lesde matricesappartena nt `a A.

1. D´eterminerl"ensemble desr´ee lsαtels queαI

3 ?A.

2. L"ensembleAest-ilsous-e spacevectoriel deE?

3. Onnote B=(

(-1-11 1-31

1-1-1)

(a) Onp oseX 1 =((1 1 0) etX 2 =((1 1 1) . CalculerBX 1 etBX 2 (b) End ´eduiredeuxvaleurspr opresdeB. D´eterminerunebasede chacu ndessou s-es pacespropresassoci´ es.

(c) D´emontrerqueBestdi agonalisable,etexplicite ru nematriceDdiagonaleet une matricePinversibletelles

que: B=PDP 1 (d) D´emontrerqueD?A, puisqueB?A.

4. Plusg´ en´eralement,onsupposequeMestu nematrice deEdiagonalisable,tell equelespectr edeMsoit

inclusdans{0,-1,-2}.

Montrerque M?A.

PartieB:Diagon alisabilit´ ed esmatricesdeA

SoitMunematri ceappartenant` aA. Onnote Sp( M) les pectredeM.

5. D´eterminerunpoly nˆome annulateurdeM, etd ´emontrerquelesp ectred eMestin clusdans{0,-1,-2}.

6. Ons upposedanscettequestion que Madmet 0,-1 et-2 commevaleurs propres.

JustifierqueMestd iagonalisable.

7. (a)O nsuppose danscettequ estionque-1 estl"uni quevaleurpropre deM.

JustifierqueMetM+2I

3 sontin versibles,puisd´emontrerque M=-I 3 (b) Quep eut-ondirede Msi Sp(M)={-2}? SiS p(M)={0}?

8. Ons upposedanscettequestion que Mn"admetauc unevaleurpropre.

Justifierqueles matricesM,M+I

3 etM+2I 3 sontin versibles.Aboutir`aunecontr adiction. - 2 -

Sujet 1

9. Danscet tequestion,on supposequeMadmet exactementdeuxvaleurs propr esdistinctes.

On traiteici lec aso `uSp( M)={-1,-2}(et onad metquedans lesautressitu ations,ler´ esultatserait similaire).

On veutd´ emontrerparl"absurdequelam atric eMestdi agonalisable,eton supposedon cque Mne l"estpas.

On noteBla basecanoniq uedeR

3 . Soitfl"endomorphismedeR 3 dontla matriced ansla baseBestM.

On notee nfinIdl"endomorphismeidentit´ede R

3 (a) Montrerque : (f+Id)◦(f+2Id)=0 et(f+2Id)◦(f+Id)=0 (b) D´emontrerquedim(Ke r(f+Id))?1 etque di m(Ker(f+2Id))?1. (c) Enutili santqueMn"estpasdiagon alisable,d ´emontre rque: dim(Ker( f+Id)) =1 et dim(Ker(f+2Id))=1. (d) Soituun vecteurpropred efassoci´e`alav aleurpropre -1. Soitvun vecteurpropred efassoci´e`alav aleurpropre -2. i. Justifierque(u,v) formeunef amillelibr edansR 3 ii. Soitwun vecteurdeR 3 n"appartenantpas`aV ect(u,v).

Montrerqu elafam ille (

u,v,w) estune basedeR 3 iii.En utilis antlefaitque? (f+Id)◦(f+2Id)? (w) =0 et? (f+2Id)◦(f+Id)? (w) =0, montr erqu"il existe deuxr´eels αetβtels que: f(w)+2w=αuetf(w)+w=βv. En d´eduirequewestu necombi naisonlin´eairedeuetv, etab outir`aune contradiction.

10. Montreralors quepour toutematr iceMdeE:

M?A??Mestd iagonalisableetSp(M)?{0,-1,-2}.

EXERCICE2

Pourtout entier nsup´erieurou´ egal` a2,onp ose,sice sin t´ egralesconv er gent: I n 0 ln( t t n d t, J n 1 0 ln( t t n d tetK n 1 ln( t t n d t.

PartieA

Dansce ttepartie,on fixeun entier nsup´erieurou´ egal` a2.

1. (a)D ´emontrerque:

ln( t t n t→0 ln( t (b) D´emontrerque:?y?]0,1],? 1 y ln( t )dt=-1+y-yln(y).

En d´eduirequel"int´ egr ale

1 0 ln( t )dtconvergeet d´etermin ersavaleur. (c) D´emontrerquel"int´ egraled ´efinissantJ n converge.

2. (a)Calcul erlim

t→+∞ t 3 2 ln( t t n (b) End ´eduirelanaturedel"i nt ´egraled´efinis santK n

3. Quelleestlanatu redel"in t´ egraled ´e finissantI

n

Sujet 1

EXERCICE1

SoitE=M

3 (R) l"ensembledes matricescarr´ees d"ordre3 `acoefficientsr ´eels.

On noteI

3 la matriceiden tit´edeEet 0 3 la matricen ulledeE. SoitAl"ensemblede smatricesMdeEv´erifiantl"´egalit´ e:quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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