[PDF] Correction devoir du 03 novembre 2016

View - Download Correction devoir du 03 novembre 2016

Previous PDF

Next PDF

20 octobre 2016

Correction devoirdu 03 novembre 2016

ExerciceI

Étude d'une fonction(10 points)

1) a) On obtient sur la calculatrice la courbe

suivante.

On peut conjecturer les limites sui-

vantes : lim x→-∞f(x)=-∞ lim x→2-f(x)=-∞,limx→2+f(x)= +∞ lim x→+∞f(x)= +∞ b)•Limites en l'infini :f(x)=x2+xx-2÷x=x+11-2xavecx?0 lim x→-∞x+1=-∞ lim x→-∞1-2

Par quotient

lim x→-∞f(x)=-∞etlim x→+∞x+1= +∞ lim

Par quotient

lim x→+∞f(x)= +∞

•Limites en 2 :

lim x→2x2+x=6 lim x→2-x-2=0- lim lim x→2-f(x)=-∞ lim x→2+f(x)= +∞x x-2 -∞2+∞ 0+

2) a)f?(x)=(2x+1)(x-2)-(x2+x)

b)f?(x)=0?x2-4x-2=0,Δ =16+8=24=(2⎷ 6)2>0 x

1=4+2⎷

6

2=2+⎷6 etx2=4-2⎷6

2=2-⎷6

Signe def?(x)=signe de (x2-4x+2).

c) On obtient le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x) -∞2-⎷622+⎷6+∞ 0--0+ ≈0.10≈0.10 ≈9.90≈9.90 paul milan1 TerminaleS correction du devoir

3) a)x+3+6x-2=(x+3)(x-2)+6x-2=x2-2x+3x-6+6x-2=x2+xx-2=f(x)

b) On peut conjecturer que la droitedest asymptote àCfen+∞et-∞.

En effet la courbeCfse rapproche de

plus en plus de la droited, lorsquextend vers+∞ou-∞. c)f(x)-(x+3)=6x-2. Cela représente la distance entre la courbeCfet la droited lim x→+∞x-2= +∞par quotient limx→+∞6 x-2=0+. lim x→-∞x-2=-∞par quotient limx→-∞6 x-2=0-. La distance entre la courbeCfet la droite tend effectivement vers 0 lorsquextend vers+∞et-∞. On peut aussi préciser que la courbeCfest au dessus leden+∞ et en dessous en-∞

4) a) L'équation de la tangente (T) àCfen 1 a pour expression :

(T) :y=f?(1)(x-1)+f(1) on a :f?(1)=-5 etf(1)=-2. (T) :y=-5(x-1)-2?y=-5x+3. b) Il faut résoudre :f?(x)=-1. x

2-4x-2

2x2-8x+2=0÷2?x2-4x+1=0,Δ =16-4=12=(2⎷

3)2 x

1=4+2⎷

3

2=2+⎷3 oux2=4-2⎷3

2=2-⎷3

Il existe deux tangentes à la courbeCfparallèle à la droite d'équationy=-x+2 enx1etx2.

ExerciceII

Calcul de dérivées(6 points)

1) a) La fonctionfest dérivable sur son ensemble de définition. Comme (1+x2) ne

s'annule pas, la fonctionfest dérivable surR. b)f?(x)=1(x2+1)-2x(x+1) (x2+1)2=-x2-2x+1(x2+1)2. paul milan2 TerminaleS correction du devoir c)f?(x)=0? -x2-2x+1=0,Δ =4+4=8=(2⎷2)2. x

1=2+2⎷

2 -2=-1-⎷2 oux2=2-2⎷2 -1=-1+⎷2 Comme le coefficient quadratiquea=-1<0, le signe def?(x) est négatif à l'extérieur des racines, la fonctionfest alors décroissante, et positif à l'intérieur, la fonctionfest alors croissante.

On peut dresser le tableau de variation suivant :

x f ?(x) f(x) -∞-1-⎷2-1+⎷2+∞ 0+0- 00

1-⎷2

2

1-⎷2

2

1+⎷2

2

1+⎷2

2 00

2) a) La fonctionfest dérivable six>0, donc sur ]0 ;+∞[

b)f?(x)=⎷ x-x+12⎷x x=2x-x-12x⎷2=x-12x⎷x. c)f?(x)=0?x-1=0?x=1. Le signe def?(x) est égal au signe de (x-1) sur ]0 ;+∞[. Sur ]0 ; 1[,f?est négative, la fonctionfest alors décroissante, et sur ]1 ;+∞[,f?est positive, la fonctionfest alors croissante.

On peut dresser le tableau de variation suivant :

x f ?(x) f(x) -∞1+∞ -0+ 22

ExerciceIII

Continuité(2 points)

On change la forme defavant de passer à la limite en utilisant l'expression conjuguée. f(x)=⎷ 3+x-2 x-1=(⎷

3+x-2)(⎷3+x+2)

1 ⎷3+x+2 lim x→1⎷

3+x+2=4, par quotient limx→11⎷3+x+2=14=f(1).

La fonctionfest donc continue en 1.

paul milan3 TerminaleS correction du devoir

ExerciceIV

Limites(2 points)

1)Proposition 1 : Vraie

lim x→+∞1-2 x=1 et limx→+∞1+3x=1.

D'après le théorème des gendarmes, lim

x→+∞f(x)=1

2)Proposition 2 : fausseIl faut prendre un contre-exemple bien choisi pour montrer quefne peut avoir de

limite en+∞. Cela peut être un exemple graphique. On va introduire une fonction sinus qui n'a pas de limite en+∞.

Soitf(x)=3

2+sinx2+1x. Montrons l'encadrement :

-1?sinx?1? -1

2?sinx2?12?1?32+sinx2?2?

1+1 x?32+sinx2+1x?2+1x?1+1x?f(x)?2+1x lim x→+∞3

2+1x=32mais limx→+∞sinx2n'existe pas.

La fonctionfn'admet donc pas de limite bien que l'encadrement soit vérifié. On peut tracer la courbeCfainsi que les deux fonctions homographique de l'encadre- ment :

1234567

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

O 2+1x 1+1x f(x) paul milan4 TerminaleSquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Maths devoir en classe

[PDF] Maths devoir exercice 1,3,5

[PDF] Maths devoir maison

[PDF] maths devoir maison (bien avancé)

[PDF] maths devoir maison calcul littéral

[PDF] Maths Devoir Maison sur les fractions

[PDF] Maths devoir sur les prisme

[PDF] maths devoir5 exercice 6

[PDF] maths devoirs maison pour vendreid 13 ! urngent

[PDF] maths difficile ou facilei !

[PDF] Maths Dimathème 4e exercice 65 et 66 page 90 Equations

[PDF] maths discretes dut info

[PDF] Maths divisions a faire pour demain

[PDF] Maths dm

[PDF] maths dm /!\