[PDF] DM : nombres parfaits-Corrigé

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Terminale S-Spécialité 2017/2018

DM : nombres parfaits-CorrigéSoitn?N?.nest dit parfait s"il est égal à la somme de ses diviseurs entiers naturels propres. (les

diviseurs dendifférents den)Définition :

1 Exemples

1.

Un nom brepremier est-il parfait ?

Soitpun nombre premier. Ses diviseurs sont 1 et p donc son diviseur propre est 1 qui n"est pas

égal àpdoncpn"est pas parfait.

2.

6 et 8 son t-ilsparfaits ?

Les diviseurs de 6 sont 1; 2; 3 et 6 donc la somme de ses diviseurs propres est1+2+3 = 6. 6 est donc parfait. Les diviseurs de 8 sont 1; 2; 4 et 8 donc la somme de ses diviseurs propres est1 + 2 + 4 = 7. 8 n"est donc pas parfait. 3. a. Écrire un algorithme en langage naturel p ermettantde déterminer si un en tiernaturel non nul est parfait. b. Programme rcet algorithme p ourdéterminer le deuxième nom breparfait. Vous utiliserez de préférence le langage Python et donnerez une copie du programme et des résultats obtenus

2 Une condition suffisante

1. V érifierque le sdeux premiers nom bresparfaits p euvents"écrire sous la forme N = 2n-1(2n-1) oùnest un entier naturel non nul. Que dire du nombre2n-1?

6 = 2×3 = 22-1(22-1)et28 = 4×7 = 23-1(23-1).

On constate que l"entier2n-1prend les valeurs 3 et 7 qui sont des nombres premiers. 2. On supp oseque n?N?et que2n-1est premier. Soit N= 2n-1(2n-1). a. Quelle est la décomp ositionde N en pro duitde facteurs premiers ?En déduire les diviseurs de N.

2 est premier et on suppose que2n-1l"est aussi. On en déduit que l"écriture2n-1(2n-1)

est la décomposition de N en produit de facteurs premiers. Les diviseurs de N sont donc les entiers de la forme2i(2n-1)joùi? {0;1;...;n-1}et j? {0;1}. Ce sont donc les entiers de la forme2iet2i(2n-1)oùi? {0;1;...;n-1}. b.

Mon trerque N est parfait.

Calculons la somme des diviseurs propres de N. On doit retirer2n-1(2n-1) =N de la liste des diviseurs. n-1? i=02i+n-2? i=02i(2n-1) =1-2n1-2+ (2n-1)n-2? i=02i = 2 n-1 + (2n-1)1-2n-11-2 = 2 n-1 + (2n-1)(2n-1-1) = (2 n-1)(1 + 2n-1-1) = (2 n-1)2n-1 =N

On en déduit donc que N est parfait.

c.

En déduire un troisième nom breparfait.

On cherchentel que2n-1soit premier.

Nous avons montré en exercice qu"il faut quensoit premier. (!) Prenonsn= 5,25-1 = 31est premier. (en effet5<⎷31<6et 31 n"est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5) On en déduit que24(25-1) = 16×31 = 496est parfait.

3 Condition nécessaire

Dans cette partie, on cherche à montre que si N est un nombre parfaitpairalors il existen?N?tel que N= 2n-1(2n-1)et2n-1est premier.

On suppose donc que N est un entier naturel parfait pair. On noteσ(n)la somme de tous les diviseurs

entiers naturels den. 1. Mon trerqu"il existe des en tiersnaturels aetbtels que N= 2a×baveca≥1etbimpair. N est pair donc il est divisible par 2. La décomposition de N en produit de facteur premier est

N= 2a×pα11pα22...pαrr

où les nombresp1, ...,prsont des nombres premiers supérieurs à 2 donc impairs et les exposants

1, ...,αrsont des entiers naturels non nuls.

Le produit d"entiers impairs étant impair,b=pα11...pαrrest impair.

On a bien N= 2aboùa≥1etbest impair.

2. Mon trerque σ(N) = (2a+1-1)σ(b).On pourra considérer les diviseurs debet exprimer ceux de

N en fonction des précédents.

Soientb1, ...,bmles diviseurs deb.

Les diviseurs de2asont les entiers2kaveck? {0;1;...;a}. Les diviseurs de N sont donc les entiers2k×bioùk? {0;...;a}eti? {1;...;m}. Ce sont donc les entiers •2kb1oùk? {0;...;a}; •2kb2oùk? {0;...;a}; •2kbmoùk? {0;...;a}.

On a donc

σ(N) =m?

i=1? a? k=02kbi? m? i=1b i? a? k=02k? m i=1b i1-2a+11-2 m i=1b i(2a+1-1) = (2 a+1-1)? m? i=1b i? = (2 a+1-1)σ(b) 3. T raduirele fa itque N est parfait à l"aide de la fonctio nσ.

N est parfait si, et seulement siσ(N) = 2N.

4.

Mon trerque cette condition est équiv alenteà b= (σ(b)-b)(2a+1-1). Que peut-on en déduire

concernantσ(b)-b?

N est parfait??σ(N) = 2N

??(2a+1-1)σ(b) = 2a+1b ??(2a+1-1)σ(b) = 2a+1b-b+b ??(2a+1-1)σ(b) = (2a+1-1)b+b ??(2a+1-1)σ(b)-(2a+1-1)b=b ??(2a+1-1)(σ(b)-b) =b On en déduit que l"entierσ(b)-best un diviseur deb. 5. En remarquan tque σ(b) =b+ (σ(b)-b), montrer quebest premier puis queb= 2a+1-1. betσ(b)-bsont deux diviseurs deb. De plus,a≥1donc2a+1-1≥3et comme(2a+1-1)(σ(b)-b) = b, on en déduit queσ(b)-b < b. Montrons queσ(b)-b= 1. Supposons, par l"absurde, queσ(b)-b >1.

Commeσ(b)-b < b, on auraitσ(b)≥1+(σ(b)-b)+bdoncσ(b)≥σ(b)+1ce qui est contradictoire.

On a doncσ(b)-b= 1??σ(b) =b+ 1??best premier. En reprenant la relation(2a+1-1)(σ(b)-b) =bon obtientb= 2a+1-1. 6. Conc lureet donner les cinq premiers nom brespar faits.

Conclusion :

N est un nombre parfaitpairsi, et seulement si N= 2a(2a+1-1)et2a+1-1est premier. Ceci revient à dire, en posantn=a+ 1que N= 2n-1(2n-1)avec2n-1premier. On cherchentel que2n-1soit premier pour obtenir un nombre parfait pair. On sait, d"après un exercice fait en classe, qu"il faut quensoit lui-même premier. •pourn= 7,27-1 = 127qui est premier donc26(27-1) = 64×127 = 8128est parfait. •pourn= 11,211-1 = 2047 = 23×89n"est pas premier. •pourn= 13,213-1 = 8191qui est premier (à vérifier) donc212×(213-1) = 4096×8191 =

33550336est parfait.

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