ÉQUATIONS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 4) Avec les deux. Méthode : Résoudre une équation (3). Vidéo https://youtu.be/QURskM271bE.
Equations Différentielles Ordinaires et Partielles
pujo@math.univ-lyon1.fr Avant de commencer à résoudre les équations différentielles d'ordre quelconque ... permettra de résoudre une équation du type.
Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles
important dans le développement actuel des mathématiques elles-mêmes `a Dans certains cas cela permet de résoudre explicitement l'équation. Dans.
Annexe C : Matrices déterminants et systèmes déquations linéaires
Une autre façon qui peut être utilisée pour résoudre ces systèmes d'équations et même d'autres plus gros
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 4 Variation de la constante. Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation.
Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique
4.2.2 Résolution de l'équation de la chaleur par séparation des variables . 42 Exemple 2 Résoudre xy0(x) + y(x) = x pour x 2 R+?.
Systèmes linéaires
Considérons le système de trois équations à deux inconnues suivant : Le sous-système (S ) étant triangulaire il est facile de le résoudre en partant.
Les Équations Différentielles en Mathématiques et en Physique
29 oct. 2004 Ecole doctorale de Mathématiques et Informatique- Sciences de Technologies ... Pour résoudre une équation différentielle d'ordre peu élevé ...
Equation de la Chaleur
mais ce n'est pas vrai en général il faut donner les conditions aux bornes. On ne peut pas résoudre l'équation de la chaleur stationnaire avec : • un flux en x
EQUATIONS DIFFERENTIELLES I Définition et notation
Résoudre une équation différentielle d'ordre n sur un intervalle I c'est trouver toutes les fonctions dérivables n fois sur I solution de l'équation.
2MiB}+ `2b2?`+? /Q+mK2Mib- r?2i?2` i?2v ?`2 Tm#@
HBb?2/ Q` MQiX h?2 /Q+mK2Mib K?v +QK2 7`QK
i2?+?BM; ?M/ `2b2?`+? BMbiBimiBQMb BM 6`?M+2 Q` ?#`Q?/- Q` 7`QK Tm#HB+ Q` T`Bp?i2 `2b2?`+? +2Mi2`bX /2biBMû2 ?m /ûTω¬i 2i ¨ H? /BzmbBQM /2 /Q+mK2Mib b+B2MiB}[m2b /2 MBp2?m `2+?2`+?2- Tm#HBûb Qm MQM-Tm#HB+b Qm T`BpûbX
G2b ú[miBQMb .Bzû`2MiB2HH2b 2M Ji?ûKiB[m2b 2i 2M S?vbB[m2, úim/2 /2b +QM/BiBQMb /2 H2m` 2Mb2B;M2K2Mi 2i +`+iû`BbiBQM /2b `TTQ`ib T2`bQMM2Hb /2b ûim/BMib /2 vb2;mH a;HK@`bHM hQ +Bi2 i?Bb p2`bBQM,Ωvb2;mH a?;H?K@Ω`bH?MX G2b ú[m?iBQMb .Bzû`2MiB2HH2b 2M J?i?ûK?iB[m2b 2i 2M S?vbB[m2, úim/2 /2b
+QM/BiBQMb /2 H2m` 2Mb2B;M2K2Mi 2i +?`?+iû`Bb?iBQM /2b `?TTQ`ib T2`bQMM2Hb /2b ûim/B?Mib /2 T`2KBωγ`2
UNIVERSITE JOSEPH FOURIER - GRENOBLE I
THESEPour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L"UNIVERSITE JOSEPH FOURIER
Ecole doctorale de Mathématiques et Informatique- Sciences de Technologies de l"InformationPrésentée et soutenue publiquement par
Ayse SAGLAM
Le 29 octobre 2004
Les Équations Différentielles en Mathématiques et en Physique Étude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des étudiants de première année d"université à cet objet de savoirComposition de jury :
CHAACHOUA Abdelhamid, Maître de Conférences, Grenoble, co-directeur de thèse DORIER Jean-Luc, Professeur des Universités, Lyon, présidentDUFAYARD
Jean, Professeur des Universités, Grenoble, directeur de thèse DUMON Alain, Professeur des Universités, Aquitaine, rapporteur LACROIX Daniel, Professeur agrégé de Physique, Grenoble, co-directeur de thèse SCHNEIDER Maggy, Professeur des Universités, Namur, rapporteurThèse préparée au sein de Laboratoire Interdisciplinaire de Didactique des Sciences Expérimentales et
des Technologies (LIDSET)UNIVERSITE JOSEPH FOURIER - GRENOBLE I
THESEPour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L"UNIVERSITE JOSEPH FOURIER
Ecole doctorale de Mathématiques et Informatique- Sciences de Technologies de l"InformationPrésentée et soutenue publiquement par
Ayse SAGLAM
Le 29 octobre 2004
Les Équations Différentielles en Mathématiques et enPhysique
Étude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des étudiants de première année d"université à cet objet de savoirComposition de jury :
CHAACHOUA Abdelhamid, Maître de Conférences, Grenoble, co-directeur de thèse DORIER Jean-Luc, Professeur des Universités, Lyon, président DUFAYARD Jean, Professeur des Universités, Grenoble, directeur de thèse DUMON Alain, Professeur des Universités, Aquitaine, rapporteur LACROIX Daniel, Professeur agrégé de Physique, Grenoble, co-directeur de thèse SCHNEIDER Maggy, Professeur des Universités, Namur, rapporteurThèse préparée au sein de Laboratoire Interdisciplinaire de Didactique des Sciences Expérimentales et
des Technologies (LIDSET)N Attribu par la bibliothque
à ma maman qui m"a appris l"amour tout en m"aimant autant... remerciementsC"est un grand plaisir d"être au moment de remercier ceux et celles qui étaient avec moi tout au long
de ces années soit en m"aidant vraiment soit simplement en me demandant de temps en temps "ça se
passe bien avec ta thèse ?". Je tiens à remercier sincèrement madame Maggy Schneider et monsieur Alain Dumon qui m"ont fait l"honneur d"avoir bien voulu rapporter sur mon travail. Je remercie également monsieur Jean LucDorier pour avoir accepté de faire partie du jury et de l"avoir présidé. Merci encore pour ses remarques
intéressantes et surtout pour son amitié.Je tiens également à remercier mes directeurs de thèse d"avoir bien voulu accepter de diriger ce travail
tout en m"accordant leurs confiances. J"ai des pensées particulières pour chacun d"eux sans doute...
Merci à Jean qui a su m"accorder généreusement son temps pendant toute la rédaction et m"a aidé à
structurer mes idées par ses questionnes constructives.Un grand merci à Daniel pour ses conseils, son aide et ses idées originales. Les moments passés à la
recherche des éléments de réponses à mes questions sont inoubliables pour moi.... Celles-ci ont
souvent débouché sur des discussions à la fois très riches et philosophiques. Il m"a toujours laissé ma
liberté sans m"imposer son point de vue tout en me disant "c"est ta thèse Ayşe, c"est toi qui vas la
soutenir".Mille merci à Hamid pour m"avoir conduit vers le monde de la merveille où se réunissent mes deux
passions : maths et physique. En m"ouvrant la porte d"un tel monde, il s"est trouvé tout naturellement
dans mon travail qui a été suivi, par lui, jusqu"au bout malgré certains obstacles. Sa méthode, ses
aides, ses idées et ses remarques m"étaient essentielles...Je tiens à remercier aussi le Ministère d"Education Turc d"avoir financé ce travail de thèse durant
toutes ces années.Un grand merci à tous les enseignants et à tous les étudiants de l"Université Joseph Fourier pour leurs
contributions à ce travail. Je dois remercier très vivement l"ensemble du laboratoire LIDSET qui m"ont accueilli dans uneambiance chaleureuse et très sympa. J"ai gravé des bons souvenirs sur mon "cerveaux" et sur mon
"cur" concernant la disponibilité et les aides de Herminia en tant que directrice de laboratoire, les
disputes (!) inoubliables avec Claire, la volonté d"aide de Isabelle Girault et le plaisir de partager mon
bureau avec Cédric.Sans doute j"ai des pensées très particulières pour Hang. J"oublierai jamais les moments qu"on a
passés ensemble sur les pelouses, dans le couloir, au bureau, au téléphone et "les choses" qu"on a
partagées.... Merci de me soutenir, de m"encourager, de m"écouter parfois sans dire même "un seul
mot"...Je remercie aussi Claude dont les remarques lors de la première journée de thésards m"ont été
nécessaires pour réorienter mon travail. Merci également de m"avoir aidé durant la rédaction finale de
la thèse et d"avoir réagi sur mon travail sans manquer à m"encourager.Je tiens à remercier également Denise Grenier pour ses remarques et ses conseils précieux sur mon
travail.Je remercie chaleureusement tous mes amis dont j"ai ressenti la présence d"une façon ou l"autre. Je ne
pourrais pas les citer un par un mais j"aimerais qu"ils sachent que je les ai pas oubliés. Notamment
merci à Nuray pour son soutien, ses encouragements qui venaient "par e-mail" ou "par téléphone"
durant toutes ces années difficiles... Comme je te dis "je t"oublierai pas ( !)".Je ne pourrais pas finir cette cérémonie précieuse sans remercier l"ensemble de ma famille de m"avoir
respecté et soutenu dans toutes mes décisions et notamment en ce qui concerne le fait de faire une
thèse à l"étranger. Merci maman, merci papa d"être toujours "parfaits" pour moi.Enfin à mon merveilleux époux, Salahattin, pour avoir patiemment "supporté" mes stresses, mes
absences, pour ses encouragements mais aussi pour ses aides. Je ne pourrais pas oublier les momentsqu"on a passés ensemble à la bibliothèque municipale les week-ends, à la table qui se trouve au plus
joli coin de salle de séjour, devant les ordinateurs des heures et des heures. Tu sais j"attends impatiemment la petite sur de ma petite fille qui s"appellera probablement "les équations différentielles...approche qualitative". The life is difficult! Isn"t it ?Table des matières
PARTIE A
Problématique et Méthodologie
Chapitre A
1: Introduction à la problématique.......................................................................5
1. Relations mathématiques/physique..........................................................................................5
2. Modèles et modélisation............................................................................................................5
2.1. Le modèle.........................................................................................................................................6
2.2. Le processus de modélisation............................................................................................................8
2.3. Les démarches de construction du modèle.........................................................................................8
3. Aperçu des travaux existant sur les équations différentielles..................................................9
3.1. La prédominance de l"approche algébrique dans l"enseignement actuel..............................................9
3.2. La place de la modélisation dans l"enseignement des équations différentielles..................................10
3.3. Les études visant l"évolution de l"enseignement...............................................................................10
3.4. Notre position.................................................................................................................................11
4. Statuts de la notion d"équation différentielle........................................................................11
4.1. Objet "équation différentielle".........................................................................................................12
4.2. Modèle "équation différentielle"......................................................................................................12
4.2.1. Les équations différentielles dans la modélisation passive.........................................................12
4.2.2. Les équations différentielles dans la modélisation active...........................................................13
4.3. Analyse du statut des équations différentielles dans l"enseignement actuel......................................13
4.3.1. Les équations différentielles en mathématiques........................................................................14
4.3.2 Les équations différentielles en physique..................................................................................15
4.3.3. Conclusion ..............................................................................................................................16
Chapitre A
2: De l"objet de l"étude au plan de l"étude..........................................................17
1. Introduction à notre objet d"étude.........................................................................................17
2. Reformulation de l"objet d"étude dans le cadre théorique de la théorie anthropologique du
3. Organisation de la recherche..................................................................................................20
3.1. Etude épistémologique....................................................................................................................20
3.2. Etude des rapports institutionnels....................................................................................................21
3.3. Etude des rapports personnels des étudiants à l"objet équation différentielle.....................................21
3.4. Organigramme de la thèse...............................................................................................................22
PARTIE B
Chapitre B : Aperçu épistémologique du concept d"équation différentielle.........................25
1. Naissance du concept d"équations différentielles...................................................................26
1.1. Du calcul différentiel aux équations différentielles...........................................................................26
1.2. Problèmes initiaux ..........................................................................................................................28
1.2.1. Problème "inverse tangente"....................................................................................................28
1.2.2. Problème "isochrone"..............................................................................................................30
1.2.3. Problème "brahystochrone"......................................................................................................32
2. L"évolution du concept d"équation différentielle...................................................................34
PARTIE C
Rapports Institutionnels des Etudiants de Première Année de l'Université aux Equations Différentielles
Introduction et méthodologie...............................................................................................41
Chapitre C
1 : Etude des caractéristiques de l"enseignement de l"objet équation différentielleen classe de Terminale S......................................................................................................47
1. Etude des manuels de mathématiques de la classe de terminale...........................................47
1.1. Analyse écologique des manuels.....................................................................................................47
a. Manuel "Terracher".......................................................................................................................47
b. Manuel "Fractale" .........................................................................................................................48
1.2. Analyse praxéologique des manuels................................................................................................49
a. Manuel "Terracher".......................................................................................................................49
b. Manuel "Fractale" .........................................................................................................................53
2. Etude des manuels de physique de la classe de terminale......................................................55
2.1. Analyse écologique des manuels.....................................................................................................55
2.2. Analyse praxéologique des manuels................................................................................................55
a. Manuel "Nathan"...........................................................................................................................55
b. Manuel "Durandeau".....................................................................................................................59
3. Conclusion sur l"étude des manuels de la classe de Terminale S...........................................60
Chapitre C
2 : Etude de caractéristiques de l"enseignement de l"objet équation différentielle au niveau de DEUG 1ère
1. Etude de l"enseignement du concept d"équation différentielle en mathématiques ..............63
1.1. Présentation générale du cours magistral..........................................................................................63
1.2. Analyse praxéologique des exercices proposés.................................................................................64
a. Détermination des différents types de tâches..................................................................................64
b. Détermination des praxéologies associés........................................................................................66
1.3. Analyse des séances des travaux dirigés...........................................................................................76
a. Détermination des différents types de tâches traités........................................................................77
b. Détermination des praxéologies associés........................................................................................79
2. Étude de l"enseignement du concept d"équation différentielle en physique..........................81
2.1. Présentation générale.......................................................................................................................81
2.2. Analyse praxéologique des feuilles de travaux dirigés......................................................................81
a. Détermination des différents types de tâches..................................................................................82
b. Détermination des praxéologies associés........................................................................................83
2.3. Analyse des séances des travaux dirigés...........................................................................................88
3. Conclusion...............................................................................................................................90
PARTIE D
Rapports Personnels des Etudiants de Première Année de l'Université aux Equations Différentielles
Chapitre D
1 : Rapport des étudiants "aux équations différentielles" en tant qu"objet........971. Les analyses de l"Exercice 1....................................................................................................99
1.1. Analyse a priori de l"exercice..........................................................................................................99
1.1.1. Présentation de l"exercice.........................................................................................................99
1.1.2. Réponses attendues a priori....................................................................................................104
1.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................108
1.2.1 Classement global des réponses...............................................................................................109
1.2.2. Analyse des réponses des étudiants........................................................................................ 111
2. Les analyses de l"Exercice 2..................................................................................................117
2.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................117
2.1.1. Présentation de l"exercice.......................................................................................................117
2.1.2. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................118
2.1.3. Analyse a priori de la Question 2............................................................................................120
2.1.4. Analyse a priori de la Question 3 ...........................................................................................123
2.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................125
2.2.1. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 125
a. Résultats globaux....................................................................................................................125
b. Interprétation des réponses......................................................................................................125
2.2.2. Analyse a posteriori de la Question 2 ..................................................................................... 127
a. Résultats globaux....................................................................................................................127
b. Interprétation des réponses obtenues........................................................................................127
2.2.3. Analyse a posteriori de la Question 3 ..................................................................................... 134
a. Résultats globaux....................................................................................................................134
b. Interprétation des réponses obtenues........................................................................................135
3. Les analyses de l"Exercice 3..................................................................................................137
3.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................137
3.1.1 Présentation de l"exercice .......................................................................................................137
3.1.1. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................138
3.1.2. Analyse a priori de la Question 2 ...........................................................................................139
3.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................140
3.2.1. Résultats globaux...................................................................................................................140
3.2.2. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 141
3.2.3. Analyse a posteriori de la Question 2 ..................................................................................... 143
Chapitre D
2 : Rapports des étudiants aux "équations différentielles" en tant que modèle1511. Les analyses de l"Exercice 1..................................................................................................153
1.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................153
1.1.1. Présentation de l"exercice.......................................................................................................153
1.1.2. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................155
1.1.3. Analyse a priori de la Question 2............................................................................................157
1.1.4. Analyse a priori de la Question 3............................................................................................158
1.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................160
1.2.1. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 160
a. Résultats globaux....................................................................................................................160
b. Interprétation des réponses des étudiants.................................................................................160
1.2.2. Analyse a posteriori de la Question 2 ..................................................................................... 162
a. Résultats globaux....................................................................................................................162
b. Interprétation des réponses......................................................................................................163
1.2.3. Analyse a posteriori de la Question 3 ..................................................................................... 165
a. Résultats globaux....................................................................................................................165
b. Interprétation des réponses......................................................................................................165
2. Les analyses de l"Exercice 2..................................................................................................169
2.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................169
2.1.1. Présentation de l"exercice.......................................................................................................169
2.1.2. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................170
2.1.3. Analyse a priori de la Question 2............................................................................................171
2.1.4. Analyse a priori de la Question 3............................................................................................173
2.1.5. Analyse a priori de la Question 4............................................................................................174
2.2. Analyse a posteriori de l"exercice .................................................................................................174
2.2.1. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 174
a. Résultats globaux....................................................................................................................174
b. Interprétation des réponses......................................................................................................175
2.2.1. Analyse a posteriori de la Question 2.....................................................................................177
a. Résultats globaux....................................................................................................................177
b. Interprétation des réponses......................................................................................................177
2.2.3. Analyse a posteriori de la Question 3 ..................................................................................... 180
a. Résultats globaux....................................................................................................................180
b. Interprétation des réponses......................................................................................................180
2.2.4. Analyse a posteriori de la Question 4 ..................................................................................... 182
a. Résultats globaux....................................................................................................................182
b. Interprétation des réponses......................................................................................................182
Chapitre D
3 : Typologie des rapports personnels des étudiants aux équations différentielles1. Différents modèles de rapports personnels..........................................................................187
2. Etude des différents rapports personnels des étudiants à l"objet équation différentielle...189
2.1. Méthodologie d"analyse................................................................................................................189
2.2. Interprétation des réponses d"étudiants..........................................................................................189
2.2.1. Le groupe "RC".....................................................................................................................190
2.2.2. Le groupe "RS" .....................................................................................................................194
2.2.3. Le groupe "RM"....................................................................................................................196
2.2.4. Le groupe "RN".....................................................................................................................199
Bilan de l"étude des rapports personnels d"étudiants aux équations différentielles...............202
PARTIE E
Conclusion et Bibliographie
Chapitre E
1: Conclusion générale....................................................................................209
1. Résultats principaux de l"étude............................................................................................209
2. Perspectives...........................................................................................................................215
Chapitre E
2: Références Bibliographiques.......................................................................219
ANNEXES
Annexes A..........................................................................................................................227
Annexes B..........................................................................................................................235
Annexes C..........................................................................................................................241
Annexes D .........................................................................................................................249
PARTIE A
Problématique et méthodologie
Chapitre A
1 : Introduction à la problématiqueChapitre A
2 : De l"objet d"étude au plan d"étudeChapitre A
1 - 4 -Chapitre A
1 - 5 -Chapitre A
1 : Introduction à la problématique1. Relations mathématiques/physique
Le rapport entre les mathématiques et la physique relève d"une problématique d"ordre philosophique
et épistémologique. Depuis longtemps des mathématiciens et des physiciens ont eu différentes
positions sur ce rapport. L"idée prétendant que les mathématiques constituent le langage de la
physique, est l"une des explications données sur le problème des relations entre ces deux disciplines. A
ce propos Poincaré déclare que :quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Maths équations du second degré
[PDF] Maths equations et aires
[PDF] Maths Équations Pour demain
[PDF] maths équations produits
[PDF] Maths et arts
[PDF] maths et arts au collège
[PDF] maths et arts plastiques
[PDF] maths et arts plastiques géométrie de la création
[PDF] Maths et astronomie
[PDF] Maths et chimie
[PDF] maths et chimie temperatures et liquefaction
[PDF] maths et climatologie
[PDF] maths et geographie
[PDF] maths et mathique