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ÉQUATIONS INÉQUATIONS

Bèhè possédait au printemps. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et 



ÉQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ÉQUATIONS. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/WoTpA2RyuVU. TP info : Al Khwarizmi.



Partie 1 : Intégrale et aire

A cette époque on partait de l'équation de la courbe pour calculer l'aire sous la courbe



LATEX pour le prof de maths !

Jan 11 2021 7.7.2 Équations sur plusieurs lignes . ... 13.5.2 Aire entre deux courbes . ... enseignants de mathématiques en collège et en lycée.



CALCUL INTÉGRAL (Chapitre 1/2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr époque on partait de l'équation de la courbe pour calculer l'aire.



Egalité daires Le problème : ABCD est un carré K est un point du

Le but est de trouver la position de K pour que l'aire du triangle soit Montrer que résoudre l'équation (E) : C(x) = T(x) revient à résoudre l'équation.



CALCUL INTÉGRAL – Chapitre 1/2

A cette époque on partait de l'équation de la courbe pour calculer l'aire sous la courbe



CORRECTIONS Déclic Maths Fonctions polynômes du second

CORRECTIONS Déclic Maths 2) Il s'agit de résoudre un système de deux équations à deux inconnues qui ... Il n'y a donc pas un tel triangle d'aire 10 cm2.



Étude de diverses équations intégrales non linéaires et de quelques

Mathématiques générales. A. DUFOUR qui sont définies sur une aire bornée £ et qui prennent sur les ... tinues d'un système d'équations intégrales (Math.



1 Résolutions déquations avec une variable 2 Résolution de

Cours Maths Stats Appliqués à la Gestion 1) Existe-t'il un rectangle dont le périmètre est 60m et l'aire 200m2 ? (On pourra accessoirement dénoter.

Université de TOURS - L1 GESTION

Cours Maths Stats Appliqués à la Gestion

Bref corrigé des TD n

3 et 4 - groupe 127

Automne 2018

1

Résolutions d"équations a vecune v ariable

1) Résoudre les différentes équations du premier et du second degré suivantes, aveca2R:

x1 = 0y+ 3 = 12y22y+a= 0xa= 2x+a x2+x+ 1 = 014 x25x+ 9 = 0

2) Reprendre l"exercice précédent sur un tableur, soit pour vérifier les solutions que vous avez trouvées,

soit en utilisant le solveur. Notez toutes les remarques pertinentes qui vous apparaissent.

3) Résoudre dansRles équations

ln(x2+ 4) = 2e(x31)= 3 3x1= 13 La solution de la première équation estx= 1, celle de la seconde,y= 9. Pour la troisième équation, on la réécrit(y1)21 +a= 0. Cette équation n"a de solution que si1 +a0, cad quanda1, et dans ce cas, l"équation se réécrit(y1)2= 1aou encorey1 =p1asoit,y= 1 +p1a.

La quatrième équation a pour solutionx=2a

La cinquième équation, du second degré a pour déterminant = 14 =3<0, elle n"a donc pas de solution. La sixième équation, du second degré, a pour déterminant = 25494 = 16 = 42. Les deux racines sont donc

541=4= 2016, cadS=f4;36g.

2 Résolution de problèmes a vecdeux v ariables

1) Existe-t"il un rectangle dont le périmètre est60met l"aire200m2? (On pourra accessoirement dénoter

par`etLla largeur et la longueur d"un tel rectangle.) Soit un rectangle de côtés`etL. Les deux variables`etLvérifient le système suivant

2`+ 2L= 60

`L= 200

Soit encore

`= 30L (30L)L= 200 Lest donc la solution de l"équation du second degréL230L+ 200 = 0. On résout cette équation par la méthode du discriminant : = 900800 = 100,p = 10, les deux racines sontL=30 + 102 = 20et`=30102 = 10

2) Existe-t"il un rectangle dont le périmètre est60cmet l"aire200cm2?

mis à part que la mesure change, le problème est formellement le même. Il existe UN seul rectangle de Longueur 20 cm et de largeur 10cm.

3) Donner les conditions sur les mesuresPetApour qu"il existe un rectangle dont le périmètre estP

et l"aireA. On prendra soin d"interpréter la condition obtenue.Soit un recangle de côtés`etL.

Les deux variables`etLvérifient le système suivant

2`+ 2L=P

`L=A

Par substitution, on a

ell=P2 L P2 L)L=A Il existe un rectangle dès lors que la seconde équation de ce systèmeL2P2

L+Aa une

solution. Cette équation quadratique a une solution quand le discriminant n"est pas négatif.

Or =P24

A. La condition pour qu"il ne soit pas négatif estA intuitive, puisqu"elle dit, étant donné un périmètre, l"aire correspondante ne dépassera

jamais un certain seuil.

4) Justifier que s"il existe un rectangle dont le périmètre estPet l"aireA, un tel rectangle est unique

L"unicité provient du fait que ce problème se traduit par une équation quadratique qui n"a au plus que deux solutions : le petit côté et le grand côté, soit ... un seul rectangle

5) Dire pourquoi la question 3) vous a semblé plus simple, dès lors que vous avez résolu la question 1).

3

Résolution de systèmes d"équations

1) Résoudre les systèmes suivants :

8>< :3x+y= 5

4xy= 9:8

:2x+y= 2

3x+ 2y= 18

:x+y= 630

18x+ 30y= 142208

:3x7y= 18;8 x5y= 10 (x;y) = (2;1)( x;y) = (3;4)( x;y) = (240;390)( x;y) = (1;4;3)

2) Dans un parc zoologique, la visite coûte 30epour les adultes et 18epour les enfants. À la fin de la

journée, on sait que 630 personnes ont visité le zoo et que la recette du jour est de 14 220e. Parmi les

personnes qui ont visité le zoo ce jour-là , quel est le nombre d"enfants? Quel est le nombre d"adultes?

On a les deux équations :a+e= 630et30a+ 18e= 14220. Ce sont les deux équations du 4e systèmes de la question précédente. On trouve 240 adultes et 390 enfants.

3) Pour l"achat d"un livre et d"un stylo, la dépense est de 35e. Après une réduction de 20 % sur le prix

du livre et de 30 % sur le prix du stylo, la dépense n"est que de 26e. Calculer le prix d"un livre et celui

d"un stylo avant la réduction. On notepletpsles prix respectifs. On apl+ps= 35et0;8pl+ 0;7ps= 26. On utilise la méthode du déterminant = 0;70;8 =0;1,0;1pl= 35 1

26 0;7

=1;5, d"oùpl= 15;

0;1ps=

1 35

0;8 26

=2, d"oùps= 20. 4

Plan séparé par une droite

Dans les quatre exemples ci-après, on dessine une droite dans le Plan. Trouver l"équation de la droite

représentée, et indiquer l"équation des deux demi-plans que cette droite sépare. La grille proposée est de

dimension 1 sur l"axe horizontal, et de 1 sur l"axe vertical.xy (D)xy (D)xy (D)xy (D)Exemple 1 Exemple 2 Exemple 3 Exemple 4 Dans l"exemple 1, on a une droite croissante, de pente 2 : quandxaugmente de 1,y augmente de 2. Elle est donc d"équationy= 2x+. Pourx= 0on trouve= 1.L"équation esty= 2x+ 1. Dans l"exemple 2, on a une droite verticale, donc, avecxconstant : L"équation estx=1. Dans l"exemple 3, on a une droite décroissante, de pente -2 : quandxaugmente de 1,y diminue de 2. Elle est donc d"équationy=2x+. Pourx= 0on trouve1 =.L"équation esty=2x1. Dans l"exemple 4, on a une droite croissante, de pente 5/4 : quandxaugmente de 4,y augmente de 5. Elle est donc d"équationy=54 x+. Pourx= 1on trouve3 =54 +,=74 .L"équationesty=54 x+74 =5x+74 5 Résolution de systèmes d"équations par la métho dedu déterminan t

1) Pour les systèmes suivants, calculer le déterminant, et la solution par la méthode du déterminant

8>< :3x+y= 5

4xy= 9:8

:2x+y= 2

3x+ 2y= 18

:x+y= 630

18x+ 30y= 142208

:3x7y= 18;8 x5y= 10

Premier système, =34 =7;7x=

5 1 91
=14, d"oùx= 2;7y= 3 5 4 9 = 7, d"oùy=1.

Second système, = 43 = 1;x=

2 1 1 2 = 3, d"oùx= 3;y= 2 2 3 1 =4, d"oùy=4.

Troisième système, = 3018 = 12;12x=

630 1

14220 30

= 4680, d"oùx= 390;12y= 1 630

18 14220

= 2 880, d"oùy= 240.

Quatrième système, =15 + 7 =8;8x=

18;87 105
=24, d"oùx=3;8y=

3 18;8

1 10 = 11;2, d"oùy=1;4. 6

P ortionsde Plan délimités par des droites

1) Dans les cas suivant, dessiner les ensembles définis par quelques inéquations et dire la forme de

l"ensemble obtenu, au cas où la forme de l"ensemble serait reconnaissable.

A=f(x1;x2)= x1+x23; x10; x20g

B=f(x1;x2)= x1+x23; x1+x2 3; x2x13; x2x1 3g

C=f(x1;x2)=2x1+x22;2x1+x2 1g

D=f(x1;x2)= x1+x23; x10; x20; x2x1g

On obtient :

xy (A)xy (B)xy (C)xy (D)A, un triangleB, un losangeC, un chemin infiniD, un triangle

2) Démontrer les relations d"inclusion suivantes, à partir de la définition des trois ensembles :D A B.D AC"est évident sur le dessin. Il faut cependant énoncer un argument

Une raison simple est queDest défini par les mêmes conditions queAauxquelles on a

adjoint une condition supplémentaire. Donc, tout élément deDest déjà un élément qui

vérifie les conditions deA, et donc est élément deA:D A.A BC"est évident sur le dessin. Il faut cependant énoncer un argument, et celui-ci n"est

pas aussi immédiats que dans le cas précédent. On doit donc démontrer que tout élément(x1;x2)deAest un élément deB, c"est-à-dire qu"il vérifie les quatre conditions qui définissent l"ensembleB, à savoir (i)x1+x23, (ii) x

1+x2 3, (iii)x2x13et (iv)x2x1 3. Montrons ces quatre conditions en partant

des propriétés que vérifient(x1;x2)en appartenant àA: (i)

La condition (i)est une condition qui est par définition vérifiée par tout élément deA;

(ii) En se souv enantque x10etx20, il vientx1+x20et donc a fortiorix1+x2 3(puisque

0 3) : la condition(ii)est donc bien vérifiée.

(iii) En se souv enantque x10etx20, il vient quex2x1x2+x13, la première inégalité

provenant directement de ce quex10et la seconde de la première propriété vérifiée par tout

élément deA: la condition(iii)est donc bien vérifiée. (iv) En se souv enantque x10etx20, il vient quex2x1x203, la première inégalité provenant directement de ce quex10, la seconde, de ce quex20, et la troisième, de l"arithmétique élémentaire. Il s"ensuit, par transitivité que condition(iv)est donc bien vérifiée.

Autrement dit,A B.

7

Relation affine en tretrois ou quatre p oints

1) On veut vérifier une relation linéaire entre deux variables économiques, par exemple profit par salarié

et niveau moyen de salairew. Dire dans les différents cas suivants où l"on a quatre mesures notéesA=

(A;wA);B= (B;wB);C= (C;wC);D= (D;wD)si une tette relation est vérifiée ou non (on pourra

éventuellement tracer les points, ce qui pourrait être une première indication, mais pas nécessairement,

en tous les cas une vérification formelle de vos dires devra être établie, et plus précisément, donner le cas

échéant la relation linéaire entre les variablesetw).

A= (1;2)B= (3;4)C= (5;6)D= (7;8)

A= (10;2)B= (30;4)C= (50;6)D= (70;8)

A= (1;2:1)B= (3;4:2)C= (5;6:3)D= (7;8:4)

A= (1;0)B= (5;3)C= (2;9)D= (4;8)PremiercasT rèsclairemen t,on v oitdans le premier cas que wi=i+ 1, pour touti=

1;2;3;4. La relation linéaire entre les quatre observations est donc établie de ce fait.SecondcasCe cas ressem bleun p euau cas précéden t.En effet, si on divise par dix la

première variable, on est dans le cas précédent. Formellement, on observe quew=10 + 1,

pour les quatre observations, cad une relation linéaire entre les variablesetw.TroisièmecasConcernan tl etroisième cas il n"y a pas d"é videnceapparen te.On calcule

donc le taux de variation relatif deqen fonction dequand on passe de A à B, de B à C, de C à D. Si ces trois taux sont identiques, alors les quatre points sont alignés. On a

A!B=4;22;131=2;12

= 1;05B!C=6;34;253=2;12 = 1;05C!D=8;46;375=2;12 = 1;05; Il ressort de ces calculs que ces quatre points sont alignés, cad qu"il y a bien une relation

linéaire entreA;B;C;D. On peut aller un peu plus loin : trouver cette relation.QuatrièmecasP ource dernier cas, on est pas obligé de calculer le staux de v ariations.En

effet, s"il y a une relation affine entre les variablesetw, le sens de variation de la seconde variable quand la première varie doit être toujours le même (En effet, quand il existe une relation affine entre deux variables, ces deux variables sont soit corrélées positivement,

soit corrélées négativement). Or ici, quand on passe deDàB, on pourrait inférer que les

deux variables sont corrélées négativement (si on calculaitD!B, on trouverait une valeur négative), alors que quand on passe deDàA, on pourrait inférer que les deux variables sont corrélées positivement (si on calculaitD!A, on trouverait une valeur positive). Il s"ensuit qu"il n"existe pas de relation simple entre les deux variablesetw. 8 Prop ortionnalité,liaison affine, in verseprop ortionnalité

1) Les grandeurs données dans chacun des quatre tableaux ci-dessous sont-elle proportionnelles, en

liaison affine ou inversement proportionnelles?u3811 v0,240,640,88r51318 q2,54,96,4K2510

L4728z3080100

w401512 Dans cet exercice, il faut exercer le regard des étudiants, commencer par les remarques les plus élémentaires, jusqu"à faire les calculs les plus précis. Il faut commencer par regarder s"il y a une correlation positive ou négative ou non. Dans le casu;v,r;qetK;Lcorrelation positive, dans le casz;wcorrelation négative. Pas besoin de calcul à cette étape Il est toujours meilleur de répondre aux questions de ce type en cascade. On étudie donc en premier la proportionnalité. Proportionalité dans le casu;vD"abord trouver des indices. On a 11=8+3 et 0,24+0,64=0,88; cela pourrait indiquer la proportionnalité. On la vérifie en rajoutant au tableauu;vla ligne v=uu3811 v0,240,640,88 v/u0,080,080,08 Lien affine dans le casr;qOn a ici un indice similaire : 18=5+13. Mais2;5+4;9 = 7;46= 6;4.

On sait déjà qu"il n"y a pas proportionnalité. Pour voir s"il y a un lien affine, cad que les

trois pointsr;qsont alignés, ou non, on calcule alors le coefficient de variation pour aller du premier au second, et le coefficient de variation pour aller du premier au troisième :

5!13= (4;92;5)=(135) = 0;35!18= (6;42;5)=(185) = 0;3

L"égalité de ces deux taux indique que ces points sont en relation affine. Pas de lien affine dans le casK;LOn vérifie d"abolir qu"il pourrait y avoir proportionnalité sur ce test simple :25 = 10et47 = 28, mais qu"il n"y a pas sur ce second test4=2 = 2

quand28=10 = 2;8. On a l"intuition à ce stade qu"il n"y a pas de lien affine, étant donné ces

deux tests qui vont dans des sens opposés. On s"en convainc en calculant les coefficient de variation pour aller du premier au second, et du premier au troisième :

2!5= (74)=(52) = 12!10= (284)=(102) = 3;

Ces deux taux sont différents et les pointsKetLne sont pas en liaison affine.L"étudiant Lien inversement proportionnel dans le casz;wOn a déjà remarqué quez;wétaient néga- tivement corrélés. On demande ici s"il existe un lien du typez=w, ce qui revient à une relationzw=. Ce lien apparaît clairement au coup d"oeil, dès qu"on se pose la question avec un rapide calcul mental

3040 = 10012 = 1200et8015 = 800 + 400 = 1200FindusujetduTDn

3et4-groupe127

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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