[PDF] SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES





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CALCUL LITTÉRAL

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LES PUISSANCES

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SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES

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SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES

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DÉRIVATION

De même on obtient que la fonction f est croissante sur l'intervalle [2 ; +?[. Page 4. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.



PRODUIT SCALAIRE (Partie 1)

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CALCUL INTÉGRAL (Partie 1)

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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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FACTORISATIONS

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1

SUITES ARITHMÉTIQUES

ET SUITES GÉOMÉTRIQUES

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/05UHsy9G4M4

Partie 1 : Suites arithmétiques

1) Définition

Exemple :

Considérons la suite (

) où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant 5. Si le premier terme est égal à 3, les termes suivants sont : =3, =8, =13, =18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.

La suite est donc définie par : (

=3 +5

Définition : Une suite (

) est une suite arithmétique s'il existe un nombre tel que pour tout entier , on a :

Le nombre est appelé raison de la suite.

Remarque :

La raison peut être un nombre négatif. On peut par exemple ajouter -2. Méthode : Démontrer qu'une suite est arithmétique

Vidéo https://youtu.be/YCokWYcBBOk

a) La suite ( ) définie par : =7-9 est-elle arithmétique ? b) La suite ( ) définie par : +3 est-elle arithmétique ?

Correction

a) =7-9 +1 -(7-9) =7-9-9-7+9 =-9.

La différence entre deux termes successifs reste constante et égale à -9, donc on passe d'un

terme au suivant en ajoutant -9. ) est une suite arithmétique de raison -9. b) +1 +3-( +3) +2+1+3- -3 =2+1. 2

La différence entre un terme et son précédent n'est pas constante car elle dépend de .

) n'est pas une suite arithmétique.

Propriété : (

) est une suite arithmétique de raison et de premier terme

Pour tout entier naturel , on a :

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/Jn4_xM_ZJD0

La suite arithmétique (

) de raison et de premier terme vérifie la relation

En calculant les premiers termes :

En additionnant membre à membre ces égalités, on obtient : Soit, en retranchant aux deux membres les termes identiques : Méthode : Déterminer une expression en fonction de d'une suite arithmétique

Vidéo https://youtu.be/6O0KhPMHvBA

a) Déterminer l'expression, en fonction de , de la suite arithmétique définie par : =7 -4 b) Déterminer l'expression, en fonction de , de la suite arithmétique définie par : =5 +3

Correction

a) On a : =7 et -4 On passe d'un terme au suivant en ajoutant -4, et donc la raison est égal à -4et le premier terme est égal à 7.

Ainsi :

=7+× -4 =7-4 b) On a : =5 et +3 On passe d'un terme au suivant en ajoutant 3, donc la raison est égale à 3.

Ici, le terme

n'est pas donné mais on peut le calculer. 3

Pour passer de

, on retire 3 (" marche arrière ») donc -3=2.

Ainsi :

=2+3 -1 Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique

Vidéo https://youtu.be/iEuoMgBblz4

Considérons la suite arithmétique (

) tel que =7 et =19. a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite ( b) Exprimer en fonction de .

Correction

a) Les termes de la suite sont de la forme

Ainsi :

+5 +9

7=

+5

19=

+9

7-19=

+5- -9← On soustrait membre à membre -12=-4 -12 -4 =3

Comme

+5=7, on a : +5×3=7 =7-15 =-8. b) =-8+×3 =3-8

2) Sens de variation

Propriété : (

) est une suite arithmétique de raison r. - Si > 0 alors la suite ( ) est croissante. - Si < 0 alors la suite ( ) est décroissante.

Démonstration :

- Si > 0 alors >0 et la suite ( ) est croissante. - Si < 0 alors <0 et la suite ( ) est décroissante. 4 Méthode : Déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique

Vidéo https://youtu.be/R3sHNwOb02M

Étudier les variations des suites arithmétiques ( ) et ( ) définies par : =3+5 b) ( =-3 -4

Correction

a) ( ) est croissante car de raison positive et égale à 5. b) On passe d'un terme au suivant en ajoutant -4. ( ) est décroissante car de raison négative et égale à -4.

3) Représentation graphique

Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés.

Exemple :

On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4. 5

RÉSUMÉ

) une suite arithmétique - de raison - de premier terme

Exemple :

=-0,5 et =4

Définition

-0,5

La différence entre un terme et son

précédent est égale à -0,5.

Propriété

=4-0,5 Sens

De variation

Si > 0 : (

) est croissante.

Si < 0 : (

) est décroissante. =-0,5<0

La suite (

) est décroissante.

Représentation

graphique

Remarque :

Les points de la représentation

graphique sont alignés.

La croissance est linéaire.

Partie 2 : Suites géométriques

1) Définition

Exemple :

Considérons la suite (

) où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par 2. Si le premier terme est égal à 5, les termes suivants sont : =5, =10, =20, =40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.

La suite est donc définie par : (

=5 =2

Définition : Une suite (

) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel tel que pour tout entier , on a : Le nombre est appelé raison de la suite. Méthode : Démontrer qu'une suite est géométrique

Vidéo https://youtu.be/YPbEHxuMaeQ

La suite (

)définie par : =3×5 est-elle géométrique ? 6

Correction

3×5

3×5

5 5 =5 =5

Le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 5, donc on passe d'un

terme au suivant en multipliant par 5. ) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme =3×5 =3.

Exemple concret :

On place un capital de 500 € sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4 %.

Chaque année, le capital est donc multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04.

On a ainsi :

=1,04×500=520 =1,04×520=540,80 =1,04×540,80=562,432

De manière générale :

=1,04× avec =500

Propriété : (

) est une suite géométrique de raison et de premier terme

Pour tout entier naturel , on a :

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/OpLU8Ci1GnE

La suite géométrique (

) de raison et de premier terme vérifie la relation - Si ou est nul, alors tous les termes de la suite sont nuls. La démonstration est évidente dans ce cas. - Dans la suite, on suppose donc que et sont non nuls. Dans ce cas, tous les termes de la suite sont non nuls.

En calculant les premiers termes :

En multipliant membre à membre ces n égalités, on obtient : Comme les termes de la suite sont non nuls, on peut diviser aux deux membres les facteurs identiques, on obtient : 7 Méthode : Déterminer une expression en fonction de d'une suite géométrique

Vidéo https://youtu.be/WTmdtbQpa0c

a) Déterminer l'expression en fonction de de la suite géométrique définie par : =3 =4 b) Déterminer l'expression en fonction de de la suite géométrique définie par : =5 =2

Correction

a) On a : =3 et =4 On passe d'un terme au suivant en multipliant par 4, donc la raison est égal à 4et le premier terme est égal à 3.

Ainsi :

=3×4 b) On a : =5 et =2 On passe d'un terme au suivant en multipliant par 2 donc la raison est égal à 2.

Ici, le terme

n'est pas donné mais on peut le calculer.

Pour passer de

, on divise par 2 (" marche arrière ») donc : 2 5 2 =2,5. La raison est égal à 2et le premier terme est égal à 2,5.

Ainsi :

=2,5×2 Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométrique

Vidéo https://youtu.be/wUfleWpRr10

Considérons la suite géométrique (

) tel que =8 et =512. a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite ( b) En déduire une expression de la suite en fonction de .

Correction

a) Les termes de la suite sont de la forme

Ainsi : (

8

8=

512=

← On effectue le quotient membre à membre 64=
7 4

64=

On utilise la fonction racine troisième de la calculatrice pour trouver le nombre qui élevé au

cube donne 64.

Ainsi =

64
=4

Comme

=8, on a : ×4 =8 8 4

Et donc :

1 32
×4

2) Sens de variation

Propriété : (

) est une suite géométrique de raison et de premier terme non nul

Pour

>0 : - Si >1 alors la suite ( ) est croissante. - Si 0<<1 alors la suite ( ) est décroissante.

Pour

<0 : - Si >1 alors la suite ( ) est décroissante. - Si 0<<1 alors la suite ( ) est croissante.

Démonstration dans le cas où

>0 : -1 - Si >1 alors >0 et la suite ( ) est croissante. - Si 0<<1 alors <0 et la suite ( ) est décroissante.

Remarques :

• Si =1, la suite est constante. Méthode : Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique

Vidéo https://youtu.be/vLshnJqW-64

Déterminer le sens de variation des suites géométriques ( ) et ( ) définies par : a) =-4×2 b) A =-2 1 2 9

Correction

a) La suite géométrique ( ) définie par =-4×2 est décroissante car : =-4 donc <0 et =2 donc >1 b) La suite géométrique ( ) définie par 1 2 et =-2 est croissante car : =-2 donc <0 et = 1 2 donc 0<<1.

Partie 3 : Sommes de termes consécutifs

1) Cas des suites arithmétiques

Propriété : est un entier naturel non nul, alors on a : 1+2+3+⋯+= Remarque : Il s'agit de la somme des premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1.

RÉSUMÉ

) une suite géométrique - de raison - de premier terme

Exemple :

=2 et =-4

Définition

=2

Le rapport entre un terme et son

précédent est égal à 2.

Propriété

=-4×2 Sens de variation

Pour

>0 :

Si >1 : (

) est croissante.

Si 0<<1 : (

) est décroissante.

Pour

<0 :

Si >1 : (

) est décroissante.

Si 0<<1 : (

) est croissante. =-4<0 =2>1

La suite (

) est décroissante.

Représentation

graphique

Remarques :

Si <0 : la suite géométrique n'est

ni croissante ni décroissante.

La croissance est exponentielle.

10

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/-G3FWv5Bkzk

1 + 2 + 3 + ... + -1 +

+ + -1 + -2 + ... + 2 + 1 (+1) + (+1) + (+1) + ... + (+1) + (+1) =×(+1)

Donc : 2×

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