CALCUL LITTÉRAL
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CALCULS NUMÉRIQUES ARITHMÉTIQUE CALCUL LITTÉRAL
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. CALCUL LITTÉRAL. Distributivité. 4 × ( x + 5 ) = 4 x. + 20. Formule de distributivité :.
LES PUISSANCES
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SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMETIQUES. ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition.
SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
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DÉRIVATION
De même on obtient que la fonction f est croissante sur l'intervalle [2 ; +?[. Page 4. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.
PRODUIT SCALAIRE (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. PRODUIT SCALAIRE (Partie 1). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/dII7myZuLvo.
CALCUL INTÉGRAL (Partie 1)
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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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FACTORISATIONS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FACTORISATIONS. I. La distributivité. Factorisation : Lecture « droite ? gauche » de la
PRODUIT SCALAIRE - Chapitre 1/2
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/dII7myZuLvo La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853.Partie 1 : Définitions et propriétés
1) Définitions
Définition : Soit deux points í µ et í µ.La norme du vecteur í µí µ
, notée %í µí µ %, est la distance í µí µ.Définition : Soit í µí µ
et í µí µ deux vecteurs.On appelle produit scalaire de í µí µ
par í µí µ , noté í µí µ , le nombre réel défini par :Propriété :
Remarques :
• í µí°µâƒ—.í µâƒ—se lit " í µí°µâƒ— scalaire í µâƒ— ».• Si l'un des deux vecteurs í µí°µâƒ— et í µâƒ— est nul, alors í µí°µâƒ—.í µâƒ—=0,
Exemple :
On donne : í µí µ=2, í µí µ=5 et í µí µí µ 4Alors : í µí µ
=2×5×cos9 4 :=10× 2 2 =5 2. Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide de la formule du cosinusVidéo https://youtu.be/dfxz40fK0UI
a) Soit un triangle équilatéral í µí µí µ de côté 5.Calculer le produit scalaire í µí µ
b) Soit í µ le milieu de [í µí µ].Calculer le produit scalaire í µí µ
2Correction
a) í µí µ =5×5×cos9 3 =25 ×0,5 = 12,5 b) Le produit scalaire í µí µ est composé de deux vecteurs qui n'ont pas la même origine. On construit alors un point í µ tel que : í µí µDe cette façon, le produit scalaire à calculer est composé de deux vecteurs de même origine
le point í µ (voir figure ci-contre). =2,5×5×cosC2í µ
3 D =12,5×(-0,5) = -6,25 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Écrire par exemple í µí°µâƒ—.í µâƒ—=0 est une maladresse à éviter !2) Propriétés
Propriété de symétrie : í µí°µâƒ—.í µâƒ—=í µâƒ—.í µí°µâƒ—Propriétés de bilinéarité :
1) í µí°µâƒ—.
=í µí°µâƒ—.í µâƒ—+í µí°µâƒ—.í µí°µí°µâƒ— 2) í µí°µâƒ—. =í µí µí°µâƒ—.í µâƒ—, avec í µ un nombre réel.Identités remarquables :
1) +2í µí°µâƒ—.í µâƒ—+ 2) 3) Méthode : Appliquer les propriétés du produit scalaireVidéo https://youtu.be/_SDj-fG1S18
Vidéo https://youtu.be/P0nKS-cTEO0
Soit í µí°µâƒ—et í µâƒ— deux vecteurs de normes respectives 2 et 3 et tels que : í µí°µâƒ—.í µâƒ—=1.
Calculer : a)
b) í µí°µâƒ—. c) -2í µí°µí°µí°µâƒ—.3í µí°µâƒ—-í µâƒ—
3Correction
a) c) -2í µí°µí°µí°µâƒ—.3í µí°µâƒ—-í µâƒ—
=í µí°µâƒ—.í µí°µâƒ—+í µí°µâƒ—.í µâƒ— =-6í µâƒ—.í µí°µâƒ—+2í µâƒ—.í µâƒ—
+í µí°µâƒ—.í µâƒ— =-6í µâƒ—.í µí°µâƒ—+2 =2 -3 =2 +1 =-6í µí°µâƒ—.í µâƒ—+2 =-5 =5 =-6×1+2×3 =12Partie 2 : Produit scalaire et norme
Propriété : Soit í µ, í µ et í µ trois points. On a : Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des normesVidéo https://youtu.be/iNsm05JimgA
On considère la figure ci-contre, calculer le produit scalaireCorrection
1 2 6 +7 -336+49-9
×76
=38 A Samarkand, le savant perse Jemshid ibn Massoud Al Kashi (1380 ; 1430) vit sous la protection du prince Ulugh-Beg (1394 ; 1449) qui a fondé une Université comprenant une soixantaine de scientifiques qui étudient la théologie et les sciences. Dans son Traité sur le cercle (1424), Al Kashi calcule le rapport de la circonférence à son rayon pour obtenir une valeur approchée de 2p avec une précision jamais atteinte. Il obtient 9 positions exactes en base 60 soit 16 décimales exactes :2p ≈ 6,283 185 307 179 586 5
4 Théorème d'Al Kashi : Dans un triangle ABC, on a, avec les notations de la figure : -2í µí µcos(í µDémonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/34OJiQ_4-N4
)=í µí µcos(í µ etDonc :
=í µí µcos(í µSoit : í µ
=2í µí µcos(í µSoit encore : í µ
-2í µí µcos(í µ Méthode : Appliquer le théorème d'Al Kashi pour calculer une longueurVidéo https://youtu.be/SeFjmbOGhVc
On considère la figure ci-contre.
Calculer la longueur í µí µ. On donnera une valeur arrondie au dixième.Correction
D'après le théorème d'Al Kashi, on a :
=4 +6 -2×4×6×cos(60°) =16+36-48× 1 2 =2828≈5,3
5 Méthode : Appliquer le théorème d'Al Kashi pour calculer un angleVidéo https://youtu.be/-cQQAjHJ0Kc
On considère la figure ci-contre. Calculer la mesure de l'angle í µí µí µ au degré près.Correction
D'après le théorème d'Al Kashi, on a :
4 =6 +5 -2×6×5×cos(í µí µí µ16=36+25-60cos(í µí µí µ
60cos(í µí µí µ
)=36+25-1660cos(í µí µí µ
)=45 cos(í µí µí µ cos(í µí µí µ ≈41° Même les Playmobil connaissent le théorème d'al Kashi !quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Maths etude de signes
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