[PDF] CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ : exercices

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CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ : exercices

Exercice 1-Fonction polynôme

Soitfla fonction définie sur[-5;5]parf(x) = 2x3+ 3x2-12x+ 1.

1. Déterminer le sens de variation defsur[-5;5]puis dresser son tableau de variation.

2. Démontrer que l"équationf(x) = 25admet une unique solution notéeαsur l"intervalle[-5;5].

3. Déterminer à la calculatrice une valeur arrondie au centième près deα.

Exercice 2-Étude d"une fonction à partir d"un tableau de variation Soitfune fonction définie sur l"intervalle[-3;5]dont voici le tableau de variations : x f -32 5 66
-4-4 -1-1

1. Justifier que l"équationf(x) = 0n"admet pas de solution dans l"intervalle[2;5].

2. Démontrer que l"équationf(x) = 0admet une unique solution dans l"intervalle[-3;2].

3. En déduire le signe def(x)sur l"intervalle[-3;5].

Exercice 3-Continuité et TVI

Soitfune fonction dérivable sur chacun des intervalles où elle est définie. Le tableau de variations defest donné ci-dessous :

x f -31 5+∞ 22
1 -1-1

1. (a) La fonctionfest-elle continue sur]-3;+∞[?

(b) Donner deux intervalles oùfest continue mais non monotone. (c) Donner deux intervalles oùfest continue et strictement monotone.

2. (a) Déterminer le nombre de solutions de l"équationf(x) = 0.

(b) L"équationf(x) = 1admet-elle une unique solution?

3. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie, fausse ou si on ne peut pas le savoir :

(a)f?(-2)×f?(0)<0. (b)f?(-2)×f?(3)>0. (c) L"équationf?(x) = 0n"a pas de solution sur]-3;5[. (d) L"équationf?(x) = 0n"a pas de solution sur]5;+∞[.

Exercice 4-Une fonction polynôme de degré5

Soitfla fonction définie surRparf(x) =x5-5x4etCsa courbe représentative.

1. Justifier quefest deux fois dérivable surRpuis que pour tout réelx,f??(x) = 20x2(x-3).

2. Dresser en justifiant le tableau de signes def??(x)surR.

3. En déduire l"existence d"un unique point d"inflexionAdont on précisera les coordonnées.

4. Étudier enfin la convexité de la fonctionfsurR.

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Exercice 5-Étude de fonction

Soitfla fonction définie sur[0;10]parf(x) = (2-x)e2x-1.

1. Déterminer les variations defsur[0;10]puis dresser son tableau de variations.

2. Démontrer que l"équationf(x) = 0admet une unique solutionαsur[0;10], puis donner une valeur approchée à10-2

près deα.

3. En déduire le signe def(x)sur[0;10].

4. Étudier la convexité defsur[0;10].

5. Préciser les coordonnées des éventuels points d"inflexion de la courbe def.

Exercice 6-Avec des graphiques

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentativeCfd"une fonctionfdéfinie et dérivable surR.

0 1 2-1-2-3-4-5-6-7-80

-1 -2 -31 23456
xy 0 ?A B C D EF G C f

1. La tangente à la courbeCfau pointF(1;2)passe par le point de coordonnées(0;-2). Déterminerf?(1).

2. La tangente à la courbeCfau pointDa pour équationy=-2x-1.

(a) Tracer la tangente à la courbeCfau pointD. Le pointDest-il un point d"inflexion de la courbeCf?

(b) Déterminerf?(-1).

3. Déterminerf?(-5)etf??(-5).

4. Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles<,=ou>est approprié :

5. Une des quatre courbesC1,C2,C3etC4ci-dessous est la courbe représentative de la dérivéef?et une autre la courbe

représentative de la dérivée secondef??.

Déterminer la courbe qui représente la dérivéef?et celle qui représente la dérivée secondef??.

0 1 2-1-2-3-4-5-6-70

-1 -2 -31 234
xy

00 1 2-1-2-3-4-5-6-70

-1 -2 -31 234
xy 0

CourbeC1CourbeC2

0 1 2-1-2-3-4-5-6-70

-1 -2 -31 2345
xy

00 1 2-1-2-3-4-5-6-70

-1 -2 -31 2345
xy 0

CourbeC3CourbeC4

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Exercice 7-Une autre étude de fonction

Soitfla fonction définie surRparf(x) = (3x+ 1)e2x+1-1.

1. Déterminer les variations defsurRpuis dresser son tableau de variation.

2. Démontrer que, sur l"intervalle?

-5 6;1? , l"équationf(x) = 0admet une unique solutionα, puis donner une valeur approchée deαà0,01près.

3. En déduire le signe defsur?

-5

6;+∞?

4. Déterminer la dérivée secondef??defsurR, et en déduire la convexité defsurR.

5. La courbe représentativeCfdefadmet-elle des points d"inflexion?

Si oui, donner les coordonnées du (ou des) point(s) d"inflexion deCf.

Exercice 8-Bac Métropole 2014

On considère une fonctionfdéfinie surRet deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction

f ??, dérivée seconde de la fonctionf, dans un repère orthonormé. Les points suivants appartiennent à la courbe : A(-2 ; 0); B(0 ;-6)et C(3; 0).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-30

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -71 234
A BC O

Courbe représentative de la fonctionf??

Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partird"arguments graphiques.

1. La courbe représentative defadmet-elle des points d"inflexion?

2. Sur[-2 ; 3], la fonctionfest-elle convexe? Est-elle concave?

3. Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonctionf: laquelle?

Justifier la réponse.

Courbe 1Courbe 2

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-610

203040506070800 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-610

20304050607080

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Exercice 9-Bac 2016

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question posée, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n"est demandée.

Une réponse exacte rapporte0,5point. Une réponse fausse ou l"absence de réponse ne rapporteni n"enlève aucun point.

On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe représentativeCd"une fonctionfdéfinie et deux fois dérivable

sur l"intervalle[-5 ; 1]. La droiteTest la tangente à la courbeCau point A(-3 ; 6)et passe par le pointB(-5 ;-2). Le point A est l"unique point d"inflexion de la courbeCsur[-5 ; 1].

0 1 2-1-2-3-4-50

-1 -2 -31

23456789101112131415

xy ? ?A B T C

1. On notef?la fonction dérivée de la fonctionf. Alors :

A.f?(-3) = 6B.f?(-3) = 4C.f?(-3) =1

4D.f?(-3) =16

2. On notef??la fonction dérivée seconde de la fonctionf. Alors :

A.f??(-3) = 6B.f??(-3) = 4C.f??(-3) = 0D.f??(-3) =1 4

3. La fonctionfest :

A.convexe sur[-5 ;-3]B.convexe sur[-5 ;-1]

C.convexe sur[-3 ; 1]D.concave sur[-5 ; 1]

4. La fonction dérivée defest :

A.décroissante sur[-3 ;-1]B.croissante sur[-3 ;-1]

C.croissante sur[-1 ; 1]D.croissante sur[-5 ;-1]

Exercice 10-A partir de la dérivée

On considère une fonctionf, définie et dérivable sur[-2;3]et dont la dérivéef?est représentée ci-dessous :

0 1 2 3 4-1-2-30

-1 -21 23
xy0 Cf?

Déterminer la convexité defet préciser les abscisses des éventuels points d"inflexion de sa courbe.

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