[PDF] Thèse de doctorat - Discipline : Mathématiques

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Université Pierre et Marie Curie

École doctorale de sciences mathématiques de Paris centre

Thèse de doctorat

Discipline : Mathématiques

présentée par FrançoisLêVingt-sept droites sur une surface cubique : rencontres entre groupes, équations et géométrie dans la deuxième moitié duxixesiècledirigée par CatherineGoldstein Soutenue le 29 juin 2015 devant le jury composé de : M meCarolineEhrhardtUniversité Vincennes Saint-Denis examinatrice M meCatherineGoldsteinInstitut de mathématiques de Jussieu-PRG directrice

M. JeremyGrayThe Open University examinateur

M. IliaItenbergUniversité Pierre et Marie Curie examinateur M. NorbertSchappacherUniversité de Strasbourg rapporteur M meRossanaTazzioliUniversité de Lille 1 rapporteure 2

Institut de mathématiques de Jussieu-

Paris Rive gauche. UMR 7586

Boîte courrier 247

4 place Jussieu

75252 Paris Cedex 05Université Pierre et Marie Curie

École doctorale de sciences

mathématiques de Paris centre

Boîte courrier 290

4 place Jussieu

75252 Paris Cedex 05

3 wo die Geometrie mir zu Hülfe kommt, und die

Gedanken auch bei den abstracten Dingen leitet.

Übrigen mir nicht immer versagt bleiben.

Alfred Clebsch à Camille Jordan, 5 mars 1871

4

Remerciements

Dans ces lignes où il m"est donné l"occasion de remercier les personnes qui m"ont aidé d"une façon ou d"une autre dans l"élaboration de mon travail de thèse, je voudrais commen- cer par exprimer toute ma gratitude envers Catherine Goldstein. Après m"avoir proposé ce

beau sujet des vingt-sept droites et accepté de diriger ma thèse, elle a toujours été présente

pour guider mon cheminement. Grâce à son écoute, son savoir et son conseils, j"ai pu être

formé à la recherche en histoire des mathématiques et parvenir, au bout de cet exercice de quatre ans, à achever la rédaction de ce manuscrit. Ma thèse n"aurait évidemment pas

la même couleur si Catherine n"avait pas été là pour m"aider, et je lui en suis infiniment

reconnaissant. Je tiens ensuite à remercier Norbert Schappacher et Rossana Tazzioli d"avoir accepté de rapporter ma thèse et, incidemment, de m"avoir communiqué leurs précieux commen- taires et suggestions sur mon travail. Ma reconnaissance va également à Caroline Ehrhardt, Jeremy Gray et Ilia Itenberg qui me font le plaisir et l"honneur de faire partie de mon jury. Les membres du projet " Histoire des sciences mathématiques » de l"Institut de ma- thématiques de Jussieu-Paris Rive gauche m"ont chaleureusement accueilli au sein de leur

équipe durant les dernières années et je leur en suis reconnaissant. Merci aussi à tous les

chercheurs que j"ai rencontrés au cours de séminaires, colloques et autres groupes de travail, et dont les approches, questions ou suggestions m"ont été profitables. Je pense en particulier

à ceux engagés dans le projet ANR CaaFÉ, et spécifiquement à Frédéric Brechenmacher,

Sébastien Gauthier et Sloan Despeaux.

Je remercie également les doctorants et anciens doctorants en histoire des mathéma- tiques dont j"ai eu l"occasion de croiser le chemin. J"ai été heureux de converser avec Jenny et Anne-Sandrine sur nos sujets de recherche respectifs et de bénéficier de leur soutien dans des moments plus difficiles. Ce sont par ailleurs elles qui ont organisé la première session duNovembertagungà laquelle j"ai participé : cette rencontre et celles qui ont suivi

ont été riches pour moi à tous points de vue, et je saisis l"occasion pour penser à tous les

participants que j"y ai croisés. Parmi eux, c"est avec plaisir que je mentionne Samson et Simon, dont j"apprécie la bonne humeur et l"aide qu"ils sont toujours prêts à apporter. 5 6 Par leur soutien ou leur intérêt envers mon sujet, mes amis de Lyon ont aidé à l"avan-

cement de ma thèse : merci tout particulièrement à Blanche, Jordane, Sébastien et Julien.

Je pense aussi à mes amies de plus longue date Charline et Charlotte qui m"ont encouragé plus d"une fois durant ces dernières années. Il me tient à coeur d"exprimer ma gratitude envers mes parents qui m"ont sans cesse soutenu dans mes efforts et m"ont appris à toujours essayer de faire du mieux possible. Nul doute que tout cela a contribué à mon engagement continu dans des études toujours plus longues que la présente thèse clôt finalement. Depuis mon arrivée à l"IMJ, j"ai pu y rencontrer un bon nombre de doctorants, et j"ai maintenant le bonheur de pouvoir en compter parmi mes véritables amis. J"ignore s"il est chose commune d"avoir eu la chance d"évoluer dans une atmosphère quotidienne si agréable, comme ce fut le cas pour moi grâce à leur présence. Il ne fait en tout cas aucun doute que cette ambiance a largement participé à rendre extrêmement plaisantes

mes nombreuses journées de travail au laboratoire - ainsi que mes soirées de l"autre côté

de la place Jussieu. Qu"il me soit permis ici de ne citer, par ordre chronologique inversé, que certains d"entre eux; les autres comprendront et me pardonneront. Juliette, Liana, Maÿlis, Thibaud, Clément, Olivier et Florian : chacun à votre façon, vous avez compté dans ces années de thèse et je vous en remercie sincèrement.

Résumé

En 1849, Arthur Cayley et George Salmon démontrent que toute surface cubique contient exactement vingt-sept droites. Résultat célèbre de la deuxième moitié duxixe

siècle, ce théorème a notamment donné lieu à des recherches sur une équation algébrique

particulière appelée " équation aux vingt-sept droites ». Dans notre thèse, nous étudions

les rapprochements entre groupes, équations et géométrie opérés dans ces recherches. Après

un travail préparatoire mettant en place certains points mathématiques et chronologiques associés aux vingt-sept droites, nous nous intéressons auTraité des substitutions et des équations algébriquesde Camille Jordan, publié en 1870. Cet ouvrage contient une section

consacrée à l"équation aux vingt-sept droites dont nous analysons en détail les mathéma-

tiques. Pour mettre en contexte certains points, un corpus plus large est ensuite construit

autour des " équations de la géométrie », famille d"équations associées à des configurations

géométriques dont les vingt-sept droites ne sont qu"un exemple. Ce corpus s"étend de 1847 à 1896, et ses principaux auteurs sont Jordan, Alfred Clebsch et Felix Klein. Dans le but de rendre compte de l"organisation particulière du savoir partagé dans le corpus, nous dis-

cutons et utilisons alors la notion de " culture ». Enfin, nous étudions précisément deux

textes du corpus proposant de géométriser certaines parties de l"algèbre et nous montrons

en quoi les équations de la géométrie ont participé à une compréhension géométrique de

la théorie des substitutions ainsi qu"à l"élaboration des idées duProgramme d"Erlangende

Klein (1872).

Mots-clés

Vingt-sept droites, équations de la géométrie, Jordan, Clebsch, Klein, culture, histoire de l"algèbre et de la géométrie. 7 8

Twenty-seven Lines on a Cubic Surface: Encounters

between Groups, Equations, and Geometry in the

Second Half of the 19

thCentury

Abstract

In 1849, Arthur Cayley and George Salmon proved that every cubic surface contains exactly twenty-seven lines. A famous result in the second half of the 19 thcentury, this the- orem gave rise to research about a particular algebraic equation called the "twenty-seven lines equation." In our thesis, we study how groups, equations, and geometry interact throughout this research. After a preparatory work presenting some mathematical and chronological points about the twenty-seven lines, we look into Camille Jordan"sTraité des substitutions et des équations algébriques, published in 1870. This book contained a section devoted to the twenty-seven lines equation, the mathematics of which we thor- oughly study. In order to contextualize some elements, a larger corpus is then built around "geometrical equations," a family of equations linked to geometrical configurations among which the twenty-seven lines are just one example. The corpus extends from 1847 to 1896 and its main authors are Jordan, Alfred Clebsch, and Felix Klein. Aiming at describing the particular organization of the knowledge shared in the corpus, we then discuss and use the notion of "culture." Finally, we closely study two texts of the corpus, each of them presenting a geometrization of a part of algebra, and we ascertain that geometrical equations participated to a geometrical understanding of substitution theory as well as the elaboration of the ideas of Klein"sErlanger Programm(1872).

Keywords

Twenty-seven lines, geometrical equations, Jordan, Clebsch, Klein, culture, history of al- gebra and of geometry.

Table des matières

Introduction 15

1 Sur " l"histoire officielle » des vingt-sept droites 27

1.1 Une histoire thématique à la Dickson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.1.1 Archibald Henderson : vers l"écriture de son livre . . . . . . . . . . .

27

1.1.2 Structure et contenu deThe Twenty-seven Lines. . . . . . . . . . .29

1.2 Les sources et la bibliographie de Henderson . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.2.1 Un article de Hill concernant une bibliographie . . . . . . . . . . . .

36

1.2.2 LeCatalogue of Scientific Papers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

1.2.3 Comparaison avec leJahrbuch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

1.3 Le résumé historique de Henderson disséqué . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.3.1 L"article de Mossbrugger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.3.2 Existence des vingt-sept droites avec Cayley et Salmon . . . . . . . .

44

1.3.3 Le mémoire de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

1.3.4 Notations des vingt-sept droites et notion de " double-six » . . . . .

50

1.3.5 Les travaux de Sturm et Cremona . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

1.3.6 Classifications de surfaces cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

1.3.7 Modèles et formes des surfaces cubiques . . . . . . . . . . . . . . . .

64

1.3.8 Lien entre les vingt-sept droites et les vingt-huit tangentes doubles .

69

1.3.9 Lien entre les vingt-sept droites et la configuration de Pascal . . . .

71

1.3.10 Un paragraphe de références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

1.3.11 Variétés cubiques dans un espace de dimension4. . . . . . . . . . .74

1.3.12 Point de vue de la théorie des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

1.3.13 Bilan : thèmes et chronologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

1.4 Sur l"écriture d"une histoire des vingt-sept droites . . . . . . . . . . . . . . .

80

1.4.1 L"histoire de Henderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

1.4.2 Les formulations du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

1.4.3 Le cas du thème " théorie des groupes » . . . . . . . . . . . . . . . .

82
9

10TABLE DES MATIÈRES

2 Les vingt-sept droites et leTraité des substitutions et des équations al-

gébriques85

2.1 Les vingt-sept droites et leTraité: l"influence de Clebsch . . . . . . . . . . .86

2.1.1 LeTraitéet son Livre III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

2.1.2 Quelques mots sur Alfred Clebsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.2 Identifier théorie des substitutions et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . .

92

2.2.1 Utilisation de la noteSur les équations de la géométrie. . . . . . . .92

2.2.2 Du côté géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

2.2.3 Les " méthodes de Galois » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

2.3 L"étude par Jordan de l"équation aux vingt-sept droites : emprunts géomé-

triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.3.1 D"un problème et de relations géométriques à une fonction de racines

et son groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 02

2.3.2 Groupe, ordre et facteurs de composition de l"équation aux vingt-sept

droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.3.3 Réduites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

2.3.4 Il n"existe pas de réduite de degré inférieur à 27 . . . . . . . . . . . .

110

2.3.5 Conclusion partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

2.4 " Conjectures algébriques » et " vérifications géométriques », ou Jordan vs.

Geiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.4.1 Le lien de Geiser entre les vingt-sept droites et les vingt-huit tan-

gentes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.4.2 Les " recherches algébriques » de Jordan sur le lien entre les vingt-

huit tangentes doubles et les vingt-sept droites . . . . . . . . . . . . 12 6

2.4.3 La "conjecture» de Jordan sur la relation entre les vingt-sept droites

et les seize droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.4.4 Les " considérations géométriques » de Geiser sur le lien entre les

vingt-sept droites et les seize droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

2.4.5 Un hiatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

2.5 Les vingt-sept droites et les fonctions hyperelliptiques . . . . . . . . . . . .

144

2.5.1 Fonctions hyperelliptiques et équations de division . . . . . . . . . .

147

2.5.2 Groupes de monodromie et groupe algébrique de l"équation de division

149

2.5.3 Lien avec les vingt-sept droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152
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