[PDF] DÉRIVATION (Partie 2) Yvan Monka – Académie de

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DÉRIVATION - Chapitre 2/3

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/uMSNllPBFhQ

Partie 1 : Dérivées des fonctions usuelles

1) Exemple :

Démonstration au programme : Dérivée de la fonction carré

Vidéo https://youtu.be/-nRmE8yFSSg

Soit la fonction ! définie sur ℝ par !

Démontrons que pour tout $ réel, on : !′ =2$. Calculons le nombre dérivé de la fonction ! en ) (nombre réel quelconque).

Pour ℎ≠0 :

= 2)+ℎ

Or : lim

= lim

2)+ℎ = 2)

Pour tout nombre ), on associe le nombre dérivé de la fonction ! égal à 2). On a donc défini sur ℝ une fonction, notée !′ dont l'expression est !′ =2$. Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de !. Le mot " dérivé » vient du latin " derivare » qui signifiait " détourner un cours d'eau ». Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction. Démonstration au programme : Dérivée de la fonction inverse

Vidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk

Soit la fonction ! définie sur ℝ\{0} par ! Démontrons que pour tout $ de ℝ\{0}, on a : !′ 1 1 2

Pour ℎ≠0 et ℎ≠-) :

Or : lim

= lim 5- 1 6 = - Pour tout nombre ), on associe le nombre dérivé de la fonction ! égal à -

Ainsi, pour tout $ de ℝ\{0}, on a : !′

1 1 2 2

Définitions :

On dit que la fonction !est dérivable sur un intervalle 8,si elle est dérivable en tout réel

$de 8.

Dans ce cas, la fonction qui à tout réel $de 8 associe le nombre dérivé de !en $est appelée

fonction dérivée de !et se note !′.

2) Dérivées des fonctions usuelles :

Fonction Dérivée

=0 =2$ ;≥1 entier ;≥1 entier 2 1 ++1

Méthode : Dériver les fonctions usuelles

Vidéo https://youtu.be/9Mann4wOGJA

Calculer la dérivée de chacune des fonctions : =100 ; ? =-5$ ; ℎ ; A ; B

Correction

=100→ ! =0 =-5$→?′ =-5 =4$ A → A′ 5 1 6 B $→ B′

3) Cas de la fonction racine carrée

On peut lire dans le tableau plus haut que la fonction racine carrée est définie sur l'intervalle

0;+∞

mais dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[. 3 Démonstration au programme : Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0

Vidéo https://youtu.be/N5wnOoLDrjo

Soit la fonction ! définie sur

0;+∞

par !

On calcule le taux d'accroissement de ! en 0 :

Pour ℎ>0 :

5$% 5 5$%' 5

Or : lim

0+ℎ

0 = lim 1

En effet, lorsque ℎ tend vers 0,

prend des valeurs de plus en plus grandes.

Donc ! n'est pas dérivable en 0.

Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0. Partie 2 : Opérations sur les fonctions dérivées

1) Opérations sur les fonctions dérivées :

I et J sont deux fonctions dérivables.

Démonstration au programme pour le produit :

Vidéo https://youtu.be/PI4A8TLGnxE

Soit I et J deux fonctions dérivables sur un intervalle 8.

On veut démontrer que pour tout ) de 8, on a :

lim 78
78
= I J +I

J′())

9: 9: 9 '9

Fonction Dérivée

=I($)+J($) ! =I′($)+J′($) =AI($), A∈ℝ ! =AI′($) =I($)J($) ! =I′($)J($)+I($)J′($) 1 I($)

I′($)

I($) I($) J($) I J -I

J′($)

J($) 4 7 8 -7 8 +7

8(*+ℎ)-7

8 7 -7(*) 8 +7 0 8 -8 1 9 '9

J()+ℎ) + I())

8 -8 En passant à la limite lorsque ℎ tend vers 0, on a : lim 7 -7 = I′()) et lim 8 -8 = J′())

Car I et J sont dérivables sur 8.

Et,lim

J()+ℎ) = J()).

Soit, lim

78
78
= I J +I

J′())

Ainsi :

IJ ′=I′J+IJ′ Méthode : Calculer les dérivées de sommes, produits et quotients de fonctions

Vidéo https://youtu.be/ehHoLK98Ht0

Vidéo https://youtu.be/1fOGueiO_zk

Vidéo https://youtu.be/OMsZNNIIdrw

Vidéo https://youtu.be/jOuC7aq3YkM

Vidéo https://youtu.be/-MfEczGz_6Y

Dans chaque cas, calculer la fonction dérivée de ! : a) ! =3$ +4 $ b) ! =5$ -3$ c) ! 3$ +4$ 5$-1 d) ! 1 21
2 +51
e) ! 61-5
1 2 -21-1

Correction

a) ! =I +J avec I =3$ → I′ =3×2$=6$ J =4 $ →J′ =4

Donc : !′

=I′ +J′ = 6$ + b) ! =I +J avec I =5$ → I ($)=5×3$ =15$ J =-3$ →J ($)=-3×2$=-6$

Donc : !

=I ($)+J ($)=15$ +(-6$)=15$ -6$ c) ! =I J avec I =3$ +4$ → I ($)=6$+4 J =5$-1 →J′ =5

Donc : !′

=I′ J +I

J′

6$+4 5$-1 3$ +4$ ×5 =30$ -6$+20$-4+15$ +20$ 5 =45$ +34$-4
d) ! 1 7(1) avec I =2$ +5$ → I ($)=4$+5

Donc : !′

9 0 9(/) e) ! 7(1) 8(1) avec I =6$-5 → I ($)=6 J -2$-1 →J =2$-2

Donc : !′

9 0 (/):(/)'9(/): 0 $.(/$.5/'.5 1 $.5/'.?

2) Dérivée d'une fonction composée

Fonction Dérivée

!()$+N) )!′()$+N) Méthode : Dériver une fonction composée !()$+N)

Vidéo https://youtu.be/aFkPQkg0p-A

Calculer les fonctions dérivées des fonctions ? et ℎ définies par : 7$+1 5$-4

Correction

1) ? 7$+1 =7×3 7$+1 =21 7$+1 En effet, la dérivée de la fonction cube est =3$

2) ℎ

5$-4 =5× En effet, la dérivée de la fonction racine carrée est P $Qquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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