FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a l'unique.
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Chapitre 2/2)
Démonstration : Pour tout réel >0 (ln ) = > 0. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 3) Convexité. Propriété : La
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Remarque : Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont.
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. En 1614 un mathématicien écossais
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Chapitre 1/2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. (Chapitre 1/2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTION LOGARITHME. NEPERIEN (Partie 1). En 1614 un mathématicien écossais
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTION EXPONENTIELLE ET La fonction logarithme népérien notée ln
Fonction logarithme népérien
f(x)=868 × ln x + 93
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg.
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTION LOGARITHME. NEPERIEN (Partie 2). I. Etude de la fonction logarithme népérien.
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la finalité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots g recs " logos » (l ogique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouve ra son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ;1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper.
Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises.L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition
(Partie 2). Ceci peut paraître dérisoire aujourd'hui, mais il faut comprendre qu'à cette époque, les calculatrices
n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles
que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce
demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. Partie 1 : Fonction exponentielle et fonction logarithme1) Rappels concernant la fonction exponentielle
Propriétés : La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et convexe sur ℝ.On a :
Propriétés :
=1 >0 , avec ∈ℕ 22) Définition de la fonction logarithme népérien
Pour tout réel de
0;+∞
l'équation = admet une unique solution dans ℝ.Définitions : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif , l'unique
solution de l'équation =. On la note ln. La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction définie sur0;+∞
, par ⟼ln()Remarques :
- Les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre. - Les courbes représentatives des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite d'équation =.1 2 0 (2)
1 2 expln 3A noter :
Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log, et définie par : log()= ➝ Voir chapitre " Logarithme » enseignement commun. Propriétés de ln liées à la fontion exp : a) Pour >0 : = ⇔=ln() b) ln(1)=0 ; ln()=1 ; lnD 1 E=-1 c) ln( d) Pour >0 : Partie 2 : Propriétés de la fonction logarithme népérien1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels et strictement positifs, on a : ln =ln()+ln()Démonstration :
Donc : ln
=ln()+ln() Remarque : Voici comment Neper transformait un produit en somme : Celui qui aurait, par exemple, à effectuer 36×62, appliquerait la formule précédente, soit : log36×62
=log 36+log 62
≈1,5563+1,7924 (à, l'aide de la table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : (36×62)≈3,3487 En cherchant à nouveau dans la table le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36×62=2232.
2) Conséquences
Corollaires : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) lnD 1E=-ln()
b) lnDE=ln()-ln()
c) lnS U= 1 2 ln() d) ln( )=ln(), avec entier relatif 4 Méthode : Simplifier une expression contenant des logarithmesVidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4
Simplifier les expressions suivantes :
=lnS3-5U+lnS3+
2 ZCorrection
=lnS3-5U+lnS3+
5U=3ln(2)+ln(5)-2ln(3)
=lnS3- 5US3+5U=ln(2
1 )+ln(5)-ln(3 =ln 9-5 =ln(4) =ln[ 2 3 ×5 3 2 \=lnD 409 E =ln( 2 Z =2ln()-ln(2)+ln() =2-ln(2)+1=3-ln(2)
3) Équations et inéquations
Propriétés : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) ln =ln ⟺= b) lnVidéo https://youtu.be/_fpPphstjYw
Résoudre dans l'intervalle les équations et inéquations suivantes : a) ln()=2, =0;+∞
b) =5, =ℝ c) 3ln()-4=8, =0;+∞
d) ln6-1
≥2, =_ 1 6 e) +5>4Correction
a) On résout l'équation dans l'intervalle =0;+∞
, car la fonction ln est définie pour >0. ln()=2 ln()=ln( b) =5 ,-(2) +1=ln(5) 5 =ln(5)-1 c) 3ln()-4=83ln()=12
ln()=4 ln()=ln( 3 3 d) On résout l'inéquation dans l'intervalle =_ 1 6 ;+∞`, car 6-1>0. Soit > 1 6 ln6-1
≥2 ln6-1
≥ln(6-1≥
6≥
+1 5" 6L'ensemble solution est donc a
2 +1 6 ;+∞a. e) +5>4 -4 >-5 -3 >-5 5 3 ,-4 5 5 3 ZL'ensemble solution est donc _-∞;lnD
5 3 E`. Partie 3 : Étude de la fonction logarithme népérien1) Dérivabilité
Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur0;+∞
et ln()Exemple :
Dériver la fonction suivante sur l'intervalle
0;+∞
ln()×-ln()×1
1-ln()
62) Variations
Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur0;+∞
Démonstration :
Pour tout réel >0,
ln() >03) Limites aux bornes
Propriétés : lim
ln()=-∞ et lim !→%7 ln()=+∞ On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :0 +∞
ln() ln()4) Courbe représentative
Valeurs particulières :
ln(1)=0 ln()=1 Partie 4 : Études de fonctions contenant des logarithmes Méthode : Étudier les variations d'une fonction Déterminer les variations de la fonction définie sur0;+∞
par =3-+2ln()Correction
Sur0;+∞
, on a : =-1+ 22-
7Comme >0,
est du signe de 2-. La fonction est donc strictement croissante sur 0;2 et strictement décroissante sur2;+∞
On dresse le tableau de variations :
2 =3-2+2ln(2)=1+2ln(2) Méthode : Étudier la position relative de la courbe de la fonction logarithme et de la droite d'équation =Vidéo https://youtu.be/0hQnOs_hcss
Étudier la position relative de la courbe de la fonction logarithme et de la droite d'équationCorrection
On considère la fonction définie sur
0;+∞
par =-ln(). =1- 1 -1Comme >0,
est du signe de -1.On a également :
1 =1-ln(1)=1On dresse ainsi le tableau de variations :
On en déduit que pour tout de
0;+∞
, on a =-ln()≥1>0 soit >ln().La droite d'équation = est située au-dessus de la courbe de la fonction logarithme.
0 2 +∞
+ 0 -1+2ln(2)
0 1 +∞
- 0 + 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] MATHS lvl 4eme
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