FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a l'unique.
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Chapitre 2/2)
Démonstration : Pour tout réel >0 (ln ) = > 0. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 3) Convexité. Propriété : La
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Remarque : Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont.
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. En 1614 un mathématicien écossais
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Chapitre 1/2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. (Chapitre 1/2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTION LOGARITHME. NEPERIEN (Partie 1). En 1614 un mathématicien écossais
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTION EXPONENTIELLE ET La fonction logarithme népérien notée ln
Fonction logarithme népérien
f(x)=868 × ln x + 93
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg.
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTION LOGARITHME. NEPERIEN (Partie 2). I. Etude de la fonction logarithme népérien.
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la finalité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne tr ouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ;1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper.
Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises.L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition
(Partie 3). Ceci peut paraître dérisoire aujourd'hui, mais il faut comprendre qu'à cette époque, les calculatrices
n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles
que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce
demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes.Partie 1 : Fonction réciproque
Exemple :
Dire que 9 est l'image de 3 par la fonction carré, revient à dire que 3 est l'image de 9 par la
fonction racine carrée.On note : 3
=9⟺ 9=3.On a également : 5
=25⟺ 25=5.De façon générale, pour tout réel et positifs, on a :
Dans ce cas, on dit que la fonction ⟼
est réciproque de la fonction ⟼ pour des valeurs de positives.On dit également que les fonctions carré et racine carrée sont réciproques l'une de l'autre
pour des valeurs de positives. 2Les courbes représentatives des fonctions carré et racine carrée sont symétrique l'une de
l'autre par rapport à la droite d'équation = pour des valeurs de positives. Définition : Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.On appelle fonction réciproque de , la fonction telle que : )=⟺)=.
Propriété : Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques
l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation =. Méthode : Déterminer la fonction réciproque d'une fonctionVidéo https://youtu.be/bgINubYekqo
Soit la fonction définie sur ℝ par =3-4. Déterminer la fonction réciproque de la fonction .Correction
On pose :
Soit : 3-4=
3=+4
1 3 4 3 1 3 4 3Soit encore :
= avec : 1 3 4 3 est la fonction réciproque de la fonction . Partie 2 : Fonction exponentielle et fonction logarithme1) Rappels concernant la fonction exponentielle
Propriétés : La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et convexe sur ℝ.On a :
3Propriétés :
=1 >0 , avec ∈ℕ2) Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans0;+∞
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel de0;+∞
l'équation = admet une unique solution dans ℝ.Définitions : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif , l'unique
solution de l'équation =. On la note ln. La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction définie sur0;+∞
, par ⟼ln)Remarques :
- Les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre.1 2 0 2)
1 2 expln 4 - Les courbes représentatives des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite d'équation =.A noter :
Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log, et définie par : log)= Propriétés de ln liées à la fontion exp : a) Pour >0 : = ⇔=ln) b) ln1)=0 ; ln)=1 ; lnL 1 M=-1 c) ln d) Pour >0 :Démonstrations :
a) Par définition b) - =1 donc d'après a, on a : ln1)=0 = donc d'après a, on a : ln)=1 1 donc d'après a, on a : lnL 1 M=-1 c) Si on pose = , d'après a, on a : =ln)=ln d) Si on pose =ln), d'après a, on a : = Partie 3 : Propriétés de la fonction logarithme népérien1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels et strictement positifs, on a : ln =ln)+ln)Démonstration :
Donc : ln
=ln)+ln) 5 Remarque : Voici comment Neper transformait un produit en somme : Celui qui aurait, par exemple, à effectuer 36×62, appliquerait la formule précédente, soit : log36×62
=log 36+log 62
≈1,5563+1,7924 (à, l'aide de la table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : En cherchant à nouveau dans la table le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36×62=2232.
2) Conséquences
Corollaires : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) lnL 1M=-ln)
b) lnLM=ln)-ln)
c) lnU V= 1 2 ln) d) ln )=ln), avec entier relatifDémonstrations :
a) lnL 1M+ln)=lnL
1×M=ln1)=0 donc lnL
1M=-ln)
b) lnLM=lnL×
1M=ln)+lnL
1M=ln)-ln)
c) 2lnU V=lnU V+lnU V=lnU V=ln) donc lnU V= 1 2 ln) d) On démontre ce résultat par récurrence le cas où est un entier naturel.L'initialisation est triviale.
La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : ln 1&% )=ln 1 =ln 1 +1 ln) Méthode : Simplifier une expression contenant des logarithmesVidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4
Simplifier les expressions suivantes :
=lnU3-5V+lnU3+
2Correction
=lnU3-5V+lnU3+
6 =lnLU3- 5VU3+5VM=ln2
2 )+ln5)-ln3 =ln 9-5 =ln4) =ln] 2 3 ×5 3 2 ^=lnL 409 M =ln 2 =2-ln2)+ln) =2-ln2)+1=3-ln2)
3) Équations et inéquations
Propriétés : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) ln =ln ⟺= b) ln0;+∞
c) Résoudre l'équationln -3 +ln9-
=0 dans l'intervalle =]3;9[. d) Résoudre l'équation ln=ln3+1) dans l'intervalle =0;+∞
Correction
a) =5 ,-(3) +1=ln5) =ln5)-1 b) On résout l'équation dans l'intervalle =0;+∞
, car la fonction ln est définie pour >0. ln)=2 ln)=lnLa solution est donc
car elle appartient à l'intervalle =0;+∞
c) On résout l'équation dans l'intervalle = 3;9 , car -3>0 et 9->0.Soit >3 et <9.
ln -3 +ln9-
=0 lnU -39-
V=0 lnU -39-
V=ln1 -39-
=1 +12-27=1 +12-28=0 7 ∆=12 -4× -1 -28 =32 -12+ 32-2 =6-2
2et
-12- 32-2 =6+2 2
Les solutions sont donc 6-2
2 et 6+2
2 car elles appartiennent à l'intervalle =]3;9[.
d) On résout l'équation dans l'intervalle =0;+∞
, car >0 et 3+1>0. Soit >0. ln=ln3+1) =3+12=-1
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