SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son.
Maths et numérique
Maths et numérique. Scratch 2.0. Un peu d'histoire. Le numérique fait maintenant partie intégrante des pro- grammes de mathématiques.
GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définitions : Une suite numérique (un) est une liste ordonnée de nombres réels telle.
Actu Numérique Maths/Sciences Lettre n°1
Actu Numérique. Académie d'Amiens. Janvier 2021. Le numérique en Maths Sciences. Le numérique en appui sur les évolutions technologiques
GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définitions : Une suite numérique (un) est une liste ordonnée de nombres réels telle.
CALCUL NUMÉRIQUE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. CALCUL NUMÉRIQUE. I. Rappels (voir cours de 6e). 1) Calcul mental.
MATHÉMATIQUES ET OUTILS NUMÉRIQUES AU COLLÈGE
Deuxième partie : un tableau numérique interactif dans la classe de Le portail national Mathématiques et Numérique [http://eduscol.education.fr/maths].
CALCULS NUMÉRIQUES ARITHMÉTIQUE CALCUL LITTÉRAL
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. CALCUL LITTÉRAL. Distributivité. 4 × ( x + 5 ) = 4 x. + 20. Formule de distributivité :.
Cours danalyse numérique de licence L2 MATH
Cours d'analyse numérique de licence L2 MATH. Roland Masson. Année 2018-2019 Livre de Quateroni et al: “Méthodes numériques algorithmes
Comptines numériques par compétence et par niveau
RESOUDRE DES PROBLEMES NUMERIQUES. 13. Petite section. 13. Moyenne section. 13. Grande section. 15. COMPARER DES QUANTITES. 17. Petite section.
Cours d'analyse numerique de licence L2 MATH
Roland Masson
Annee 2018-2019
1IntroductionCalendrier du cours
Evaluation
Objectifs
Plan du cours
Exemples d'applications du calcul scientique
Debouches
2Quelques rappels d'algebre lineaire en dimension nieEspaces vectoriels
Applications lineaires
Matrices
Transposition de matrices et matrices symetriques
Determinants
Normes matricielles
3Methodes iteratives
Calendrier du cours
Cours le mercredi de 13h00 a 15h00 en Amphi InformatiqueTPs ou TDs
Groupe 1: PV201 le mercredi de 15h15 a 17h15 avec Roland Masson Groupe 2: PV202 le mercredi de 15h15 a 17h15 avec Samira Amraoui Groupe 3: PV314 le jeudi de 10h15 a 12h15 avec Samira Amraoui Groupe 4: PV314 le jeudi de 13h00 a 15h00 avec Boniface NkongaEvaluation
Un examen partiel de TD: notePartielUn examen partiel de TP: noteTPUn examen nal: noteEFNote nale: 0:4EF+ 0:3Partiel+ 0:3TP
Analyse numerique: objectifs
Analyse numerique: concoit et analyse mathematiquement les algorithmes de simulation sur ordinateurs de modeles mathematiquesObjectifs du cours Introduction a quelques algorithmes de bases en calcul scientique Fondements mathematiques (complexite, stabilite, convergence, consistance, ...)Exemples d'applications et mise en oeuvre informatique sous scilab en TPPlan du cours
Resolution des systemes lineairesAx=b,A2 Mn,b;x2RnMethodes iteratives: methode de Richardon, preconditionnement, Jacobi,
Gauss Seidel, SOR, SSORResolution des systemes non lineairesf(x) = 0,f:Rn!RnMethodes de point xe et de Newton
Resolution des systemes lineairesAx=b,A2 Mn,b;x2RnMethodes directes: methode d'elimination de Gauss, factorisation LU
Calcul des valeurs propres d'une matriceA2 MnMethode des puissances itereesReferences
Site web: http://math.unice.fr/massonr/L2MATH/L2MATH.html Cours d'analyse numerique de Raphaele Herbin (Universite de Provence): Livre de P.G. Ciarlet: Introduction a l'analyse numerique matricielle et a l'optimisation. Livre de Quateroni et al: \Methodes numeriques, algorithmes, analyse et applications", Springer, 2007.Domaines d'applications du calcul scientique
EnergieNucleaire
Petrole
Fusion nucleaire
Eolien, hydrolien, solaire, ...
Transport
Aeronautique
Spatial
Automobile
Environnement
Meteorologie
Hydrologie
Geophysique
Climatologie
Finance, Economie, Biologie, Sante, Telecommunications, Chimie, materiaux, ... Exemple de la simulation des reservoirs petroliersPetrole = huile de pierreBassin de paris
Exemple de la simulation des reservoirs petroliersReservoir: piege geologique rempli
d'hydrocarbures Exemple de la simulation des reservoirs petroliersEnjeux de la simulation
Prediction de la production
Optimisation de la production (ou du rendement economique)Integration des donnees
Evaluation des incertitudes sur la production
Debouches
Competences
Analyse numerique
Modelisation
Informatique
Metiers
Developpements de codes de calculs scientiques
Etudes en modelisation numerique
Ingenieur de recherches en calcul scientique
Chercheur academique en mathematiques appliquees
Employeurs
SSII en calcul scientique
EPIC: CEA, ONERA, IFPEN, BRGM, IFREMER, INRA, CERFACS, ... Industrie: EDF, EADS, Dassault, Michelin, Areva, Total, CGGVeritas, Thales, Safran, Veolia, Rhodia, ...Academique: Universites, CNRS, INRIA, Ecoles d'ingenieurs, ...Espaces vectoriels
Denition d'un e.v. surK=RouC: ensemble E muni d'une loi de composition interne notee + et d'une loi d'action deKsurEnotee:telsque:(E;+) est un groupe commutatif1:x=x, ():x=:(:x) (associativite)(+):x=:x+:x,:(x+y) =:x+:y(distributivite)Exemple:Rne.v. surR(Cne.v. surC):x=0
B @x 1 x n1 CA,x+y=0
B @x 1+y1 x n+yn1 CA,:x=0
B @x1 xn1 C AFamilles libres, generatrices, base, dimension
Famille libre demvecteursv1;;vmdeE:P
mi=1ivi= 0)i= 08i= 1;;mFamille generatrice demvecteursv1;;vmdeE:E= Vectfv1;;vmgBase: famille libre et generatrice
Dimension (supposee nie): toutes les bases ont m^eme dimension appeleedimension de l'espace vectorielEnoteenUne famille libre denvecteurs est generatrice, c'est une baseUne famille generatrice denvecteurs est libre, c'est une base
Espaces vectoriels normes
Denition: e.v. muni d'une norme, ie une application deE!R+, noteex! kxksatisfaisant les proprietes suivanteskxk= 0)x= 0k:xk=jjkxkkx+yk kxk+kykUne norme denit surEune topologie d'espace metrique avec
d(x;y) =kxykLimite de suite de vecteurs:limk!+1vk=v,limk!+1kvkvk= 0Exemples de normes surRnkxk1=Pn i=1jxij;kxk2=Pni=1jxij21=2;kxk1= maxi=1;;njxij.En dimension nie toutes les normes sont equivalentes ie il existec;C>0
telles queckxk kxk?Ckxk(attentioncetCdependent den).Espaces vectoriels euclidiens
e.v. muni d'un produit scalaire ie une forme bilineaire symetrique denie positive noteeh:;:iSurRnle produit scalaire canonique esthx;yi=Pn i=1xiyikxk=hx;xi1=2est une norme appelee norme euclidienneApplications lineaires
f:E!F,f(:x) =:f(x),f(x+y) =f(x) +f(y)L(E;F) espace vectoriel des applications lineaires deEdansFL(E) espace vectoriel des applications lineaires deEdansEou
endomorphismes deEL(E);+;:;
algebre non commutative munie de la loi de compositiondes applicationsfg(x) =f(g(x))Noyau def, Ker(f) =fx2Etels quef(x) = 0g(sous e.v. deE)Image def, Im(f) =ff(x);x2Eg(sous e.v. deF)Endomorphismes deEinversibles:Application bijective ssi il existef12 L(E) telle queff1=f1f=Idfbijective,finjective: Ker(f) =f0gfbijective,fsurjective: Im(f) =E
Matrice d'une application lineaire
Bases e j;j= 1;;n deEet f i;i= 1;;m deFf2 L(E;F) telle quef(ej) =Pm i=1Ai;jfix=Pn j=1xjej2Ey=f(x) =Pm i=1 Pn j=1Ai;jxj f iX=0 B @x 1... x n1 CA2Rn,Y=0
B @y 1... y m1 CA2Rm,Y=AXRetenir que lesncolonnesjdeAsont donnees par les imagesf(ej)Espace vectoriel des matrices de dimensionm;n:Mm;n(a coecients dans
K=RouC)Matrices remarquables: diagonale, symetrique, triangulaires inferieure ou superieureExercice: produit de matrices versus composition
d'applications lineairesSoientE;F;Gdes e.v de dimensions resp.n,m,p,f2 L(E;F) et g2 L(F;G)Des bases etant donnees,fa pour matriceA2 Mm;netga pour matriceB2 Mp;mgfa pour matrice le produitBA2 Mp;ntel que
(BA)i;j=mX k=1Bi;kAk;jProduit de matrices:Mp;m Mm;n! Mp;nproduit matrice vecteur:Mm;n Mn;1! Mm;1produit scalaire de deux vecteurs: ligne . colonneM1;n Mn;1! M1;1produit tensoriel de deux vecteurs: colonne. ligneMn;1 M1;n! Mn;n
Exercice: changements de base pour les vecteurs et les matricesP: matrice de passage d'une base dans une autre~ej=Pn k=1Pk;jek(colonnes de la nouvelle base dans l'ancienne)Changement de base pour les coordonnees des vecteurs:X=P~X.Changement de base pour les matrices des applications lineaires:X=P~X,
Y=Q~Yet~Y=~A~X,Y=AXimplique que
A=Q1AP:
Matrices carres inversibles
A2 Mn;n=Mnest inversible ssi l'une des proprietes suivantes est verieeIl existeA12 Mn;ntel queAA1=A1A=IAest injective ieAX= 0)X= 0Aest surjective ie Im(A) =fAX;X2Rng=RnA;B2 Mninversibles
(AB)1=B1A1Transposition de matrices
A2 Mm;n, on denittA2 Mn;mpar
tA)i;j=Aj;ipour tousi= 1;;n;j= 1;;mProduit scalaire canonique de deux vecteurs (colonnes)X;Y2Rn: t XY=nX i=1X iYiMatrice carreeA2 Mnest symetrique ssi t A=ADiagonalisation d'une matrice carree symetriqueA2 MnLes valeurs propres surCd'une matrice reelle symetriqueAsont reelles et il
existe une base orthonormee de vecteurs propresFi2Rn,i= 1;;ntelle que AFi=iFiet (tFi)Fj=i;jpour tousi;j= 1;;nSiPest la matrice de passage de la base canonique dans la baseFi,
i= 1;:::;n, alors on a P 1=tP et t PAP=0 B 10 0n1 C A Determinants denvecteurs dans un e.v.Ede dimensionn pour une base donneeUnique forme n-lineaire alternee surEvalant 1 sur la baseDet v1;;v;;v;;vn
= 0 (alternee)Antisymetrie: Det v1;;vi;;vj;;vn
=Det v1;;vj;;vi;;vnOn a donc aussi pour toute permutationdef1;;ng,
Det v 1;;vn = sign()Det v (1);;v(n)Determinant d'une matrice carreeA= determinant des vecteurs colonnes Det A = Det A :;1;;A:;n =X 2nn Y i=1sign()A(i);iProprietes du determinant
Les vecteurs colonnes deAsont libres ssi Det(A)6= 0DoncAest inversible ssi Det(A)6= 0Det(AB) = Det(A)Det(B) = Det(BA)Det(
tA) = Det(A)Developpement par rapport aux lignes ou aux colonnesDet(A) =nX
i=1(1)i+jAi;jDet(A(i;j)) =nX j=1(1)i+jAi;jDet(A(i;j))Normes matricielles
Une norme matricielle sur l'e.v.Mnest une norme telle que kABk kAkkBkUne norme matricielle induite par une normek:ksurRnest la norme matricielle denie par kAk= sup X6=0kAXkkXkOn a pour une norme matricielle induite:kAXk kAkkXkpour tout X2RnExercice: exemples de normes induites
kAk1= SupX6=0kAXk1kXk1= maxi=1;;nPn j=1jAi;jjkAk1= SupX6=0kAXk1kXk1= maxj=1;;nPn i=1jAi;jjkAk2= SupX6=0kAXk2kXk2=(tAA)1=2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] maths or math's apostrophe
[PDF] maths or maths capital letter
[PDF] maths pcsi exercices corrigés
[PDF] Maths PGCD (3eme cned)
[PDF] maths phare 3eme corrigé 2012
[PDF] maths phare 4eme
[PDF] maths planète du système solaire
[PDF] Maths pliz merci
[PDF] Maths pour demain
[PDF] Maths pour demain HELP
[PDF] Maths pour demain rien compris
[PDF] MATHS POUR DEMAIN SVP HELP
[PDF] maths pour élèves non francophones
[PDF] Maths pour lundi (1ex)