[PDF] Révisions de PCSI Table des matières 1 Analyse

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TABLE DES MATIÈRESRévisions de PCSI1 ANALYSETable des matières

1 Analyse 1

1.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Intégration, primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Limites, continuité, dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Algèbre 17

2.1 Dénombrements, applications et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Probabilités 30

3.1 Probabilités élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Ces exercices courts, pour la plupart donnés en colles en première année, constituent

une collection des propriétés et méthodes que doit maîtriser un étudiant en fin de première année.

NicolasMaillard

Contact : colasmaillard@free.fr

1 Analyse

1.1 SommesExercice1.1.Démontrer par récurrence surnla formule donnantnX

k=0k

2.2.En calculant de deux façonsnX

k=0 (k+ 1)4k4, retrouver la formule donnant n X k=0k

3.Correction n

o1.

1.Pourn2N;P(n): "nX

k=0k

2=n(n+ 1)(2n+ 1)6

2.Par télescopagenX

k=0 (k+ 1)4k4= (n+ 1)4, et en développant : (k+ 1)4k4== 4k3+ 6k2+ 4k+ 1, (n+ 1)4= 4nX k=0k

3+ 6nX

k=0k

2+ 4nX

k=0k+nX k=01 (n+ 1)4= 4nX k=0k

3+n(n+ 1)(2n+ 1) + 2n(n+ 1) +net il n"y a plus qu"à isoler

n X k=0k

3==n2(n+ 1)24

.Exercice2.Calculer nX i=10 nX j=1max(i;j)1 A .Correction n o2.nX i=1 nX j=1max(i;j)! =nX i=1 iX j=1i+nX j=i+1j! =nX i=1 ii+n(n+ 1)2 i(i+ 1)2 n X i=1 i22 i2 +n(n+ 1)2 =12 n(n+ 1)(2n+ 1)6 n(n+ 1)2 +n2(n+ 1) n(n+ 1)(2n+ 1)3 + 6n)12 =n(n+ 1)(8n2)12 =n(n+ 1)(4n1)6 Exercice3.Soitdetfdeux entiers naturels tels qued6f(d=début etf=fin!).

1. a)Montrer que :8i2[[d;f]];

i d! i+ 1 d+ 1! i d+ 1!

Lycée HenriPoincaré1/32lo

1.2 SuitesRévisions de PCSI1 ANALYSEb)En déduirefX

i=d i d!

2.Retrouver ce résultat en raisonnant par récurrence surf.Correction n

o3.

1. a)Formule de Pascal :

i+ 1 d+ 1! i d! i d+ 1! b)Télescopage : fX i=d i d! =fX i=d i+ 1 d+ 1! i d+ 1!! f+ 1 d+ 1! d d+ 1! f+ 1 d+ 1!

1.2 SuitesExercice4.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par

u

0= 2,u1= 5et8n2N; un+2= 5un+16un.

Calculerunen fonction den.Correction n

o4.

Suite récurrente linéaire d"ordre 2, racines de l"équation caractéristique :2et3.8n2N;un=

2 n+ 3n.Exercice5.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u

0= 2,u1=2 +p3

2 et8n2N; un+2=un+1un.

Calculerunen fonction den.Correction n

o5. Suite récurrente linéaire d"ordre 2, racines de l"équation caractéristique : 1ip3 2 =ei=3:

9(a;b)2R;8n2N; un=asin(n=3) +bcos(n=3)

u

0= 2)b= 2,u1=2 +p3

2 )a= 1:8n2N;un= sin(n=3) + 2cos(n=3).Exercice6.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u

0=1,u1= 4et8n2N; un+2= 4un+14un.

Calculerunen fonction den.Correction n

o6.

Suite récurrente linéaire d"ordre 2, unique racine de l"équation caractéristique :2:9(a;b)2

R;8n2N; un= 2n(an+b)

u

0=1)b=1,u1= 4)a= 3:8n2N;un= 2n(3n1).Exercice7.Étudier la suiteudéfinie paru0= 0,u1= 1et

8n2N; un+2= 4un+14un+ 2.

On pourra utiliser une suite auxiliaire du type(unCte)n2NoùCteest une constante adéquate.Correction n o7.

Soit2Ret, pour toutndeN,vn=un. Alors :8n2N;

u n+2= 4un+14un+ 2,vn+2+= 4vn+1+ 44vn4+ 2 ,vn+2= 4vn+14vn+ (2)

En prenant= 2,vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre 2, d"équation caracté-

ristiquex24x+ 4 = 0dont la racine double est2. Il existe(a;b)2R2tel que

8n2N; vn= 2n(an+b), avecv0=u0+ 2 = 2etv1=u1+ 2 = 3.

On trouve alors :8n2N; vn= 2n(2n=2) = 2n1(4n),

puis :8n2N; un= 2n1(4n)2.Exercice8.Étudier la suiteudéfinie paru0= 1,u1= 0et

8n2N; un+2=un+1+ 2un+ 3.

On pourra utiliser une suite auxiliaire du type(unn)n2Noùest une constante adéquate.Correction n o8.

Soit2Ret, pour toutndeN,vn=unn. Alors :8n2N;

u n+2= 4un+14un+ 2,vn+2+ (n+ 2)=vn+1(n+ 1)+ 2vn+ 2n+ 3 ,vn+2=vn+1+ 2vn+ (3)

En prenant= 3,vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre 2, d"équation caracté-

ristiquex2+x2 = 0dont les racines sont2et1. Il existe(a;b)2R2tel que

8n2N; vn= (2)na+b, avecv0=u0= 1etv1=u13 =3.

On trouve alors :8n2N; vn=43

(2)n13 =13 (2)n+21, puis :8n2N; un=13 (2)n+21+ 3n.Exercice9.Lycée HenriPoincaré2/32lo

1.2 SuitesRévisions de PCSI1 ANALYSESoitvla suite définie par

v

0=eet8n2N; vn+1=ev2n:

1.Montrer quevest strictement positive et strictement croissante.

2.Montrer quevdiverge et quelimn!+1vn= +1.

3.Pour toutndeN, on pose :un= ln(vn). Exprimerunen fonction denet en

déduirevnen fonction den. Retrouver les réponses aux questions précédentes

à l"aide de cette expression.Correction n

o9.

1.On montre par récurrence que :8n2N; vn>e.

Du coup :8n2N;vn+1v

n=evn>e2>1doncvcroît.

2.On peut montrer par récurrence que :8n2N; vn>en, et par comparaison,

limn!+1vn= +1. On peut aussi raisonner par l"absurde. Supposonsvconvergent, de limite`. Alors limn!+1vn+1=`etlimn!+1ev2n=e`2. Par unicité de la limite :`=e`2. `=e`2,`(1e`) = 0,(`= 0ou`= 1=e). Or :8n2N;vn>e)`>e, donc`6= 0et`6= 1=e. Contradiction : doncvdiverge, et commevest croissante,vdiverge vers+1.

3.uvérifie la relation de récurrence :8n2N;un+1= ln(ev2n) = 1+2un: c"est une suite

arithmético-géométrique.

Avecu0= 1, on obtient :8n2N;un= 2n+11.

Alors :8n2N;vn= exp(2n+11)!n!+1+1.Exercice10.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u

0= 1et8n2N; un+1= ln(un+ 1).

1.Montrer que la suite(un)n2Nest bien définie. et que :8n2N; un>0.

2.Montrer que la suite(un)n2Nest décroissante.

3.Justifier la suite(un)n2Nest convergente et déterminer sa limite.Correction n

o10.

1.Par récurrence surn2N:P(n): "unexiste etun>0».

2.Par récurrence :u1= ln(2)6u0, etun6un1)un+16un1+1)ln(un+1)6

ln(un1+ 1))un+16un. Variante :un+1un= ln(un+ 1)unet on montre (en l"étudiant) que la fonction x7!ln(x+ 1)xest négative sur]0; +1[.

3.uest décroissante et minorée donc converge, et commeuest positive, sa limite`est

positive (ou nulle).Commelimn!+1un+1=`etlimn!+1ln(un+ 1) = ln(`+ 1),`= ln(`) + 1. L"étude dex7!ln(x+ 1)xsur[0; +1[montre que`= 0est l"unique solution de `= ln(`) + 1. Donc`= 0.Exercice11.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u

0= 0et8n2N; un+1=pu

n+ 2.

1.Montrer que la suite(un)n2Nest bien définie. et que :8n2N;06un62.

2.Étudier la variation de la suite(un)n2N.

3.Justifier la suite(un)n2Nest convergente et déterminer sa limite.Correction n

o11.

1.Par récurrence surn2N:P(n): "unexiste et2>un>0».

2.Par récurrence :u1=p2>u0, etun>un1)un+ 2>un1+ 2)pu

n+ 2>pu n1+ 2)un+1>un.

3.uest croissante et majorée donc converge, et comme06u62, sa limite`est positive

et inférieure à2.

Commelimn!+1un+1=`etlimn!+1pu

n+ 2 =p`+ 2,`=p`+ 2.

`=p`+ 2,`2`2 = 0,(`= 2ou`=1), or`>0, donc`= 2.Exercice12.Étudier la suiteudéfinie paru0= 1et8n2N; un+1=unu

2n+ 1.Correction n

o12. Par récurrence, on montre queunest défini et strictement positif pour toutndeN.

8n2N;un+1u

n=1u

2n+ 1<1doncuest strictement décroissante, et minorée par0, donc

convergente. Sa limite`vérifie`=``

2+ 1, donc`2+ 1 = 1, donc`= 0.Exercice13.Étudier la suiteudéfinie paru0= 2et8n2N; un+1=pu

n+ 1.Correction n o13. Se traite comme l"exercice précédent. La suite est décroissante.

Sa limite vérifie`=p`+ 1,`2`1 = 0,`=1p5

2 . Comme1p5<0et`>0, `=1 +p5 2

Lycée HenriPoincaré3/32lo

1.2 SuitesRévisions de PCSI1 ANALYSEExercice14.Étudier la suiteudéfinie paru02]0; +1[,u12]0; +1[et8n2N; un+2=pu

n+1un.Correction n o14.

On établit par récurrence que8n2N;un>0

(par exemple,P(n): "un>0etun+1>0»). On pose alors :8n2N;vn= ln(un), ce qui linéarise la relation de récurrence :

8n2N; vn+2= ln(un+2) =12

ln(un+1) +12 ln(un+1) =12 vn+1+12 vn.

vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre2dont les solutions de l"équation caracté-

ristique sont1et1=2. Il existe alorsaetbréels tels que8n2N;un=evn=ea+(1=2)nb On peut éventuellement exprimeraetbà l"aide deu0etu1. On peut aussi remarquer queun!n!+1ea.Exercice15.1.Étudier les variations de f: ]0; +1[!R; x7!ln(x+ 1)ln(x)1x

2.Déterminer les limites defen 0 et en+1.

3.En déduire :8n2N;ln(n+ 1)ln(n)61n

4.On poseun=nX

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