Méthodes et Exercices de Mathématiques PCSI-PTSI
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2023年5月16日 PTSI-MP2I – Avec exercices corrigés Maths MPSI/PCSI/PTSI. Physique Informatique Sciences industrielles pour l'ingénieur. MPSI-PCSI-PTSI ...
livre de grec ancien de seconde ainsi que celui de première. le
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Mathématiques : du lycée aux CPGE scientifiques
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Ces ouvrages comprennent à la fois des devoirs surveillés posés en Math-Sup ainsi que de nombreux partiels de Deug A posés dans les diverses universités de
Physique Pcsi Mpsi Ptsi (Download Only) - web.mei.edu
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Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice. AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est
Méthodes et Exercices de Mathématiques PCSI-PTSI
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Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles
Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles. Exercice 1. Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :.
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INPT 0701 (2013) 120 exercices. http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701. • D. Delaunay
BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2022
INPT 0701 (2013) 120 exercices. http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701. • D. Delaunay
Séries numériques
Exercice 1. Etudier la convergence des séries suivantes : 1. ?. 2. ?. Allez à : Correction exercice
1 Analyse 1
1.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Intégration, primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Limites, continuité, dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Algèbre 17
2.1 Dénombrements, applications et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Probabilités 30
3.1 Probabilités élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Ces exercices courts, pour la plupart donnés en colles en première année, constituent
une collection des propriétés et méthodes que doit maîtriser un étudiant en fin de première année.NicolasMaillard
Contact : colasmaillard@free.fr
1 Analyse
1.1 SommesExercice1.1.Démontrer par récurrence surnla formule donnantnX
k=0k2.2.En calculant de deux façonsnX
k=0 (k+ 1)4k4, retrouver la formule donnant n X k=0k3.Correction n
o1.1.Pourn2N;P(n): "nX
k=0k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6
2.Par télescopagenX
k=0 (k+ 1)4k4= (n+ 1)4, et en développant : (k+ 1)4k4== 4k3+ 6k2+ 4k+ 1, (n+ 1)4= 4nX k=0k3+ 6nX
k=0k2+ 4nX
k=0k+nX k=01 (n+ 1)4= 4nX k=0k3+n(n+ 1)(2n+ 1) + 2n(n+ 1) +net il n"y a plus qu"à isoler
n X k=0k3==n2(n+ 1)24
.Exercice2.Calculer nX i=10 nX j=1max(i;j)1 A .Correction n o2.nX i=1 nX j=1max(i;j)! =nX i=1 iX j=1i+nX j=i+1j! =nX i=1 ii+n(n+ 1)2 i(i+ 1)2 n X i=1 i22 i2 +n(n+ 1)2 =12 n(n+ 1)(2n+ 1)6 n(n+ 1)2 +n2(n+ 1) n(n+ 1)(2n+ 1)3 + 6n)12 =n(n+ 1)(8n2)12 =n(n+ 1)(4n1)6 Exercice3.Soitdetfdeux entiers naturels tels qued6f(d=début etf=fin!).1. a)Montrer que :8i2[[d;f]];
i d! i+ 1 d+ 1! i d+ 1!Lycée HenriPoincaré1/32lo
1.2 SuitesRévisions de PCSI1 ANALYSEb)En déduirefX
i=d i d!2.Retrouver ce résultat en raisonnant par récurrence surf.Correction n
o3.1. a)Formule de Pascal :
i+ 1 d+ 1! i d! i d+ 1! b)Télescopage : fX i=d i d! =fX i=d i+ 1 d+ 1! i d+ 1!! f+ 1 d+ 1! d d+ 1! f+ 1 d+ 1!1.2 SuitesExercice4.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par
u0= 2,u1= 5et8n2N; un+2= 5un+16un.
Calculerunen fonction den.Correction n
o4.Suite récurrente linéaire d"ordre 2, racines de l"équation caractéristique :2et3.8n2N;un=
2 n+ 3n.Exercice5.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u0= 2,u1=2 +p3
2 et8n2N; un+2=un+1un.Calculerunen fonction den.Correction n
o5. Suite récurrente linéaire d"ordre 2, racines de l"équation caractéristique : 1ip3 2 =ei=3:9(a;b)2R;8n2N; un=asin(n=3) +bcos(n=3)
u0= 2)b= 2,u1=2 +p3
2 )a= 1:8n2N;un= sin(n=3) + 2cos(n=3).Exercice6.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u0=1,u1= 4et8n2N; un+2= 4un+14un.
Calculerunen fonction den.Correction n
o6.Suite récurrente linéaire d"ordre 2, unique racine de l"équation caractéristique :2:9(a;b)2
R;8n2N; un= 2n(an+b)
u0=1)b=1,u1= 4)a= 3:8n2N;un= 2n(3n1).Exercice7.Étudier la suiteudéfinie paru0= 0,u1= 1et
8n2N; un+2= 4un+14un+ 2.
On pourra utiliser une suite auxiliaire du type(unCte)n2NoùCteest une constante adéquate.Correction n o7.Soit2Ret, pour toutndeN,vn=un. Alors :8n2N;
u n+2= 4un+14un+ 2,vn+2+= 4vn+1+ 44vn4+ 2 ,vn+2= 4vn+14vn+ (2)En prenant= 2,vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre 2, d"équation caracté-
ristiquex24x+ 4 = 0dont la racine double est2. Il existe(a;b)2R2tel que8n2N; vn= 2n(an+b), avecv0=u0+ 2 = 2etv1=u1+ 2 = 3.
On trouve alors :8n2N; vn= 2n(2n=2) = 2n1(4n),
puis :8n2N; un= 2n1(4n)2.Exercice8.Étudier la suiteudéfinie paru0= 1,u1= 0et8n2N; un+2=un+1+ 2un+ 3.
On pourra utiliser une suite auxiliaire du type(unn)n2Noùest une constante adéquate.Correction n o8.Soit2Ret, pour toutndeN,vn=unn. Alors :8n2N;
u n+2= 4un+14un+ 2,vn+2+ (n+ 2)=vn+1(n+ 1)+ 2vn+ 2n+ 3 ,vn+2=vn+1+ 2vn+ (3)En prenant= 3,vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre 2, d"équation caracté-
ristiquex2+x2 = 0dont les racines sont2et1. Il existe(a;b)2R2tel que8n2N; vn= (2)na+b, avecv0=u0= 1etv1=u13 =3.
On trouve alors :8n2N; vn=43
(2)n13 =13 (2)n+21, puis :8n2N; un=13 (2)n+21+ 3n.Exercice9.Lycée HenriPoincaré2/32lo1.2 SuitesRévisions de PCSI1 ANALYSESoitvla suite définie par
v0=eet8n2N; vn+1=ev2n:
1.Montrer quevest strictement positive et strictement croissante.
2.Montrer quevdiverge et quelimn!+1vn= +1.
3.Pour toutndeN, on pose :un= ln(vn). Exprimerunen fonction denet en
déduirevnen fonction den. Retrouver les réponses aux questions précédentesà l"aide de cette expression.Correction n
o9.1.On montre par récurrence que :8n2N; vn>e.
Du coup :8n2N;vn+1v
n=evn>e2>1doncvcroît.2.On peut montrer par récurrence que :8n2N; vn>en, et par comparaison,
limn!+1vn= +1. On peut aussi raisonner par l"absurde. Supposonsvconvergent, de limite`. Alors limn!+1vn+1=`etlimn!+1ev2n=e`2. Par unicité de la limite :`=e`2. `=e`2,`(1e`) = 0,(`= 0ou`= 1=e). Or :8n2N;vn>e)`>e, donc`6= 0et`6= 1=e. Contradiction : doncvdiverge, et commevest croissante,vdiverge vers+1.3.uvérifie la relation de récurrence :8n2N;un+1= ln(ev2n) = 1+2un: c"est une suite
arithmético-géométrique.Avecu0= 1, on obtient :8n2N;un= 2n+11.
Alors :8n2N;vn= exp(2n+11)!n!+1+1.Exercice10.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u0= 1et8n2N; un+1= ln(un+ 1).
1.Montrer que la suite(un)n2Nest bien définie. et que :8n2N; un>0.
2.Montrer que la suite(un)n2Nest décroissante.
3.Justifier la suite(un)n2Nest convergente et déterminer sa limite.Correction n
o10.1.Par récurrence surn2N:P(n): "unexiste etun>0».
2.Par récurrence :u1= ln(2)6u0, etun6un1)un+16un1+1)ln(un+1)6
ln(un1+ 1))un+16un. Variante :un+1un= ln(un+ 1)unet on montre (en l"étudiant) que la fonction x7!ln(x+ 1)xest négative sur]0; +1[.3.uest décroissante et minorée donc converge, et commeuest positive, sa limite`est
positive (ou nulle).Commelimn!+1un+1=`etlimn!+1ln(un+ 1) = ln(`+ 1),`= ln(`) + 1. L"étude dex7!ln(x+ 1)xsur[0; +1[montre que`= 0est l"unique solution de `= ln(`) + 1. Donc`= 0.Exercice11.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u0= 0et8n2N; un+1=pu
n+ 2.1.Montrer que la suite(un)n2Nest bien définie. et que :8n2N;06un62.
2.Étudier la variation de la suite(un)n2N.
3.Justifier la suite(un)n2Nest convergente et déterminer sa limite.Correction n
o11.1.Par récurrence surn2N:P(n): "unexiste et2>un>0».
2.Par récurrence :u1=p2>u0, etun>un1)un+ 2>un1+ 2)pu
n+ 2>pu n1+ 2)un+1>un.3.uest croissante et majorée donc converge, et comme06u62, sa limite`est positive
et inférieure à2.Commelimn!+1un+1=`etlimn!+1pu
n+ 2 =p`+ 2,`=p`+ 2.`=p`+ 2,`2`2 = 0,(`= 2ou`=1), or`>0, donc`= 2.Exercice12.Étudier la suiteudéfinie paru0= 1et8n2N; un+1=unu
2n+ 1.Correction n
o12. Par récurrence, on montre queunest défini et strictement positif pour toutndeN.8n2N;un+1u
n=1u2n+ 1<1doncuest strictement décroissante, et minorée par0, donc
convergente. Sa limite`vérifie`=``2+ 1, donc`2+ 1 = 1, donc`= 0.Exercice13.Étudier la suiteudéfinie paru0= 2et8n2N; un+1=pu
n+ 1.Correction n o13. Se traite comme l"exercice précédent. La suite est décroissante.Sa limite vérifie`=p`+ 1,`2`1 = 0,`=1p5
2 . Comme1p5<0et`>0, `=1 +p5 2Lycée HenriPoincaré3/32lo
1.2 SuitesRévisions de PCSI1 ANALYSEExercice14.Étudier la suiteudéfinie paru02]0; +1[,u12]0; +1[et8n2N; un+2=pu
n+1un.Correction n o14.On établit par récurrence que8n2N;un>0
(par exemple,P(n): "un>0etun+1>0»). On pose alors :8n2N;vn= ln(un), ce qui linéarise la relation de récurrence :8n2N; vn+2= ln(un+2) =12
ln(un+1) +12 ln(un+1) =12 vn+1+12 vn.vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre2dont les solutions de l"équation caracté-
ristique sont1et1=2. Il existe alorsaetbréels tels que8n2N;un=evn=ea+(1=2)nb On peut éventuellement exprimeraetbà l"aide deu0etu1. On peut aussi remarquer queun!n!+1ea.Exercice15.1.Étudier les variations de f: ]0; +1[!R; x7!ln(x+ 1)ln(x)1x2.Déterminer les limites defen 0 et en+1.
3.En déduire :8n2N;ln(n+ 1)ln(n)61n
4.On poseun=nX
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