FONCTION EXPONENTIELLE
f ' = f f (0) = 1 exp(0) = 1. Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. Remarque : On prouvera dans le paragraphe II. que la
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FONCTIONS EXPONENTIELLES (Partie 2)
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MATHÉMATIQUES AU CYCLE 4
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Exercices résolus d'alg`ebre bilinéaire et géométrie du cours de Mathématiques tome 4 –. 1 ex. –. Dunod. ARNAUDI`ES J-M. FRAYSSE H. Cours de Mathématiques.
Liste attribution ME EP 2022.xlsx - Genève
26 juin 2022 1 jeu de 7 feuillets remis en 4P à insérer dans le LSO. MATHEMATIQUES. 3014 MATHS 3P FICHES ELEVE. ED. 1 ex. par élève.
S Antilles – Guyane septembre 2018
Exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points. On considère la suite (un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n
Les fonctions exponentielles Exercices
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (2x + 1)ex. On note C sa courbe représentative. Pour chaque affirmation suivante préciser si elle est vraie ou
Exercices de mathématiques - Exo7
3. y ?y = (x+1)ex (E3) Pour les équations différentielles suivantes trouver les solutions définies ... Exercice 11 Équations de Bernoulli et Riccatti.
S Antilles - Guyane septembre 2018
Exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points1 ⩽ un ⩽ e2
2.a. Démontrer que la suite (un) est croissante.
2.b. En déduire la convergence de la suite (un)
3. Pour tout entier naturel n, on pose :
vn=ln(un)-23.a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 1 2.3.b. Démontrer que pour tout entier naturel n,
vn=-12n-13.c. En déduire une expression de un en fonction de l'entier naturel n.
3.d. Calculer la limite de la suite (un).
4. Dans cette question, on s'interroge sur le comportement de la suite
(un), si l'on choisit d'autres valeurs que 1 pour u0. Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.Affirmation 1 : " Si
u0=2018 alors la suite (un) est croissante ».Affirmation 2 : " Si
u0=2 alors pour tout entier naturel n, 1 ⩽ un ⩽ e2 ». Affirmation 3 : " la suite (un) est constante si et seulement si u0=0 ».S Antilles - Guyane septembre 2018
i ⩽ un ⩽ e2 Initialisation u0=1 donc 1 ⩽ u0 ⩽ e2.La propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédité
Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose
1 ⩽ un ⩽ e2 et on
doit démontrer que 1 ⩽ un+1 ⩽ e2 . La fonction racine carrée est croissante sur [0;+∞[. SiOn obtient : e×1 ⩽ e×
Conclusion
Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n,1 ⩽ un ⩽ e2.
2.a. Pour tout entier naturel n :
Conséquence
un+1-un ⩾ 0 soit un+1 ⩾ un et la suite (un) est croissante.2.b. Toute suite croissante et majorée est convergente.
Or la suite
(un) est croissante et majorée par e2 donc la suite (un) est convergente.3. Pour tout entier naturel n,
vn=ln(un)-2.3.a. Pour tout entier naturel n,
2ln(un)-2=1
2ln(un)-1 vn+1=1
2(ln(un)-2)=1
2vn. La suite (vn) est une suite géométrique de raison 1 2.3.b. v0=ln(u0)-2=ln(1)-2
Pour tout entier naturel n,
vn=v0×qn=-2×(1 2)n =-2×1 2n=-1 2n-1.3.c. vn=ln(un)-2
⇔ ln(un)=2+vn ⇔ ln(un)=2-12n-1=2n-1
2n-1 ⇔
un=e 2n-12n-13.d.
2n-12n-1=2-1
2n-1 limn→+∞2n-1=+∞ limn→+∞
12n-1=0 et limn→+∞2n-1
2n-1=2
Donc limn→+∞ un=e2.4. Affirmation 1 : FAUSSE
Justification
u0=2018 u1=e u0 > u1 donc la suite (un) n'est pas croissante.S Antilles - Guyane septembre 2018
. Affirmation 2 : VRAIEJustification
Si on effectue un raisonnement par récurrence : u0=2 donc 1 ⩽ u0 ⩽ e2 La propriété est vérifiée pour n=0. L'hérédité est démontrée à la question 1. On peut donc conclure que l'affirmation 2 est vraie. . Affirmation 3 : FAUSSEJustification
On détermine les valeurs de
u0 pour lesquelles u1=u0. e u0=0 alors la suite (un) est la suite nulle. Si u0=e2 alors la suite (un) est la suite constante égale à e2.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Maths pourcentage
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