[PDF] Racine carrée de 2 Par définition du terme

View - Download Racine carrée de 2

Previous PDF

Next PDF

Racine carrée de2La diagonale d"un carré.-Considérons un carré dont les côtés ont une

longueur égale à1(disons à1centimètre pour fixer les idées), et traçons l"une des diagonales du carré, comme sur la figure suivante. Quelle est la longueurLde cette diagonale? à peu près1:4: c"est ce que l"on obtient en mesurant la diagonale avec une règle graduée. Mais ceci n"est qu"une

valeur approchée, nous verrons bientôt comment mieux évaluerL.Appliqué au triangle formé de deux côtés adjacents du carré et de la

diagonale associée, le théorème de Pythagore fournit l"équation L 2= 2: Il s"agit, en effet, d"un triangle à angle droit dont la longueur de l"hypothé- nuse (le grand côté) vautL; puisque la longueur des côtés du carré vaut1, on obtient bienL2= 12+ 12= 1 + 1 = 2. Nous avons donc maintenant deux points de vue pour appréhenderL: c"est la longueur de la diagonale du carré - en particulierLest positif - et c"est un nombre vérifiantL2= 2. Par définition du termeracine carrée,Lest donc la racine carrée de2. Plus généralement, la racine carrée d"un nombre positifcest le nombre x0tel quex2=c. On la notepc. Ainsi, L=p2: 1 2 Développement décimal.-Nous l"avons dit,Lvaut à peu près1:4; un dessin précis montre en fait queLest très légèrement supérieur à cette valeur, si bien que le développement décimal deLdoit être de la forme L= 1:4:::avec certaines décimales strictement positives parmi les "trois petits points". Faisons deux tests numériques : -(1:41)2= (1:41)(1:41) = 1;9881est strictement plus petit que2; donc1:41est strictement inférieur àLcarLvérifieL2= 2; -(1:42)2= (1:42)(1:42) = 2;0164est strictement plus grand que

2; donc1:42est strictement supérieur àL.

la forme1:41:::; à nouveau, certains termes parmi ces "trois petits points" doivent être non nuls, car1:41est strictement plus petit queL. Pour déterminer le terme suivant du développement décimal deL, nous en ne retenant que les trois premières décimales, on obtient -(1:411)2= 1:990::: -(1:412)2= 1:993::: -(1:413)2= 1:996::: -(1:414)2= 1:999::: -(1:415)2= 2:002::: etc. Nous avons arrêté le calcul car ces données suffisent à conclure queL est compris entre1:414et1:415, si bien que son développement décimal démarre par la séquence1:414. Si nous poursuivions cet algorithme en testant toutes les possibilités pour le chiffre suivant du développement, et si nous répétions cette recherche pour obtenir les dix premières décimales, nous obtiendrions

L=p2 = 1:4142135623:::

C"est une valeur approchée dep2très précise, mais un peu laborieuse à

déterminer par la méthode que nous venons de décrire.Propriétés du développement décimal.-à la vue des premiers termes

du développement, une chose saute aux yeux : le chiffre0n"est pas encore 3 apparaissent, comme on le voit en poursuivant le calcul p2 = 1:4142135623730950488016::: L"absence de0n"était donc qu"un artefact dû à un arrêt prématuré du cal- cul. Il semble aussi que le développement ne s"arrête jamais! C"est effec- tivement une propriété de racine carrée de2que nous allons démontrer. Théorème.-Le développement décimal dep2ne s"arrête pas : dans l"écriture décimalep2 = 1:41421:::des chiffres non nuls apparaissent arbitrairement loin. Démonstration.- Supposons que le développement s"arrête à un certain stade; notons alorsNla position de la dernière décimale non nulle etaN le chiffre correspondant. La valeur dep2serait donc de la forme

1:41421:::aN:

Comme p2est compris strictement entre1et2, nous savons queN1.

C"est tout ce que nous allons utiliser.

Calculons maintenant le carré de ce nombre en posant la multiplication

1:41421:::aN

1:41421:::aN

Rappelons le procédé : nous allons multiplier1:41421:::aNparaN, puis paraN1, ..., jusqu"aux multiplications par4et par1; nous écrirons les résultats l"un en-dessous de l"autreen décalant convenablement la virgule, puis nous ferons la somme de tous ces résultats. La première chose à faire est de multiplier1:41421:::aNparaN, et la première étape est la multiplicationaNaN. PuisqueaNn"est pas nul, a NaNest l"un des nombres suivants :1,4,9,16,25,36,49,64,81. On abaisse le chiffre des unités correspondant, donc par exemple siaN= 7on abaisse9et on retient4. Quelque soit la valeur deaN, le premier chiffre que l"on va écrire sera non nul. C"est notre première remarque. On termine ensuite la multiplication de1:41421:::aNparaN, puis on décale la virgule : on la décale deNpas vers la gauche en ajoutant des zéros. Ainsi, le tout premier chiffre écrit (le chiffre9lorsqueaN= 7) se 4 Pour continuer l"opération, on doit maintenant multiplier1:41421:::aNpar a N1et décaler la virgule deN1pas. Ici, le premier chiffre obtenu correspond à la multiplicationaN1aNet il se situera - après décalage de la virgule - en position2N1(il peut étre nul, par exemple siaN= 2 etaN1= 5). Il est donc situé un cran à gauche du chiffre précédent. C"est notre troisième remarque. Le même phénomène se reproduit avec les multiplications suivantes, paraN2,:::, jusqu"à1. Enfin, on additionne tous les nombres obtenus. D"après ce que nous venons d"expliquer, le premier chiffre obtenu, situé en position2N, n"est additionné qu"à des zéros : dans le résultat final de la multiplication, il existe donc un chiffre non nul en position2N, avec uniquement des zéros à sa droite. C"est notre dernière remarque. Nous en déduisons que la multiplication ne peut être égale au nombre2, car le dé- veloppement décimal de ce nombre n"a pas cette propriété.

1Nombres rationnels, nombres décimaux, nombres réels.-Le théorè-

me précédent fait apparaître une difficulté intéressante : si le nombrep2 n"est pas un nombre décimal, quel type de nombre est-ce? Il n"y a pas de doute, la diagonale d"un carré a bien une longueur, et cette longueur doit certainement correspondre à un nombre tangible, que l"on peut mesurer. Les mathématiciens utilisent plusieurs types de nombres : les nombres décima ux,ceux qui peuv entêtre écrit a vecun dév elop- pement décimal qui ne fait apparaître qu"un nombre fini de chiffres; les nombres rationnels, ceux que l"on peut représenter comme quo- tientp=qde nombres entiers; les nombres réels, qui ont un dév eloppementdécimal fini ou infini ; et aussi les nombres complexes, les quaternions, les nombres algébriques, etc. Pour appréhender plus efficacementp2il faut mieux comprendre la

notion de nombre réel et de développement décimal.1. Si l"on écrit2 = 2;00000::::, il n"y a que des zéros après la virgule. On pourrait

aussi écrire2 = 1;9999::::avec que des9après la virgule; dans ce cas, il y a bien des chiffres non nuls dans le développement décimal, mais il n"y a pas de0. 5 https ://images.math.cnrs.fr/Autoportrait-de-racine-de-2.html https ://images.math.cnrs.fr/Rationnel-mon-Q.htmlquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] maths racines carrées

[PDF] MATHS RAPIDE

[PDF] Maths Repérage dm

[PDF] maths repère ordonné

[PDF] maths repère seconde exercices corrigés

[PDF] maths reperes seconde hachette exercices corrigés

[PDF] maths resoudre inequation

[PDF] Maths Résoudre Problème

[PDF] Maths résoudre une équation

[PDF] Maths résoudre une équation et calculer les coordonnées des points A et B

[PDF] Maths révision seconde

[PDF] Maths revisions 5 eme ! Svp ! Je suis nul en maths

[PDF] Maths scalaires (DM)

[PDF] Maths seconde

[PDF] Maths Seconde - devoir noté