DROITES
b est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite D. Dans ce repère tracer les droites d1
Attendus de fin de CE1
Indication générale. Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer ordonner
FONCTIONS AFFINES (Partie 2)
un repère par une droite d. Les coordonnées (x ; y) d'un point M appartenant à d vérifient y = ax + b. II. Coefficient directeur et ordonnée à l'origine.
LES FONCTIONS DE REFERENCE
3) Dans un repère orthogonal la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Exercices conseillés En devoir. Exercices
DROITES I) Coefficient directeur ; ordonnée à lorigine
On considère le plan muni d'un repère (
Repères annuels de progression pour le cycle 2
collections et apprennent à les ordonner. Ils repèrent les nombres qui sont avant et après le suivant et le précédent d'un nombre.
TRIGONOMÉTRIE
Dans le plan muni d'un repère orthonormé O ; i Le sinus du nombre réel x est l'ordonnée de M et on note sin x. Exemple :.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
tracer cette droite dans le repère. c) - Le sommet S de la parabole se trouve sur l'axe de symétrie donc il a pour abscisse = –1 et pour ordonnées :.
STATISTIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. STATISTIQUES 1) Dans un repère représenter le nuage de points (xi ; yi).
DROITES DU PLAN
Dans ce cas la droite est parallèle à l'axe des ordonnées. Exemples : Dans un repère
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDROITES DU PLAN
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/d-rUnClmcCY Partie 1 : Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite1. Vecteur directeur
Définition : d
í µ est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de í µ tout vecteur non nul í µí±¢âƒ— qui possède la même direction que la droite í µ. Méthode : Déterminer graphiquement un vecteur directeur d'une droiteVidéo https://youtu.be/6VdSz-0QT4Y
Donner des vecteurs directeurs des
droites d 1 , d 2 , d 3 et d 4Correction
• Pour d 1 On choisit un vecteur qui possède la même direction que la droite d 1Par exemple : í µâƒ—í±Ž
1 2 ) convient. 2 4 ) ou í µâƒ—í±Ž -1 -2 ) sont également des vecteurs directeurs de d 1 • Pour d 2 6 0 ) convient. • Pour d 3 1 -1 ) convient. • Pour d 4 0 2 ) convient.2. Équation cartésienne d'une droite
Définition :
Toute droite admet une équation de la forme í µí µ+í µí µ+í µ=0, avec 0;0 Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite.2 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété : Le vecteur í µí±¢âƒ—í±Ž ) est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne í µí µ+í µí µ+í µ=0.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/GVDUrdsRUdA
Soit í µí±Ž
) un point de la droite í µ et í µí±¢âƒ—í±Ž ) un vecteur directeur de í µ.Un point í µí±Ž
) appartient à la droite í µ si et seulement si les vecteurs í µí µ ) et í µí±¢âƒ—í±Ž sont colinéaires, soit í µí µí µí±¡í µí µ ;í µí±¢âƒ—B=0 soit encore C C=0.Donc : í µ
=0 =0 =0Cette équation peut s'écrire : í µí µ+í µí µ+í µ=0 avec í µ=í µ et í µ=-í µ et í µ=í µí µ
Les coordonnées de í µí±¢âƒ— sont donc í±Ž Exemple : Un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne 4í µ-5í µ-1=0 est le vecteur de coordonnées í±Ž 5 4En effet, í µ=4 et í µ=-5 donc í±Ž
5 4Méthode : Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d'un vecteur
directeurVidéo https://youtu.be/NosYmlLLFB4
Vidéo https://youtu.be/i5WD8IZdEqk
a) Déterminer une équation cartésienne de la droite í µ passant par le point í µí±Ž
3 1 ) et de vecteur directeur í µí±¢âƒ—í±Ž -1 5b) Déterminer une équation cartésienne de la droite í µâ€² passant par les points í µí±Ž
5 3 ) et í µí±Ž 1 -3Correction
a) í µ admet une équation cartésienne de la de la forme í µí µ+í µí µ+í µ=0. • Comme í µí±¢âƒ— í±Ž -1 5 ) est un vecteur directeur de í µ, on a : í±Ž -1 5Soit í µ=5 et í µ=1.
Une équation de í µ est donc de la forme 5í µ+1í µ+í µ=0.3 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr • Pour déterminer í µ, il suffit de substituer les coordonnées í±Ž 3 1 ) de í µ dans l'équation :5×3+1×1+í µ=0
15+1+í µ=0
16+í µ=0
í µ=-16 Une équation de í µ est donc 5í µ+1í µ-16=0. Remarque : Une autre méthode consiste à utiliser le déterminant :Vidéo https://youtu.be/rLxQIbQkPsQ
b) í µ et í µ appartiennent Ã í µ' donc í µí µ est un vecteur directeur de í µâ€².On a : í µí µ
1-5 -3-3 -4 -6 ). Donc í µ=-6 et í µ=4. Une équation cartésienne de í µâ€² est de la forme : -6í µ+4í µ+í µ=0. 5 3 ) appartient Ã í µâ€² donc : -6×5+4×3+í µ=0 donc í µ=18.Une équation cartésienne de í µâ€² est : -6í µ+4í µ+18=0 ou encore -3í µ+2í µ+9=0.
Méthode : Tracer une droite à partir de l'équation cartésienneVidéo https://youtu.be/EchUv2cGtzo
Tracer la droite í µ d'équation cartésienne 3í µ+2í µ-5=0.Correction
Pour tracer une droite, il suffit de connaître un point appartenant à la droite et un vecteur directeur. • On choisit le point d'abscisse 0 : Comme í µ=0, on remplace í µpar 0 dans l'équation et on calcule la valeur de í µ correspondante :3×0+2í µ-5=0
2í µ=5
5 2 =2,5Le point í µde coordonnées í±Ž
0 2,5 ) appartient à la droite í µ. • í µ=3 et í µ=2 donc í±Ž -2 3 -2 3 ) est un vecteur directeur de í µ. On trace la droite í µ passant par le point í µí±Ž 0 2,5 ) et de vecteur directeur í µí±¢âƒ— í±Ž -2 34 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr3. Position relative de deux droites
Propriété :
Dire que deux droites sont parallèles équivaut à dire qu'elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Méthode : Déterminer la position relative des deux droitesVidéo https://youtu.be/NjsVdVolhvU
Démontrer que les droites í µ
et í µ d'équations respectives 6í µ-10í µ-5=0 et -9í µ+15í µ=0 sont parallèles.Correction
Le vecteur í µí±¢âƒ—í±Ž
10 6 ) est un vecteur directeur de la droite í µLe vecteur í µâƒ—í±Ž
-15 -9 ) est un vecteur directeur de la droite í µCalculons í µí µí µ
=C 10-15 6-9C=10×
-9 -6× -15 =0 Donc í µí±¢âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires et donc les droites í µ et í µ sont parallèles. Partie 2 : Équation réduite et pente d'une droite1. Équation réduite
Exemple : Soit í µ dont une droite d'équation cartésienne 4í µ+í µ-6=0.On a alors : 4í µ+í µ=6
í µ=-4í µ+6 Cette équation est appelée l'équation réduite de la droite í µ.Propriété :
Soit une droite í µ.
- Si í µ est parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de í µ est de la forme í µ=í µ. - Si í µ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de í µ est de la forme í µ=í µí µ+í µ. Cette équation est appelée équation réduite de la droite í µ.5 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDémonstration :
• Si í µâ‰ 0, alors l'équation cartésienne í µí µ+í µí µ+í µ=0 de la droite í µ peut être ramenée à une
équation réduite í µ=-
. Et on note í µ=- et í µ=-• Si í µ=0, alors l'équation cartésienne í µí µ+í µí µ+í µ=0 de la droite í µ peut être ramenée Ã
l'équation í µ=- . Dans ce cas, la droite í µ est parallèle à l'axe des ordonnées.Exemples :
• L'équation í µ=-4í µ+6 est l'équation réduite d'une droite avec : í µ=-4 et í µ=6.• L'équation í µ=5 est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées avec :
í µ=5.Méthode : Passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite et réciproquement
Vidéo https://youtu.be/XA0YajthETQ
a) Soit la droite í µ d'équation cartésienne 6í µ+3í µ-5=0. Déterminer l'équation réduite de í µ.
b) Soit la droite í µ' d'équation réduite í µ=6í µ-5. Déterminer une équation catésienne de í µâ€².
Correction
a) On veut exprimer l'équation sous la forme í µ=í µí µ+í µ. Il s'agit donc d'isoler í µ dans l'équation.
6í µ+3í µ-5=0
3í µ=-6í µ+5
-6í µ+5 3 í µ=-2í µ+ : équation réduite de í µ.b) On veut exprimer l'équation sous la forme í µí µ+í µí µ+í µ=0. Il s'agit donc de ramener tous les
termes de l'équation dans le membre de gauche. í µ=6í µ-5 -6í µ+í µ+5=0 : équation cartésienne de í µ'. Vocabulaire : - í µ est appelé la pente ou le coefficient directeur de la droite í µ. - í µ est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite í µ. Remarque : Dans l'équation réduite, on retrouve l'expression d'une fonction affine.Exercice :
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Donner la pente (coefficient directeur) et l'ordonnée à l'origine de chacune des droites d'équations : a) í µ=-2í µ+3 b) í µ=5 c) 4í µ+2í µ=1Réponses
a) Pente : -2 b) Pente : 0 Ordonnée à l'origine : 3 Ordonnée à l'origine : 5 c) L'équation peut s'écrire sous sa forme réduite : í µ=-2í µ+Pente : -2
Ordonnée à l'origine :
Méthode : Représenter graphiquement une droite d'équation réduite donnéeVidéo https://youtu.be/cUdhxkaTqqk
Dans un repère, tracer les droites í µ
et í µ d'équations respectives : í µ=2í µ+3, í µ=4, í µ=3.Correction
- La droite í µ d'équation í µ=2í µ+3a pour ordonnée à l'origine 3. Donc le point de coordonnée í±Ž 0 3 ) appartient à la droite í µ - On choisit le point d'abscisse 2 : Comme í µ=2, on remplace í µpar 2 dans l'équation et on calcule la valeur de í µ correspondante : í µ=2×2+3=7.Le point de coordonnées í±Ž
2 7 ) appartient à d 1.On peut ainsi tracer la droite í µ
passant par ces deux points. La droite í µ d'équation í µ=4 est l'ensemble des points dont l'ordonnée est égale à 4. La droite í µ est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées í±Ž 0 4 La droite í µ d'équation í µ=3 est l'ensemble des points dont l'abscisse est égale à 3. La droite í µ est donc la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées í±Ž 3 0 Méthode : Vérifier si un point appartient à une droite d'équation donnée7 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVidéo https://youtu.be/XA0YajthETQ
Les points í µí±Ž
6 39) et í µí±Ž 346
2420
) appartiennent-ils à la droite í µ d'équation í µ=7í µ-3 ?
Correction
• Dire que le point í µí±Ž 6 39) appartient à la droite í µ d'équation í µ=7í µ-3 revient à dire que les coordonnées de í µ vérifient l'équation de la droite í µ.
Ce qui est le cas, puisque í µ=7×6-3=39.
Le point í µ appartient donc à la droite í µ. • Les coordonnées de í µí±Ž 3462420
) ne vérifient pas l'équation de la droite í µ. En effet : 7×346-3=2419≠2420 donc le point í µ n'appartient pas à la droite í µ.
Remarque : Pour démontrer que 3 points A, B et C sont alignés, il suffit de montrer par exemple
que le point A vérifie l'équation de la droite (BC).2. Pente d'une droite
Propriété : Si í µí±Ž
) et í µí±Ž ) sont deux points distincts d'une droite tel que í µ alors la droite a pour pente (ou coefficient directeur) í µ= Méthode : Déterminer une équation réduite de droite dont on connaît deux pointsVidéo https://youtu.be/tfagLy6QRuw
Soit í µí±Ž
4 -1 ) et í µí±Ž 3 5 ) deux points d'une droite í µ. Déterminer une équation de la droite í µ.Correction
L'équation réduite de la droite í µ est de la forme í µ=í µí µ+í µ. • La pente (coefficient directeur) de í µ est : í µ= 0 =-6. L'équation de í µ est donc de la forme : í µ=-6í µ+í µ. • Comme í µí±Ž 4 -1 ) appartient à la droite d, ses coordonnées vérifient l'équation de í µ.Soit : -1=-6×4+í µ.
D'où í µ=-1+6×4=23.
L'équation réduite de í µ est donc :í µ=-6í µ+23.ALGORITHME
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr TP avec Python : Déterminer une équation de droite passant par deux points donnés3. Position relative de deux droites
Propriété : Soient deux droites d'équations réduites í µ=í µí µ+í µet í µ=í µâ€²í µ+í µâ€².
Dire que les droites sont parallèles revient à dire que leurs pentes sont égales (í µ=í µâ€²).
Remarque : Lorsque les pentes sont différentes, les droites sont sécantes.Exemple : Les droites í µ
et í µ d'équations respectives í µ=3í µ+4et í µ=3í µ+9 sont parallèles car elles ont la même pente égale à 3. Méthode : Déterminer la position relative de deux droitesVidéo https://youtu.be/gTUPGw7Bulc
Dans chaque cas, déterminer la position relative des deux droites : a) í µ :í µ=-2í µ-5 et í µ :í µ=-2í µ+4 b) í µ :í µ=2í µ+1 et í µ :í µ=-3í µ+8quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] maths reperes seconde hachette exercices corrigés
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