DM 1 - Unicité des solutions entropiques des lois de conservation PDF

M2 Mathématiques de la modélisation. Anne-Laure Dalibard. DM 1 - Unicité des solutions entropiques des lois de conservation scalaires.

Opérateurs différentiels

Pour un champ de vecteurs ce sont le rotationnel (un vecteur) la divergence (un scalaire) et le laplacien vectoriel (un vecteur). 1 Produit scalaire et

Calcul vectoriel – Produit scalaire

problèmes de géométrie par exemple calculer une mesure d'angle ou la longueur d'un segment. Produit scalaire de deux vecteurs. 24. Définition. Soit u et v deux

Math2 – Chapitre 4 Champs scalaires et champs de vecteurs

En maths un champ scalaire est assimilé `a une fonction ? : R3. ?? R

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Professeur de mathématiques Nature : récréations mathématiques ... Calculer des produits scalaires et utiliser les propriétés du produit scalaire.

Chapitre14 : Produit scalaire sur un R-ev

Ce qui est vrai car ?(x y) ?

? a?(x

y) (Cauchy–Schwartz). On appelle cette norme la norme associée au produit scalaire ?. MPSI Mathématiques.

1 S1 Contrôle du mardi 12 mai 2015 (3 heures)

12?/05?/2015 a) Exprimer les produits scalaires DM PB. ... b) En déduire que la droite (DM) est perpendiculaire à la droite (PQ).

LE SYMBOLE DE LEURO

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Commentaire : Réaliser un dessin à partir de lignes de niveau du produit scalaire et.

DM N°1 ( pour le 08/09/2017) Partie 0 : Étude dun premier exemple

28?/06?/2017 DM N°1 ( pour le 08/09/2017). Notations et objectifs : ... b) Montrer que l'application (MN) ?? tr(tMN) est un produit scalaire sur E.

Terminale S - Produit scalaire dans lespace

Produit scalaire dans l'espace. I) Produit scalaire du plan (rappel). 1) Différentes expressions du produit scalaire. Si ?? et ?? sont deux vecteurs

Année 2017-2018 Équations aux dérivées partielles d"évolution M2 Mathématiques de la modélisation Anne-Laure Dalibard

DM 1 - Unicité des solutions entropiques

des lois de conservation scalaires Dans tout ce problème, on se donne un fluxA2W1;1(R)N, et on considère le problème de Cauchy tu+ divA(u) = 0dans]0;+1[RN; u jt=0=u02L1(RN):(LCS)

On rappelle la définition suivante :

Définition 1.Soitu02L1(RN),u2L1(R+RN)\C(R+;L1loc(RN)). On dit queuest une solution entropique de(LCS)siuest solution de(LCS)au sens des distributions et si pour toute fonction

S2 C2(R)convexe, on a

tS(u) + divS(u)0(1) au sens des distributions, où0S=S0A0. Le sens de(1)est le suivant : pour toute fonction'2 C1c([0;+1[RN)telle que'0, on a Z 1 0Z R

N[S(u(t;x))@t'(t;x) +S(u(t;x)) rx'(t;x)]dt dx+Z

NS(u0(x))'(0;x)dx0:

On se propose de montrer le théorème suivant :

Théorème 2(Unicité des solutions entropiques de (LCS)).Soitu02L1(RN):Alors le problème de

Cauchy(LCS)admet au plus une solution entropiqueu2L1(R+RN)\ C(R+;L1loc(RN)). De plus, pour toutv02L1(RN), sivest la solution entropique de(LCS)telle quevjt=0=v0, alors tjuvj+ div [sgn(uv)(A(u)A(v))]0(2) au sens des distributions. En particulier, siu0;v02L1\L1(RN), alorsu;v2L1(R+;L1(RN))et pour presque toutt0, on a ku(t)v(t)kL1(RN) ku0v0kL1(RN) Remarque 3.On peut également montrer l"existence de solutions entropiques, mais cela ne fait pas l"objet de ce devoir.

Première partie : entropies de Kruzkhov

Le but de cette première partie est de montrer le résultat suivant : Proposition 4.Soitu2L1(R+RN)\ C(R+;L1loc(RN)). Alorsuest solution entropique de(LCS) si et seulement si

8k2R; @tjukj+ div (sgn(uk)(A(u)A(k)))0dansD0:(3)

Les entropies7! jkjsont appelées entropies de Kruzkhov. La fonctionsgnest définie par sgn() =1>01<0. 1. Soit u2L1(R+RN)\ C(R+;L1loc(RN))une solution entropique de (LCS), et soitk2R quelconque. 1 (a)P our >0quelconque, on définitS:R7!Rpar S () =(jkj 12 sijkj ; 2

1cos(k)2

sijkj< :

Montrer queS2 C2(R), queSest convexe et que

jS() jkjj 12 82R:
(b) En c hoisissantSde telle sorte queS(k) = 0(ce qui est licite puisqueSest défini à une constante près), montrer que lorsque!0, S (u)*jukj; S(u)*sgn(uk)(A(u)A(k)) au sens des distributions dansR+RN, et que S (u0)*ju0kj au sens des distributions dansRN. (c)

En déduire que uvérifie (3) pour toutk2R.

Récipro quement,soit uune solution de (LCS) au sens des distributions telle que l"inégalité (3)

est vérifiée pour toutk2R. (a) Soit m2Nquelconque. On considère l"ensembleEmdes fonctionsTde la forme

T(x) =b0+b1x+mX

i=1a ijxkij; avecb0;b12R,a1;;am>0etk1;;km2R.

Montrer que siT2 Em, alorsTest convexe et que

tT(u) + divT(u)0 au sens des distributions, où

T() :=b1A() +mX

i=1a isgn(ki)(A()A(ki)): (b) Mon trerque si Test une fonction convexe continue affine par morceaux, alors il existem2N tel queT2 Em. (c) Soit S2 C2(R)une fonction convexe quelconque. On poseM:=kukL1(R+RN). Soit >0quelconque. Montrer qu"il existem>0etT2 Emtels que

8x2[M;M]; S(x)T(x)S(x) +;jS(x)T(x)j kA0k1:

(d) En déduire que uest une solution entropique de (LCS).

Remarque 5.On peut montrer le même résultat en remplaçant la famille des entropies de Kruzkhov

par la famille7!(k)+, pourk2R, ou par la famille7!(k). À cet égard, on remarquera quejj= 2+pour tout2R. 2 Deuxième partie : preuve de l"inégalité(2)

L"idée est d"utiliser l"inégalité (3) pourudans les variablest;xaveck=v(s;y), puis l"inégalité (3)

pourvdans les variabless;ypourk=u(t;x), et de conclure à l"aide d"un noyau de régularisation.

Pour cela, on commence par quelques résultats techniques sur la régularisation par convolution.

Soit'2 C1c([0;+1[RN). Soit2 C1c(] 1;0[RN)telle que Z 0 1Z R

N= 1; 0:

Pour >0, on pose:=(N+1)(=).

Soit v2L1(R+RN). Montrer que

lim !0Z 1 0Z R NZ 1 0Z R

Njv(t;x)v(s;y)j'(t;x)(ts;xy)dy ds dx dt= 0:

2. Soit Fune fonction localement lipschitzienne surR2, et soitu;vdeux fonctions deL1(R+ R

N)\ C([0;1[;L1loc(RN)). Montrer que

lim !0Z 1 0Z R NZ 1 0Z R

NF(u(t;x);v(s;y))'(t;x)(ts;xy)dy ds dx dt

Z 1 0Z R

NF(u(t;x);v(t;x))'(t;x)dx dt;

et que lim !0Z R NZ 1 0Z R

NF(u0(x);v(s;y))'(0;x)(s;xy)dy ds dx

Z R

NF(u0(x);v0(x))'(0;x)dx:

3. Soit u;v2L1(R+RN)\C([0;1[;L1loc(RN))deux solutions entropiques de (LCS), associées aux données initialesu0;v0respectivement. Soit2 C1c([0;1[RN[0;1[RN)telle que0.

On pose

= [0;1[RN[0;1[RN. Montrer que Z ju(t;x)v(s;y)j(@t +@s)(t;x;s;y)dy ds dx dt Z sgn(u(t;x)v(s;y))(A(u(t;x))A(v(s;y)))(rx +ry)(t;x;s;y)dy ds dx dt Z 1 0Z R

NRNju0(x)v(s;y)j(0;x;s;y)dy dx ds

Z 1 0Z R

NRNju(t;x)v0(y)j(t;x;0;y)dx dy dt0:

4. En prenan t(t;x;s;y) ='(t;x)(ts;xy)et en supposant'0(en plus des hypothèses précédentes), montrer que Z 1 0Z R N[ju(t;x)v(t;x)j@t'+ sgn(u(t;x)v(t;x))(A(u(t;x))A(v(t;x))) rx'] Z 1 0 ju0(x)v0(x)j'(0;x)dx0:(4)

En déduire l"inégalité (2).

Troisième partie : unicité et contractionL1

Soitu;vdeux solutions entropiques de (LCS) pour les données initiales respectivesu0;v02L1(RN). 1. Mon trerque p ourtout T >0, pour tout2 C1c(RN)tel que0, on a Z R

Nju(T;x)v(T;x)j(x)dx

Z R

Nju0(x)v0(x)j(x)dx

Z T 0Z R

Nsgn(u(t;x)v(t;x))(A(u(t;x))A(v(t;x))) r(x)dx dt:

En déduire que p ourtout >0, pour toutT >0,

Z R

Nju(T;x)v(T;x)jexp(jxj)dxZ

Nju0(x)v0(x)jexp(jxj)dx

+kA0k1Z T 0Z R

Nju(t;x)v(t;x)jexp(jxj)dx dt:

Mon trerque p ourtout >0, pour toutT >0,