[PDF] Seconde - Equations cartésiennes dune droite

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I) :

1) Définition

Soit (d) une droite du plan.

la même direction que la droite (d).

Exemple 1 :

Toute droite possède une infinité de vecteurs directeurs.

Exemple 2 :

Remarques :

Deux points distincts quelconques de la droite (d) définissent un vecteur directeur de cette droite.

Deux droit

II

1) Propriété

Toute droite (d) a une équation de la forme ࢇ࢞൅࢈࢟൅ࢉൌ૙

Remarque :

En effet, si ࢇ࢞൅࢈࢟൅ࢉൌ૙ est une équation cartésienne de (d), alors pour tout réel ࢑

non nul, ࢑ࢇ࢞൅࢑࢈࢟൅࢑ࢉൌ૙ est une autre équation de la même droite.

2) Propriété réciproque

(࢞ Ǣ࢟ : ࢇ࢞൅࢈࢟൅ࢉൌ૙ avec

Démonstration :

" M appartient à (d) » équivaut à :

Déterminant des vecteurs ܯܣ

" ࢗ (ݔെ࢞࡭ ) - ࢖ (࢟െ࢟࡭) = 0 qui équivaut à : coordonnées (െ࢈ ;ࢇ). Si ࢇ ൌ0, alors ࢈ ് 0 , ܽݔ൅ܾݕ൅ܿ ௕ . Attention l abscisses. Si ࢈ ൌ0, alors ࢇ ് 0 , ܽݔ൅ܾݕ൅ܿ ௔ . Attention l

3) Exemples

Méthode 1 : , connaissant un

point et un vecteur directeur : Soit (O ; ଓԦ ; ଔԦ) un repère du plan Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point A( 1 ; - Réponse : Soit M un point de d de coordonnées : M (ݔ ; ݕ) ͵ݔെ͵൅ݕ൅ͳൌͲ équivaut à :

૜࢞൅࢟െ૛ൌ૙ Une équation cartésienne de la droite d est : ૜࢞൅࢟െ૛ൌ૙

Méthode 2 : connaissant deux

points distincts de la droite exemple : Soit (O ; ଓԦ ; ଔԦ) un repère du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par les points A (5 ; 13) et

B (10; 23 ).

vecteur directeur de cette droite.

Donc b = 1 et a = -2

Une équation cartésienne de la droite d est donc de la forme : െ૛ݔ൅ݕ൅ܿ

Comme le point A (5 ; 13 :

: c = െ 3

Une équation cartésienne de la droite d est donc : െ૛࢞൅࢟െ૜ൌ૙

Méthode 3 :

représentation graphique : Soit (O ; ଓԦ ; ଔԦ) un repère du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droite d, tracée ci-dessous

Réponse :

Une équation cartésienne de la droite d est de la forme : Méthode 2 : On prend deux points de la droite, par exemple : A (4 ; 1) et B (-2 ; -1) et

Soit (d) une droite du plan.

Si (d) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, alors il existe un unique

couple de réels (࢓ǡ࢖) tel que l'équation ࢟ൌ࢓࢞൅ ࢖ soit une équation de (d)

: ࢓࢞െ࢟൅ ࢖ = 0 Si (d) est parallèle à l'axe des ordonnées, alors il existe un unique réel ࢉ tel que l'équation ࢞ൌࢉ soit une équation de (d).

Remarque : Soit (d) une droite

Son équation réduite forme: ݕൌ݉ݔ൅ ݌ . Nous avons vu dans les classes précédentes, que le nombre ࢓ est le coefficient directeur de la droite (d). ࢓ݔെݕ൅݌ൌͲ. Un vecteur directeur de cette droite est donc (1 ; ࢓) Cette droite (d) est la représentation graphique de la fonction affine :

Exemple:

Son équation réduite est de la forme: ࢟ = -2࢞െ ૜

Un vecteur directeur de cette droite est (1 ; -2)

III) Récapitulatif : Equations cartésiennes et équations réduites

Cas où

࢈ൌ૙ et ࢇ്૙

Cas où

ࢇൌ૙ et ࢈്૙

Cas où ࢉൌ૙ et

ࢇ്૙ et ࢈്૙

Cas où ࢉ്૙ et ࢇ്

૙ et ࢈്૙

Equation

cartésienne

Equation

réduite ݔൌെ ௖

Représentation

graphique

IV) Positions relatives de deux droites

1) Propriété

ࢇ࢞൅࢈࢟൅ࢉൌ૙ et ࢇԢ࢞൅

࢈Ԣ࢟൅ࢉԢൌ૙ sont parallèles si et seulement si : ࢇ࢈ᇱെࢇᇱ࢈ൌ૙

2) Démonstration :

ܽ : ݔ൅ܾݕ൅ܿൌͲ et ܽԢݔ൅ܾԢݕ൅ܿ ce qui équivaut à : െ࢈ ࢇԢ െࢇ (െ࢈Ԣ) = 0 ce qui équivaut à : ࢇ࢈Ԣ െ ࢇԢ࢈ = 0.

3) Exemples

Exemple 1 : Dans un repère du plan (O ; ଓԦ ; ଔԦ),

la droite d1 a pour équation : ʹݔ൅ݕെ͵ൌͲ et d2 a pour équation : -4 ݔെʹݕ൅ͷൌͲ.

Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Réponse :

Les droites d1 et d2 sont donc parallèles.

Exemple 2 : Dans un repère du plan (O ; ଓԦ ; ଔԦ),

la droite d1 a pour équation : ͵ݔ൅ʹݕെ͵ൌͲ et d2 a pour équation : - ݔ൅ʹݕ൅ͷൌͲ.

Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Réponse :

Les droites d1 et d2 ne sont donc pas parallèles.

Remarque:

Soit la droite (d) ࢟ൌ࢓࢞൅࢖ : ࢟Ԣൌ࢓Ԣ࢞൅࢖Ԣ

En effet les vecteurs de coordonnées (1 ; ݉) et (1 ;݉quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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