VECTEURS ET REPÉRAGE
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ?et ? sont de norme 1. TP info : Lectures de coordonnées : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/
Chapitre II : Repères/Coordonnées/Configurations du plan
Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si ses axes sont perpendiculaires http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/Seconde/Configurations_plan.pdf.
PRODUIT SCALAIRE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. PRODUIT SCALAIRE Produit scalaire dans un repère orthonormé. Le plan est muni d'un repère ...
GÉOMÉTRIE REPÉRÉE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. GÉOMÉTRIE REPÉRÉE. On se place dans un repère orthonormé ( ; ? ?) du plan.
DS3 vecteurs et coordonnées - Seconde
Exercice 4 : (4 points). Soit (O ;. ? i . ? j ) un repère orthonormé du plan. Soit A(3 ;-5)
NOM : Prénom : Classe : 2nde… CONTRÔLE N°2 Consignes : - l
Exercice 2 : (sur la copie double). / 5 points. 1. Construire un repère orthonormé (OI
Seconde Repérage et configurations du plan - I Repères et
Les axes sont perpendiculaires en O et. OI = OJ. Repère orthogonal. La maille est un rectangle. Les axes sont perpendiculaires en O.
FONCTIONS DE REFERENCE
I. Rappels de la classe de seconde. 1) Sens de variation d'une fonction Dans un repère orthogonal la courbe de la fonction carré.
LES FONCTIONS DE REFERENCE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LES FONCTIONS DE REFERENCE 1) Placer les points A et B dans un repère orthonormé.
REPERAGE DANS LE PLAN
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. REPERAGE DANS LE PLAN. I. Repère Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si i.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVECTEURS ET REPÉRAGE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9OB3hct6gakPartie 1 : Repère du plan
Trois points du plan non alignés O, I et J forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les unités OI et OJ permettent de graduer les axes (OI) et (OJ).Si on pose í µâƒ— = í µí µ
et í µâƒ— = í µí µ , alors ce repère se note également (O, í µâƒ— ,Définitions :
- On appelle repère du plan tout triplet (O, í µâƒ—, í µâƒ—) où O est un point et í µâƒ— et í µâƒ— sont deux vecteurs non
colinéaires.- Un repère est dit orthogonal si í µâƒ— et í µâƒ— ont des directions perpendiculaires.
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si í µâƒ— et í µâƒ— sont de norme 1.
TP info : Lectures de coordonnées :
Partie 2 : Coordonnées d'un vecteur
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
Pour aller de A vers B, on parcourt un chemin :
3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut.
Ainsi í µí µ
=3í µâƒ—+2í µâƒ—.Les coordonnées de í µí µ
se notent . 3 2 / ou (3;2). On préfèrera la première notation.í µâƒ— O í µâƒ— Repère orthogonal í µâƒ— O í µâƒ— Repère orthonormé í µâƒ— O í µâƒ— Repère quelconque í µâƒ— í µâƒ— I J O
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphiqueVidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
a) Dans le repère (O, í µâƒ—, í µâƒ—), placer les points í µ. -1 -2 -2 3 1 -4 4 -2 b) Déterminer les coordonnées des vecteurs í µí µ et í µí µ par lecture graphique.Correction
On a :
=-í µâƒ—+5í µâƒ— donc í µí µ a pour coordonnées . -1 5 =3í µâƒ—+2í µâƒ— donc í µí µ a pour coordonnées . 3 2Propriété :
Soit deux points í µ.
/ et í µ.Le vecteur í µí µ
a pour coordonnées . Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par calculVidéo https://youtu.be/wnNzmod2tMM
Calculer les coordonnées des vecteurs í µí µ et í µí µ , tels que : 2 1 5 3 -1 -2 -2 3 1 -4 / et í µ. 4 -2Correction
5-2 3-1 3 2 -2- -1 3- -2 A = . -1 5 4-1 -2- -4 A = . 3 23 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPropriétés :
Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ—.
/ et í µâƒ—í±¦A, et un réel í µ.
On a :
A í µí µí°¼âƒ— í±¦
A -í µí°¼âƒ—.
í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont égaux lorsque í µ=í µâ€² et í µ=í µâ€². Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteursVidéo https://youtu.be/rC3xJNCuzkw
En prenant les données de la méthode précédente, calculer les coordonnées des vecteurs 3í µí µ
4í µí µ
et 3í µí µ -4í µí µCorrection
On a : í µí µ
3 2 / et í µí µ -1 53í µí µ
3×3
3×2
9 6 /, 4í µí µ 4× -14×5
-4 203í µí µ
-4í µí µ 9- -4 6-20 13 -14 Méthode : Calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielleVidéo https://youtu.be/eQsMZTcniuY
Soit les points í µ.
1 2 -4 3 1 -2Déterminer les coordonnées du point í µ tel que í µí µí µí µ soit un parallélogramme.
Correction
í µí µí µí µ est un parallélogramme si et seulement si í µí µOn pose .
/ les coordonnées du point í µ.On a alors : í µí µ
-4-1 3-2 -5 1 / et í µí µ1-í µ
-2-í µ ADonc : 1-í µ
=-5 et -2-í µ =1 =-5-1 et -í µ =1+2 =6 et í µ =-3.Les coordonnées du point í µ sont donc .
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 3 : Colinéarité de deux vecteurs
1. Critère de colinéarité
Propriété : Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ— . / et í µâƒ— í±¦ A.Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que : í µí µ'-í µí µ'=0.
Remarque : Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux
vecteurs sont proportionnelles soit : í µí µ'=í µí µ'.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/VKMrzaiPtw4
• Si l'un des vecteurs est nul alors l'équivalence est évidente. • Supposons maintenant que les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— soient non nuls.Dire que les vecteurs í µí°¼âƒ—.
/ et í µâƒ—í±¦ A sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un nombre réel í µ tel que í µí°¼âƒ— =í µí µâƒ—.Les coordonnées des vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un
tableau de proportionnalité : Donc : í µí µ'=í µí µ' soit encore í µí µ'-í µí µ'=0. Réciproquement, si í µí µ'-í µí µ'=0. Le vecteur í µâƒ— étant non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que í µ'≠0. Posons alors í µ= . L'égalité í µí µ'-í µí µ'=0 s'écrit : í µí µ'=í µí µ'.Soit : í µ =
Comme on a déjÃ í µ = í µí µâ€², on en déduit que í µí°¼âƒ— =í µí µâƒ—.
Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéairesVidéo https://youtu.be/eX-_639Pfw8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires. a) í µí°¼âƒ—. 4 -7 / et í µâƒ—. -12 21/ b) í µí°¼âƒ—. 5 -2 / et í µâƒ—. 15 -7
Correction
a) í µí µ'-í µí µ'=4×21- -7 -12 =84-84=0.Le critère de colinéarité est vérifié donc les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc colinéaires.
On peut également observer directement que í µâƒ—=-3í µí°¼âƒ—.5 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr b) í µí µ'-í µí µ'=5× -7 -2 15 =-35+30=-5≠0.Le critère de colinéarité n'est pas vérifié donc les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— ne sont donc pas colinéaires.
2. Déterminant de deux vecteurs
Définition : Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ— . / et í µâƒ— í±¦ A.Le nombre í µí µ'-í µí µ' est appelé déterminant des vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ—.
On note : í µí µí µ
Propriété : Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que í µí µí µ
=0. Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminantVidéo https://youtu.be/MeHOuwy81-8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires. a) í µí°¼âƒ—. -6 10 / et í µâƒ—. 9 -15 / b) í µí°¼âƒ—. 4 9 / et í µâƒ—. 11 23Correction
a) í µí µí µ =R -69 10-15 R= -6 -15 -10×9=90-90=0 Les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc colinéaires. b) í µí µí µ =R 411923
R=4×23-9×11=92-99=-7≠0
Les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— ne sont donc pas colinéaires.3. Applications
Propriétés :
1) Dire que les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont parallèles revient à dire que les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires.2) Dire que les points í µ, í µ et í µ sont alignés revient à dire que les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires.Méthode : Appliquer la colinéarité
Vidéo https://youtu.be/hp8v6YAQQRI
Vidéo https://youtu.be/dZ81uKVDGpE
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frOn considère les points í µ.
-1 1 3 2 -2 -3 6 -1 / et í µ. 5 0 a) Démontrer que les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont parallèles. b) Démontrer que les points í µ, í µ et í µ sont alignés.Correction
a) í µí µ 3- -1 2-1 4 1 / et í µí µ 6- -2 -1- -3 A = . 8 2 í µí µí µSí µí µ T=R 4812
R=4×2-8×1=8-8=0
Les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires. Donc les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont parallèles.Remarque :
On aurait pu également remarquer que les coordonnées de í µí µ et í µí µ sont proportionnelles pour en déduire que les vecteurs í µí µ et í µí µ sont colinéaires. b) í µí µ 3-5 2-0 -2 2 / et í µí µ 6-5 -1-0 1 -1 í µí µí µSí µí µ T=R -21 2-1R=-2×
-1 -2×1=0Les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires. Donc les points í µ, í µ et í µ sont alignés.Partie 4 : Coordonnées du milieu d'un segment
Propriété : Soit deux points í µ.
/ et í µ. Le milieu í µdu segment [í µí µ] a pour coordonnées : X YDémonstration :
Considérons le parallélogramme construit à partir de í µ, í µ et í µ.Soit í µ son centre.
Alors í µí µ
(ou í µ) a donc les mêmes coordonnées que celles du vecteur ) soit : Z [=X Y.B O M A
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Calculer les coordonnées d'un milieuVidéo https://youtu.be/YTQCtSvxAmM
On considère les points í µ.
2 3 -2 1 / et í µ. 3 -1Calculer les coordonnées de í µ, í µet í µmilieux respectifs de [í µí µ], [í µí µ] et [í µí µ].
Correction
2+ -2 2 3+1 2 _=. 0 2 2+3 2 3+ -1 2 _=. 2,5 1 -2+3 2 1+ -1 2 _=. 0,5 0 Partie 5 : Distance dans un repère orthonorméPropriété : Soit deux points í µ.
/ et í µ. / dans un repère orthonormé : La distance í µí µ (ou la norme de í µí µ ) est : í µí µ= ` Remarque : Cette propriété est une conséquence du théorème de Pythagore. Méthode : Calculer une distance dans un repère orthonorméVidéo https://youtu.be/pP8ebg8W9o8
Soit deux points í µ.
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