[PDF] Théor`eme de Gauss - Spé maths - Terminale S : Exercices Corrigés

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Theoreme de Gauss - Spe maths - Terminale S : Exercices

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jaicompris.com Resoudre une equation diophantienne du typeax+by=c1.Justier que l' equation: 15x9y= 14n'admet aucun couple d'entiers(x;y)solution.

2. On souhaite main tenantr esoudredans Z2l'equation(E) : 13x+ 9y= 2. (a) Justier que (E)possede au moins un couple d'entiers solution. (b) D eterminerun coup le(x0;y0)d'entiers solution de(E). (c) Mon trerque l' equation(E)est equivalente a(E0) : 13(xx0) =9(yy0). (d) Mon trerqu esi (x;y)est un couple d'entiers solution de(E)alors il existe un entierk tel que :x=4 + 9kety= 613k. (e)

D eterminerl'ensem bledes couples d'en tierssolutions de l' equation(E).Arithmetique et calculatrice - Corollaire du theoreme de Gauss - Nombre de Mersenne

Un eleve utilise sa calculatrice et obtient les resultats ci-dessous : Au vue des resultats, il arme que3divise2331et4divise2331et que12ne divise pas2331.

1) En quoi cette armation est-elle contradictoire?

2) Justier que, en realite,4ne divise pas2331.

3) Montrer que3ne divise pas2331.

4) Demontrer que 7 divise2331.Theoreme de Gauss : demonstration

L'objectif de l'exercice est de demontrer le theoreme de Gauss :

Soienta,betctrois entiers non nuls.

Siadivise le produitbcet siaetbsont premiers entre eux, alorsadivisec. 1.

Rapp elerle th eoremede B ezout.

2. Mon trerqu'il existe deux en tiersuetvtels queacu+bcv=c. 3.

En d eduireque adivisec.1

Theoreme de Gauss : un probleme de denombrement

Un joueur a totalise200points en lancant sur une cible25 echettes. La cible possede3zones qui rapportent respectivement0,5et12points. 1.

Mon trerque le nom brede

echettesqui on ttouc hela zone a12points est divisible par5. 2.

En d eduirela r epartitiondes

echettesdans les di erenteszones. Theoreme de Gauss : le corollaire L'objectif de l'exercice est de demontrer le corollaire du theoreme de Gauss :

Soienta,betntrois entiers non nuls.

Siaetbdivisentnet siaetbsont premiers entre eux, alorsabdivisen. 1. Mon trerqu'il existe deux en tiersketk0tels que :ka=k0b. 2.

Mon trerque adivisek0.

3. En d eduireque abdivisen.Corollaire du theoreme de Gauss : produit de 5 entiers consecutifs

Montrer que le produit de5entiers consecutifs est divisible par120.Theoreme de Gauss : le critere d'Eisenstein

Soientpetqdeux entiers premiers entre eux.

1.

Mon trerque si

pq est une solution de l'equation(E):

3x3+ 4x2+ 2x4 = 0

alorspdivise4etqdivise3. 2.

En d eduireque l' equation(E)admet une unique solution rationnelle.Theoreme de Gauss : points a coordonnees entieres sur une droite

Dans un repere orthonorme, on considere les pointsA(7 ; 2)etB(3 ;4). 1. Mon trerqu'un p ointM(x;y)appartient a la droite(AB)si et seulement si :

3(x7) = 5(y2)

2. En d eduirel'ens embledes p ointsdu plan aco ordonneesen tieresapp artenant ala droite (AB).2

Theoreme de Gauss :a+betabentiersSoientaetbdeux rationnels (tous deux non nuls) tels quea+betabsont des entiers.

On posea=p1q

1avecp1etq1deux entiers premiers entre eux (avecq1>0) etb=p2q

2avecp2

etq2deux entiers premiers entre eux (avecq2>0). 1.

Mon trerque q1diviseq2.

2.

En d eduireque q1=q2.

3. Prouv erque aetbsont des entiers.Un probleme de restes chinois 1. On se prop osede d eterminerl'ensem bleSdes entiers relatifsnveriant le systeme : n9 [17] n3 [5] (a) On d esignepar (u;v)un couple d'entiers relatifs tel que17u+ 5v= 1. i.

Justier l'existence d'un tel couple (u;v).

ii. On p osen0= 317u+ 95v. Demontrer quen0appartient aS. iii.

Donner un exem pled'en tiern0appartenant aS.

(b) i. Soit nun entier relatif appartenant aS. Demontrer quenn00 [85]. ii. En d eduirequ'un en tierrelatif nappartient aSsi et seulement si il peut s'ecrire sous la formen= 43 + 85koukest un entier relatif. 2. Zo esait qu'elle a en tre300 et 400 j etons.Si elle fait des tas de 17 jetons, i llui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons?Chirement ane On numerote les 26 lettres de l'alphabet de 0 pour A a 25 pour Z. On choisit 2 entiers naturelsaetbaveca6= 0. Le couple(a;b)s'appelle laclede chirement.

Pour coder la lettre numerox, on calculef(x) =ax+b. Comme le resultat peut ne pas ^etre compris entre

0 et 25, on prend son reste dans la division euclidienne par 26. Puis ce nombre est remplace par la lettre

correspondante.

1) A quel chirement ane correspond ce tableau ci-dessous?2) Rose propose d'utiliser la cle(4;7). Cette cle, est-elle satisfaisante?3

Chirement ane - Cle satisfaisante

On numerote les 26 lettres de l'alphabet de 0 pour A a 25 pour Z. On choisit 2 entiers naturelsaetbaveca6= 0. Le couple(a;b)s'appelle laclede chirement.

Pour coder la lettre numerox, on calculef(x) =ax+b. Comme le resultat peut ne pas ^etre compris entre

0 et 25, on prend son reste dans la division euclidienne par 26. Puis ce nombre est remplace par la lettre

correspondante. Gaspard propose d'utiliser la cle(3;9)pour coder un message.

1) Coder la lettre H.

2) Cette cle(3;9)est-elle satisfaisante?Chirement ane - Cas general

On numerote les 26 lettres de l'alphabet de 0 pour A a 25 pour Z. On choisit 2 entiers naturelsaetbaveca6= 0. Le couple(a;b)s'appelle laclede chirement. Pour coder

la lettre numerox, on calculef(x) =ax+b. Comme le resultat peut ne pas ^etre compris entre 0 et 25, on

prend son reste dans la division euclidienne par 26. Puis ce nombre est remplace par la lettre correspondante.

On dit qu'une cle est satisfaisante lorsque deux lettres dierentes sont codees par deux lettres dierentes.

1) Montrer que siaet26sont premiers entre eux alors la cle(a;b)est satisfaisante.

2) Dans la suite du probleme, on choisit une cle(a;b)avecaet26premiers entre eux.

a) Montrer qu'il existe un entier relatifutel queau1 [26]. b) Determiner une fonction de decodage.

c) Decoder le messageZSPSqui a ete code avec la cle(15;2).Theoreme de Gauss - Erreur classique vue dans des copies

On considere l'equation3(x2) = 10(y+ 5)ouxetysont des entiers. Un eleve ecrit :

1. Corriger l'erreur de l'eleve.

2. Trouver un exemple pour convaincre l'eleve que son raisonnement est faux.

Equation Diophantienne - Erreurs classiques vue dans des copiesOn considere l'equation(E) : 14(x6) = 9(y+ 2)ouxetysont des entiers. Un eleve ecrit :

Corriger les erreurs de l'eleve.4

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