[PDF] Effective estimates for the least common multiple of some integer

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Republique Algerienne Democratique et Populaire

Ministere de l'Enseignement Superieur et de la Recherche Scientique

Universite A. MIRA - BEJAIA

Faculte des Sciences Exactes

Departement de Mathematiques

Laboratoire de Mathematiques Appliquees (LMA)

TH ESE

EN VUE DE L'OBTENTION DU DIPL

^OME DE DOCTORAT Domaine :Mathematiques et InformatiqueFiliere :Mathematiques

Specialite :Theorie des Nombres

Presentee par

M. BOUSLA Sid Ali

ThemeEstimations du plus petit commun multiple de

certaines suites d'entiersSoutenue le 02 decembre 2020 devant le jury compose de : M me.TAS Sa^adiaProfesseur Univ. de Bejaia Presidente

M.FARHI BakirM.C.A Univ. de Bejaia Rapporteur

M me.MOHDEB NadiaM.C.A Univ. de Bejaia Examinatrice M.MOUSSAOUI KarimProfesseur Univ. de Bejaia Examinateur M.DAHMANI AbdelnasserProfesseur C. Univ. de Tamanrasset Examinateur M.HERNANE Mohand OuamarProfesseur U.S.T.H.B Examinateur Annee Universitaire : 2019/2020arXiv:2012.05828v1 [math.NT] 10 Dec 2020

Remerciements

J etiens a remercier vivement mon directeur de these, le professeurFARHI Bakir, de m'avoir introduit a la recherche et patiemment aide tout au long de ce travail. Je lui suis profondement reconnaissant de m'avoir fait benecier de sa grande competence, de son entiere disponibilite, de son orientation depuis ma L2, de sa rigueur dans la redaction des articles scientiques et de ses conseils que je n'oublierai jamais. Il a ete d'un soutien et d'une attention exceptionnels. Enn, ses nombreuses relectures et corrections de mes travaux de these ont ete tres appreciables. Cette these lui doit beaucoup. Pour tout cela merci. Je temoigne toute ma gratitude a tous ceux qui ont contribue a ma formation et je tiens a remercier tous les enseignants du departement de mathematiques. Je suis tres honore de la presence a mon jury de these et je tiens a remercier : MadameTAS Sa^adiapour m'avoir fait l'honneur de presider le jury de cette these. MadameMOHDEB Nadiaet MonsieurMOUSSAOUI Abdelkrimpour l'honneur qu'ils m'ont fait en acceptant d'^etre membres de mon jury de these. MonsieurDAHMANI Abdelnasserpour l'honneur qu'il m'a fait par sa presence dans mon jury de soutenance en qualite d'examinateur de mon travail. MonsieurHERNANE Mohand Ouamarpour l'honneur qu'il m'a fait pour avoir accepte d'examiner ce travail. Finalement je remercie ma famille et tous mes amis pour leurs encouragements et leur soutien qui m'ont ete bien utiles durant ma these.

BOUSLA Sid Ali

i

Dedicaces

J ededie cette these a mes parents, a toute ma famille et mes amis et a tous ceux qui auront la patience de la lire.

BOUSLA Sid Ali

ii

Table des matieres

Introduction generale

1

1 Generalites sur les estimations duppcmde suites d'entiers7

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 La methode de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Un multiple du ppcm de suites a forte divisibilite . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4 Majoration eective du nombre ppcm(1;2;:::;n) . . . . . . . . . . . . . .20

1.5 Minoration eective du nombre ppcm(1;2;:::;n) . . . . . . . . . . . . . .24

1.6 Minorations eectives du ppcm d'une suite arithmetique . . . . . . . . . .

27

1.7 Minorations eectives du ppcm de certaines suites quadratiques . . . . . .

32

1.8 Minorations eectives du ppcm de suites polynomiales . . . . . . . . . . .

36

1.9 Estimations asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2 Minorations non triviales duppcmde la suite(n2+c)n43

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2 La methode algebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3 Une identite de Bezout explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.4 Multiples non triviaux de certaines valeurs dehc. . . . . . . . . . . . . . .56

2.5 Nouvelles estimations pour le nombreLc;m;n. . . . . . . . . . . . . . . . .56

2.5.1 Comparaison avec la minoration de Oon . . . . . . . . . . . . . . .

60

3 Identites et estimations concernant leppcmde suites a forte divisibilite61

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61
iii

3.2 Une identite concernant le ppcm des coecients binomiaux usuels . . . . .62

3.3 Quelques proprietes de suites a forte divisibilite . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.4 Identites concernant le ppcm de suites a forte divisibilite . . . . . . . . . .

68

3.5 Estimations du ppcm de suites de Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

4 Majorations non triviales duppcmd'une suite arithmetique79

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79
4.2 Enonces des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

4.3 Preparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

4.3.1 Resultats connus anterieurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.3.2 Lemmes preparatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.4 Preuves de nos resultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5 Un encadrement eectif duppcmde la suite(n2+ 1)n87

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.2 Preparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

5.2.1 Resultats anterieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

5.2.2 Lemmes preparatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

5.3 Preuve de notre resultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Conclusion generale

93

Perspectives

94

Bibliographie

95
iv

Principales notations

et conventions On ecritf=O(g) ou d'une facon equivalentefg, s'il existe une constante C >0 telle quejf(x)j Cg(x), pour toutxdans un voisinage d'une certaine valeur (eventuellement innie). La premiere notation est due a Landau et la seconde est due a Vinogradov. Si le rapportf(x)=g(x) tend vers 1 quandxtend versa2R, on ecrit f(x)ag(x) et on dit quefetgsont equivalentes au voisinage dea; de m^eme on ecrit f=o(g) si le rapportf(x)=g(x) tend vers zero. Pourt2R, on designe respectivement parbtcetdtela partie entiere par defaut et la partie entiere par exces du nombret. L'ensemble des nombres premiers est noteP, et dans toute la suite la lettrepavec ou sans indice designe un element deP. Pour deux nombres reelsaetb, on noteajbpour signier queadiviseb(i.e., le rapportb=aest un entier). On designe parla fonction de comptage des nombres premiers; soit : (x) :=X px1 (8x2R+): Les fonctions etde Chebyshev sont denies comme suit : (x) := logppcm(1;2;:::;bxc) (8x1); (x) :=X pxlogp(8x2R+): v Les fonctions generalisees de Chebyshev sont donnees par : (x;m;k) :=X px pm(modk)1 (x;m;k) :=X px pm(modk)logp(8x2R+;8m;k2N): On designe par'la fonction indicatrice d'Euler qui an2N, associe le nombre d'entiers compris entre 1 etnet premiers avecn. La fonctionde Mobius est denie par : (n) :=8 :(1)!(n)si n est sans facteur carre>1;

0 dans le cas contraire:(8n2N);

ou!(n) designe le nombre de facteurs premiers distincts den. Pour un nombre premier pdonne, on designe par#pla valuationp-adique usuelle (i.e., pour toutn2N,#p(n) est le plus grand exposant2Ntel quepdivisen). Le plus petit commun multiple des entiersa1;a2;:::;anest note ppcm(a1;a2;:::;an) ou bien ppcmfa1;a2;:::;ang; leurs plus grand commun diviseur est note pgcd(a1;a2;:::;an) ou bien pgcdfa1;a2;:::;ang. Le cardinal d'un ensemble niAest note #A. On designe par le symbole de Legendre. Nous utilisons souvent l'abreviation ppcm pour alleger l'expression plus petit commun multiple . Certaines de ces notations sont rappelees localement. vi

Introduction generale

A voirune bonne estimation du plus petit commun multiple de termes consecutifs d'une suite d'entiers est un probleme dicile et important. Pour la suite usuelle de tous les entiers naturels, la fonction est cruciale a la fois pour l'encadrement de Chebyshev (1852) de la fonctionet pour le theoreme des nombres premiers d'Hadamard- de la Vallee Poussin (1896) selon lequel on a : (x)+1xlogx: Ce theoreme possede plusieurs autres enonces equivalents, l'un de ces enonces est celui de

Chebyshev (1852), qui est donne par :

logppcm(1;2;:::;n)+1n: Ce qui equivaut a dire que pour tout" >0, il existeN=N"2N, tel que l'on ait : (e")nppcm(1;2;:::;n)(e+")n(8nN): Par ailleurs, les resultats les plus signicatifs concernant l'estimation eective des nombres ppcm(1;2;:::;n) (n2N), sont dus a Chebyshev (1850), Hanson (1972) et Nair (1982).

Dans [

12 ], Chebyshev exploite l'idee d'estimer le nombre log(n!) de deux facons dierentes : l'une est analytique et se sert de la formule de Stirling et l'autre est arithmetique et se sert de la formule de Legendre : n! =Y ppremierpbnp c+jnp 2k +:::(8n2N):

Cette idee l'avait conduit a l'estimation :

e 1n52 (c1)nppcm(1;2;:::;n)en54 e54 log 6 log2n(c2)n(8n2N); 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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