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MATHÉMATIQUES

Enseignementspécifiqueetdespéciali té

0,1 0,2 0,3 0,4 012 -1 -2 -3 N 0;1 0111
1020
1202
1020
0 1 1 x y e e y=e x y=lnx u n 1 au n b Lepo lycopiéregroupelesdocument sdistribuésauxélèvesdeT le

ES2e nco ursd'a nnée.

JansondeSail ly(année 2016-2017)

A.YAL LOUZ

TABLEDESM ATIÈRES

IENSEIGNEMENTOBLIGATOIRE5

1Complémentssurlessuites6

IILi mited'unesuite...........................................9 IIISu itesarithmético-gé ométriques...................................12 IICo ntinuitéetéquation.........................................27 IIICo ntinuitéetéquation.........................................28 IVCo nvexité...............................................29

3Fonctionexponentielle38

IILa fonctio nexponentielle.......................................42 IIIEx ponentielled'unefonction:exp(u).................................45

4Probabilitésdiscrètes55

IIF ormuledesprobabilitésto tales...................................57 IIIRe présentationsousformed'unarbrepondéré ............................58 IVÉv ènementsindépendants......................................59

5Fonctionlogarithme69

IIPr opriétésalgébriques........................................71 IIIÉtu dedelafonctio nlogar ithmen épérien...............................72

6Calculintégral83

IIPr imitivesd'unefonctioncontinue ...................................87 IIICa lculdeprimitives..........................................88 IVInté graled'unefonctionconti nue...................................89 VII ntégraleetmoyenne.........................................93

A.YALLOUZ(MATH@ES)3

Chapitre1

COMPLÉMENTSSURLESSUITES

ISUITESGÉOMÉTRIQ UES....................................7 IIL IMITED'UNESUI TE......................................9 IIIS UITESARITHMÉTICO -GÉOMÉTRIQUES.............................12

A.YALLOUZ(MATH@ES)6

LycéeJANSONDE SAILLY

Année2016-201 7COMPLÉMENTSSURLESSUITEST

le ES2

ISUITESGÉOMÉTRIQUES

1DÉFINITION

Direqu'une suite(u

n )estgéométriquesignifiequ'ilexisteun nombreréelqnonnult elque ,pourtout entiern, u n+1 =qu n Leré elqestapp elélaraisondela suitegéo métrique.

ÉVOLUTIONENPOURCENTAGE

- Augmenterunegrandeurdet%équivautàmultipliersavaleurpar1+ t 100
- Diminuerunegrandeurdet%équivautàmultipliersavaleurpar1! t 100

Chaquefoisqu'one stconfrontéà unesituationd' évolution ssuccessivesd'unegrandeurdet%,on peutdé finir

unesui tegéométriqueder aison1+ t 100
(augmentation)ou1! t 100
(diminution)

EXEMPLES

1.Un capital de2000Cestplacéautauxd'intérêtcomposéde1,5%paran.

Onno teC

n leca pitaldisponibleaubou tdenannéesalors: C n+1 1+ 1,5 100
"C n =1,015"C n

Ainsi,lasuite(C

n )estun esuitegéomét riquedepremier termeC 0 =2000et deraison q=1,015.

2.Pour lutterc ontrelapollution,ungroupei ndustrieldécidederéd uireprogre ssivementsaq uantitéderejets

de4%pa ran. En2012,laqua ntitéder ejets éta itde50000t onnes.

Onno ter

n laqu antitéderejetsl'année20 12+nd'où: r n+1 1! 4 100
"r n =0,96"r n

Ainsi,lasuite(r

n )estun esuitegéomét riquedepremier termer 0 =50000et deraison 0,96.

2PROPRIÉTÉ1

Soit(u

n )unesui tegéométriquedera isonqetde premier termeu 0 alorspourtou tentiern, u n =u 0 "q n

EXEMPLE

L'objectifdugroupeindustrie lestde réduireprogressiv ementlaquan titéde rejetspouratteindreuneq uantit é

inférieureouégaleà300 00tonne s(soituneréduc tiond e40%).C etobjectifse ra-t-ilatteintauboutde1 0ans?

Aubo utde10ans,la quanti tédere jetsestde:

r 10 =50000"0,96 10 #33242 Avecunrédu ctiond e4%paran,en2022l'objectifd ugroup ei ndustrielneserapasatte int.

A.YALLOUZ(MATH@ES)7

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le ES2

3PROPRIÉTÉ2

Si(u n )unesui tegéométriquedera isonqalorspourtou tentiernetpo urtoutentierp, u n =u p "q n!p

4MONOTONIE

Soit(u

n )unesui tegéométriquedera isonqetde premier termeu 0 donc: u n+1 !u n =u 0 "q n+1 !u 0 "q n =u 0 "q n "(q!1)

Lamo notoniedelasuitedépenddusi gnedeu

0 ,q n et(q!1) - Siq<0alorsq n estpo sitifpournpair,négatifpournimpairdonclasu iten'estpasmono tone . - Siq>0alorslasuiteestmonotone,croissanteoudécroissanteselonlesign edu produitu 0 "(q!1).

Siq>1Si0 Siu 0 >0,al orslasuite (u n )estcro issante

1234567

n u n Siu 0 <0,al orslasuite (u n )estdécr oissante

1234567

n u n Siu 0 >0,al orslasuite (u n )estdécr oissante

1234567

n u n Siu 0 <0,al orslasuite (u n )estcro issante

1234567

n u n Nouspouvon sendéduirelesdeuxthéo rèmes suivants

THÉORÈME1

Soitqunr éelnonnul.

- Siq<0alorslasuite(q n )n'estpasmonotone. - Siq>1alorslasuite(q n )eststr ictementcroissante. - Si0THÉORÈME2

Soit(u

n )unesui tegéométriquedera isonqnonnul leetdepremi erterm eu 0 nonnul - Siq<0alorslasuite(u n )n'estpasmonotone. - Siq>0etu 0 >0alorslasuite(u n )alemêmesensdevariationquelasuite(q n - Siq>0etu 0 <0alorslasuite(u n n

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5SOMMEDETERMESCO NSÉCUTIF S

Soit(u

n )unesui tegéométriquedera isonq$=1etdepremiertermeu 0 alorspourtout entiern, u 0 +u 1 +···+u n n i=0 u i =u 0 1!q n+1 1!q

Cetteformule peutseretenirdelafaço nsuivante:

Laso mmeSdete rmesconsécutifsd'unesuite géométriquederaisonq$=1est:

S=premierterme"

1!q nombredeterme s 1!q

IIL IMITED'UNESUI TE

Onét udielecomportemen td'une suite(u

n )quandnprenddegrandesv ale urs.

1LIMITEINFINIE

DÉFINITION

Ondi tqu'unesu ite(u

n )admetunelim iteégaleà+!quandntendvers+!sip ourtoutnombr eréelA

strictementpositif,touslest ermesdelasuitesontsupérieursàAàpartird'uncertainrangp.Onécrit:

lim n%+! u n

Concrètement,unesuite(u

n )tendvers+!siu n estaussi grandq uel'onveutdèsq uenestsuf fisamment grand.

INTERPRÉTATIONGRAPHIQUE

Onar ep résentéci-dessousunesuite(u

n )ayantuneli miteégaleà+! n u n p A

Pourtoute ntiern!p,u

n >A.pestle seuilàpar tirduquelu n >A

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DÉFINITION

Ondi tqu'unesu ite(u

n )admetunelim iteégaleà!!quandntendvers+!sip ourtoutnombr eréelA

strictementnégatif,touslester mesdelasuitesontinfér ieursàAàpartird'uncertainrangp.Onécrit:

lim n%+! u n

2LIMITEFINIE

DÉFINITION

Soit(u

n )unesui tedéfiniesuret!unré el.

1.Di requelasuite(u

n )admetpourl imiteleréel!signifiequetoutinterv alleouvert delaforme ]!!r;!+r[contienttouslestermesde lasuiteàparti rd'uncer tainrangp.Onécrit: lim n%+! u n

2.Une suitequi admetpourlimiteun rée l!estdi teconvergente.

Autrementdit,unesuite(u

n )estcon vergenteversunréel!sito uslestermesdela suiteàp artird'uncertai n rangppeuventêtreaussi prochesquevoulude!.

INTERPRÉTATIONGRAPHIQUE

Sio nrepré sentelasuiteconvergenteparunn uagede pointsdansunrep ère,àpart ird'uncertainran gp,tous

lespoints sontdanslaban dedélimitéeparle sdroitesd'équationy=!!rety=!+r. n u n p !!r !+r

Lera ngpestle seuilàpar tirduquel" u

n estàu ned istancede!inférieureàr»

PROPRIÉTÉ

Lasu ite(u

n )convergeversunréel!si,etseulem ent si,lasuite(u n )!!estcon vergenteversun0.

REMARQUE

Unesuit epeutnepasadmet tredelimite .Parex emplelasu itedete rmegénéral(!1) n prendalter nativementles valeurs1et!1.El len'admetpasdeli mite.

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3LIMITESD'UNESUI TEGÉOMÉTRIQUE

THÉORÈME(admis)

Soitqunnom breréel:

- Si!11alorslasuitegéométriquedetermegénéralq n apourlimite+!:lim n%+! q n - SiqREMARQUE

Pourq=1,l asuite(q

n )estcon stanteetégaleà1doncconver gen te.Pourq=!1,la suite(q n )prend

COROLLAIRE

Soit(u

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