[PDF] Complément sur les suites. Suites adjacentes - Lycée dAdultes





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Exercices de mathématiques pour la classe terminale - 2e partie

Exercices de mathématiques. 2 e partie. Classes terminales ES S



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Tle ES. MATHÉMATIQUES. Enseignement spécifique et de spécialité OBLIGATOIRE ET L SPÉCIALITÉ. 1. 1 Compléments sur les suites ... DST Tle ES 4 (spé math).



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Mathématiques en Terminale ES. Enseignement de spécialité. David ROBERT. 2009–2010 3 Rappels et compléments sur les suites.

DERNIÈRE IMPRESSION LE27 février 2017 à 16:33

Complément sur les suites.

Suites adjacentes

Table des matières

1 Le procédé2

2 Suites adjacentes2

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Le théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Exemple3

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1. LE PROCÉDÉ

1 Le procédé

Dans un texte intitulé "De la mesure du cercle», Archimède imagine la première aussi grande qu"on le souhaite. L"exposé suivant suit les idées d"Archimède avec des méthodes modernes.

SoitCun cercle de rayon 1 : on

construit, pour toutn?1 deux poly- gones réguliersPn, etQn, ayant 3×2n côtés,Pnétant inscrit dansC, etQn, exinscrit àC(voir la figure ci-contre).

Nous admettons que le périmètre du

cercle (égal à 2π) est encadré par ceux des deux polygones. Dans la suite, on notepnetqn, les demi-périmètres res- pectifs dePnetQn. Ainsi,pn<πPour l"étude de ces suites adjacentes voir le document sur la méthode d"Ar- chimède.

π≈3,141 592 654

npnqnqn-pn

133,4640,464

23,1063,2150,109

33,1323,1600,027

43,1393,1460,007

p1p2p3p4pnπq1q2q3q4qn......

2 Suites adjacentes

2.1 Définition

Définition 1 :Soit deux suites réelles(un)et(vn). On dit que(un)et(vn)sont adjacentes si, et seulement si, •(un)est croissante,(vn)est décroissante et limn→+∞(vn-un) =0 Exemple :un=-1netvn=1nsont deux suites adjacentes, car la pre- mière est croissante, la seconde est décroissante et leur différence est nulle.

PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

3. EXEMPLE

2.2 Le théorème

Théorème 1 :Soit(un)et(vn)deux suites réelles. Si(un)et(vn)sont adjacentes alors elles convergent en une même limite?telle que : ?n?N,un???vn Démonstration :Soit(un)et(vn)deux suites adjacentes telles que(un)est croissante et(vn)décroissante.

•Montrons que?n?N,un?vn.

Soit la suitewn=vn-un. Étudions les variations de(wn). w n+1-wn=vn+1-un+1-(vn-un) = (vn+1-vn)-(un+1-un) Or les suites(vn)etunsont respectivement décroissante et croissante donc ?n?N,vn+1-vn?0 etun+1-un>0?(vn+1-vn)-(un+1-un)<0 En conséquence?n?N,wn+1-wn<0, la suite(wn)est décroissante. lim n→+∞(vn-un) =limn→+∞wn=0, donc?n?N,wn?0?un?vn.

•Montrons que(un)et(vn)convergent.

On sait que les suites(un)et(vn)sont respectivement croissante et décroissante et?n?N,un?vndonc?n?N,un?u0?v0?vn donc la suite(un)est croissante et majorée parv0et la suite(vn)est décrois- sante et minorée paru0, d"après le théorème des suites monotones,(un)et(vn) convergent respectivement vers?et??.

•Montrons que(un)et(vn)ont même limite.

Par somme lim

n→+∞(vn-un) =limn→+∞vn-limn→+∞un=??-? or lim n→+∞(vn-un) =0 donc?=??

3 Exemple

Soit la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0; 2] par :f(x) =2x+1x+1.

1) On dit qu"un intervalle I est stable par la fonctionfsi, et seulement si,

?x?I,f(x)?I.

Montrer que [1; 2] est stable parf.

2)(un)et(vn)sont deux suites définies surNpar :

?u 0=1 u n+1=f(un)et?v 0=2 v n+1=f(vn) a) Représenter la fonctionfsur l"intervalle [0; 2]. Construire sur l"axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites(un)et(vn)en laissant apparents tous les traits de construction. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sensde variation et la convergence des suites(un)et(vn)?

PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR

3. EXEMPLE

b) Montrer à l"aide d"un raisonnement par récurrence que les suites(un)et (vn)sont bornées et respectivement croissante et décroissante. c) Calculervn+1-un+1.

En déduire que?n?N,|vn+1-un+1|?1

4|vn-un|.

d) Montrer que?n?N,|vn-un|??1 4? n e) Montrer que les suites (un)et(vn)convergent vers un même réelα.

Déterminer la valeur exacte deα.

1)fest une fonction rationnelle définie sur [0; 2] donc dérivable sur [0; 2] :

f ?(x) =2(x+1)-(2x+1 (x+1)2=1(x+1)2>0 La fonctionfest croissante sur[0 ; 2]. De la continuité defsur[1 ; 2], on a f([1 ; 2]) = [f(1);f(2)] =?3 2;53? ?[1 ; 2]

L"intervalle [1; 2] est donc stable parf.

2) a) On obtient la représentation suivante :

12 12 O v0v1 v 2u0u1 u 2 Cf y=x Les suites(un)et(vn)semblent converger et être respectivement croissante et décroissante. b) Montrons par récurrence que les suites(un)est(vn)sont bornées par [1; 2] et qu"elles sont respectivement croissante et décroissante. Initialisation :L"intervalle [1; 2] est stable parfet commeu0etv0appar- tiennent à cet intervalle, il en est de même pouru1etv1.

De plusu1=f(u0) =3

2doncu1?u0etv1=f(v0) =53doncv1?v0

La proposition est initialisée.

PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR

3. EXEMPLE

Hérédité :Soitnun entier naturel, supposons que(un)etvnappartiennent

à [1; 2] et queun+1?unetvn+1?vn.

L"intervalle [1; 2] est stable parf, commeunetvnappartiennent à cet inter- valle, il en est de même pourun+1etvn+1.

La fonctionfest croissante sur[1 ; 2]:

•un+1?un?f(un+1)?f(un)?un+2?un+1

•vn+1?vn?f(vn+1)?f(vn)?vn+2?vn+1

La proposition est héréditaire.

Par initialisation et hérédité, les suite(un)et(vn)sont bornée par [1; 2] et sont respectivement croissante et décroissante. c) Calculons la différence :vn+1-un+1. v n+1-un+1=2vn+1

2unvn+2vn+un+1-5unvn-2un-vn-1

(vn+1)(un+1) vn-un (vn+1)(un+1)

1?un?2?2?un+1?3?1

3?1un+1?12

De même

1

3?1vn+1?12par produit19?1(vn+1)(un+1)?14

On en déduit donc que????v

n-un (vn+1)(un+1)???? ?|vn-un|4

Conclusion?n?N,|vn+1-un+1|?1

4|vn-un|

d) On posewn=|vn-un|. On a montré à la question précédente que?n?N,wn+1 wn?14, donc : k=0w k+1 k=0w k+1wk??14? n or k=0w k+1 wk=wnw0(produit télescopique) doncwnw0??14? n

On en déduit donc :

w n??1 4? n w

0? |vn-un|??14?

n |v0-u0| ? |vn-un|??14? n e) lim n→+∞? 1 4? n =0 car-1<14<1

D"après la question précédente, on a-?1

4? n ?vn-un??14? n , donc d"après lethéorème des gendarmeslimn→+∞(vn-un) =0.

PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR

3. EXEMPLE

Les suites(un)et(vn)sont respectivement croissante et décroissante et limn→+∞(vn-un) =0, elles sont donc adjacentes. D"après lethéorème des suites adjacentes(un)et(vn)convergent vers la même limiteαtelle que : u

0?α?v0?1?α?2.

La fonctionfest continue sur l"intervalle [1; 2] et les suites(un)et(vn) convergent vers la même limiteα, d"après lethéorème du point fixe, la limiteαvérifie l"équationf(α) =α f(α) =α?2α+1 Δ=5, on ne retient que la solution positiveα=1+⎷ 5 2. Cette limiteαn"est autre que le nombre d"orφ≈1,618 034. Remarque :Ces suites convergent très vite versφ, en effetu6etv6donne une approximation à 10 -5deφ nunvnvn-un 0121

11,51,6670,167

21.61,6250,025

31,615 3851,619 0480,004

41,617 6471,618 1825,35.10-4

51,617 9781,618 0567,80.10-5

61,618 0261,618 0371,14.10-5

PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR

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