Cours de mathématiques - terminale S
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DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S
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COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT
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PanaMaths [1-8] Mars 2009
Synthèse de cours (Terminale S)
Calcul intégral
Intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle [a;b] Dans cette première partie, on considère une fonction f continue positive sur un intervalle @;ab ( ab) et on note f C sa courbe dans le plan rapporté à un repère orthogonalO; ,ij
Notion de domaine sous la courbe
Définition
On appelle " domaine situé sous la courbe
fC » l'ensemble des points M;x
y du plan vérifiant :0axbyfx
Sur la figure ci-dessous, le domaine situé sous la courbe fC correspond à la surface grisée et
est noté D. xaxb D x f CPanaMaths [2-8] Mars 2009
Propriété
Le domaine situé sous la courbe admet une aire.Intégrale d'une fonction continue positive
L'aire du domaine situé sous la courbe
f C est appelée " intégrale de la fonction f de a à b » et est notée : b a fxdxLes réels a et b sont appelés " les bornes » de l'intégrale ; a est la borne inférieure et b la
borne supérieure.Elle est exprimée en " unité d'aire », l'unité d'aire étant définie comme l'aire du rectangle
construit à partir du repère orthogonal considéré (cf. figure ci-dessous).Remarque : dans l'écriture
b a fxdx , la variable x est dite " muette ». On peut la remplacer par un autre nom sans que la signification ni la valeur de l'intégrale changent : bbb b aaa a f x dx f r dr f d f t dt xa xb D x f CUnité d'aire
i j OPanaMaths [3-8] Mars 2009
Soulignons le cas particulier : lorsque ab, le domaine sous la courbe se réduit à un segment et son aire est nulle : 0 a a fxdxValeur moyenne
Définition
On suppose ici ab.
On appelle " valeur moyenne de f sur l'intervalle
;ab » le réel : 1 b a fxdxbaInterprétation géométrique
Les réels
et ba sont les dimensions d'un rectangle (en gris sur la figure ci-dessous) dont l'aire est égale à l'aire du domaine sous la courbe f C ( b a mba fxdxEn d'autres termes, le réel
est la valeur prise par une fonction constante dont l'intégrale sur l'intervalle ,ab est égale à celle de f sur ce même intervalle. fa b a fb 1 b a fxdxbaPanaMaths [4-8] Mars 2009
Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle [a;b] Dans cette seconde partie, on conserve les hypothèses faites sur la fonction f sauf la positivité : f ne prend plus nécessairement des valeurs positives sur l'intervalle ;ab. Intégrale d'une fonction continue négative sur un intervalle [a;b]Définition
Le domaine D considéré (voir la figure ci-dessous) est cette fois l'ensemble des pointsM;xy du plan vérifiant :
0axb fx y ddquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] maths terminale st2s statistiques
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