[PDF] TES DS1 suites géométriques S1 1 Exercice 1 : (6 points) Préciser

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TES DS1 suites géométriques S1

1

Exercice 1 : (6 points)

Préciser dans chaque cas, si la suite (un) est géométrique. Si elle l'est, préciser sa raison et son sens de variation. a) un = 3n b) un = 14 3n c) un = n² d) un = 2´5n+1 3n

Exercice 2 : (5 points)

En 2012, une personne place 1 000 € sur un compte à intérêts composés au taux annuel

de 2%. En supposant qu'elle n'effectue ni retrait, ni apport, on note s n le montant de la somme qui se trouve sur le compte en (2012 + n) avec n

Î V.

a)

Préciser la nature de la suite (sn).

b) Quel sera le capital disponible sur le compte en 2017 ? (On arrondira le résultat à l'euro près.) c) On suppose toujours que le taux annuel est de 2% mais chaque année, la personne effectue un versement supplémentaire de 600 €. Modéliser cette situation à l'aide d'une suite u. d) La suite u est-elle géométrique ? Justifier.

Exercice 3 : (4 points)

Calculer chacune des sommes suivantes :

a)

S = 1 + 3 + 3² + ..... + 310

b)

T = 5 + 5

7 + 5

7² + .... + 5

76

Exercice 4 : (5 points)

Dans chaque cas, déterminer une expression de un en fonction de n. a) u0 = 4, et pour tout n de V, un+1 = 2un. b) u0 = 5 et pour tout n de V, un+1 = 2 3 un. c) u0 = -3 et pour tout n de V, un+1 = 0,9un.

TES DS suites géométriques S2

2

Exercice 1 (6 points)

Préciser dans chaque cas, si la suite (un) est géométrique. Si elle l'est, préciser sa raison et son sens de variation. a) un =7

2n b) un = 7n

c) u n = 5´3n

2n+1 d) un = n3

Exercice 2 : (5 points)

En 2013, une personne place 10 000 € sur un compte à intérêts composés au taux annuel de 3%. En supposant qu'elle n'effectue ni retrait, ni apport, on note s n le montant de la somme qui se trouve sur le compte en (2013 + n) avec n

Î V.

a)

Préciser la nature de la suite (sn).

b) Quel sera le capital disponible sur le compte en 2020 ? (On arrondira le résultat

à l'euro près.)

c) On suppose toujours que le taux annuel est de 3% mais chaque année, la personne effectue un versement supplémentaire de 500 €. Modéliser cette situation à l'aide d'une suite u. d) La suite u est-elle géométrique ? Justifier.

Exercice 3 : (4 points)

Calculer chacune des sommes suivantes :

a)

S = 1 + 2 + 2² + ..... + 211

b)

T = 4 + 4

3 + 4

3² + ..... + 4

310

Exercice 4 : (5 points)

Dans chaque cas, déterminer une expression de un en fonction de n. a) u0 = 2, et pour tout n de V, un+1 = 3un. b) u0 = -5 et pour tout n de V, un+1 = 5 4

´un.

c) u0 = 2 et pour tout n de V, un+1 = 0,7un.

TES DS1 suites géométriques S1

CORRECTION

3

Exercice 1 (6 points)

Préciser dans chaque cas, si la suite (un) est géométrique. Si elle l'est, préciser sa raison et son sens de variation. a) un = 3n b) un = 14 3n c) u n = n² d) un = 2´5n+1 3n a) u1 = 3 ; u2 = 6 ; u3 = 9 u 2 u1 = 2 et u3 u2 = 9 6 = 3 2 u 2 u1 ¹ u3 u2; donc la suite (un) n'est pas géométrique.

Remarque : on ne peut pas calculer

u 1 u0 car u0 = 3´0 = 0. b) un+1 = 14

3n+1 = 14

3n´1

3 = 1

3´un

Donc (u

n) est une suite géométrique de raison q = 1 3.

Autre méthode :

Comme un = 14´

3 n est de la forme a´qn avec a = 14 et q = 1

3 alors (un) est une

suite géométrique de raison 1 3

Comme 0 < q < 1 et u

0 = 14 > 0 alors Cette suite est strictement décroissante.

c) u2 u1 = 4

1 = 4 et u3

u2 = 9 4 u 2 u1 ¹ u3 u2; donc la suite (un) n'est pas géométrique.

Remarque : on ne peut pas calculer

u 1 u0 car u0 = 0²= 0. d) un+1 = 2´5n+2

3n+1 = 2´5n+1

3n´5

3= 5 3

´un

Donc (u

n) est une suite géométrique de raison q = 5 3

TES DS1 suites géométriques S1

CORRECTION

4

Autre méthode :

un = 2´5n ´5 3 n = 10´ 3 n Comme un est de la forme a´qn avec a = 10 et q = 5 3 alors (un) est une suite géométrique de raison 5 3

Comme q > 1 et u

0 = 10 > 0 alors cette suite est strictement croissante.

Exercice 2 : (5 points)

En 2012, une personne place 1 000 € sur un compte à intérêts composés au taux annuel de 2%. En supposant qu'elle n'effectue ni retrait, ni apport, on note s n le montant de la somme qui se trouve sur le compte en (2012 + n) avec n

Î V.

a)

Préciser la nature de la suite (sn).

b) Quel sera le capital disponible sur le compte en 2017 ? (On arrondira le résultat à l'euro près.) c) On suppose toujours que le taux annuel est de 2% mais chaque année, la personne effectue un versement supplémentaire de 600 €. Modéliser cette situation à l'aide d'une suite u. d) La suite u est-elle géométrique ? Justifier. a) On a sn+1 = 

100´sn = 1,02´sn

La suite (s

n) est une suite géométrique de raison 1,02. b)

On a sn = s0´1,02n = 1000´1,02n

Le capital en 2017 correspond au terme de rang 5 (2012 + 5) s

5 = 1000´1,025 ≈ 1 104 €

c) La suite u définie par récurrence : un+1 = 1,02´un + 600 et u0 = 1000 modélise la situation. d) u0 = 1000 ; u1 = 1,02´1000 + 600 = 1620 ; u2 = 1,02´1620 + 600 = 2252,4 u

1 = 1,62´u0 ; or 1,62´u1 = 2624,4 ¹ u2

Donc la suite u n'est pas géométrique.

u est une suite arithmético-géométrique.

TES DS1 suites géométriques S1

CORRECTION

5

Exercice 3 : (4 points)

Calculer chacune des sommes suivantes :

a)

S = 1 + 3 + 3² + ..... + 310

b)

T = 5 + 5

7 + 5

7² + .... + 5

76
a) Il s'agit de la somme des 11 premiers termes de la suite géométrique de premier terme égal à 1 et de raison 3.

S = 1 + 3 + 3² + ..... + 3

10 = 1 - 3

11

1 - 3 = 3

11 - 1

2 = 88 573

b)

T = 5 

7 + 1

7² + ...... + 1

76 = 5´(1 + q + q² + .... q6) avec q = 1

7 T = 5

´1 - q7

1 - q = 5´

1 - 1 77
1 - 1 7 = 5´7

6´77 - 1

7

7 = 5´7

6´823542823543 = 686285

117649 ≈ 5.83332625012

Exercice 4 : (5 points)

Dans chaque cas, déterminer une expression de un en fonction de n. a) u0 = 4, et pour tout n de V, un+1 = 2un. b) u0 = 5 et pour tout n de V, un+1 = 2 3 un. c) u0 = -3 et pour tout n de V, un+1 = 1,1un. a) un = 4´2n = 2n+2 b) un = 5´ 3 n c) un = -3´1,1n

TES DS1 suites géométriques S2

CORRECTION

6

Exercice 1 (6 points)

Préciser dans chaque cas, si la suite (un) est géométrique. Si elle l'est, préciser sa raison et son sens de variation. a) un =7

2n b) un = 7n

c) u n = 5´3n

2n+1 d) un = n3

a) un+1 = 7

2n+1 = 7

2n´2 = 1

2´7

2 n = 1

2´un

La suite (u

n) est donc une suite géométrique de raison q = 1 2.

Autre méthode :

Comme un = 7´

2 n est de la forme a´qn avec a = 7 et q = 1

2 alors (un) est une

suite géométrique de raison 1 2

Comme 0 < q < 1 et u

0 = 7 > 0 alors la suite (un) est strictement décroissante.

b) u2 u1 = 14

7 = 2 et u3

u2 = 2114 ¹ 2

Donc la suite (u

n) n'est pas géométrique.

Remarque : On ne peut pas calculer u1

u0 car u0 = 7´0 = 0 c) un+1 = 5´3n+1

2n+2 = 5´3´3n

2´2n+1 = 3

2

2n+1 = 3

2

´un

La suite (u

n) est donc une suite géométrique de raison q = 3 2

Autre méthode :

un = 5´3n

2n´2 = 5

2 2 n

Comme un est de la forme a´qn avec a = 5

2 et q = 3 2 alors (un) est une suite géométrique de raison 3 2

TES DS1 suites géométriques S2

CORRECTION

7

Comme q > 1, et u0 = 5

2 > 0 alors la suite (un) est strictement croissante. d) u1 = 1 ; u2 = 8 ; u3 = 27 u 2 u1 = 8

1 = 8 et u3

u2 = 27

8 ¹ 8

Donc la suite (u

n) n'est pas géométrique.

Remarque : on ne peut pas calculer

u 1 u0 car u0 = 03 = 0.

Exercice 2 : (5 points)

En 2013, une personne place 10 000 € sur un compte à intérêts composés au taux annuel

de 3%. En supposant qu'elle n'effectue ni retrait, ni apport, on note s n le montant de la somme qui se trouve sur le compte en (2013 + n) avec n

Î V.

a)

Préciser la nature de la suite (sn).

b) Quel sera le capital disponible sur le compte en 2020 ? (On arrondira le résultat à l'euro près.) c) On suppose toujours que le taux annuel est de 3% mais chaque année, la personne effectue un versement supplémentaire de 500 €. Modéliser cette situation à l'aide d'une suite u. d) La suite u est-elle géométrique ? Justifier. a) La suite (sn) est définie par récurrence : sn+1 = 

100´sn et s0 = 10 000.

s n+1 = 1,03´sn. La suite (sn) est donc une suite géométrique de raison 1,03. b)

On a sn = s0´1,03n = 10000´1,03n

Le capital en 2020 correspond au terme de rang 7 (2013 + 7) s

7 = 10000´1,037 ≈ 12 299 €

c) La suite u définie par récurrence par un+1 = 1,03´un + 500 et u0 = 10000 modélise la situation. d) u0 = 10000 ; u1 = 1,03´10000 + 500 = 10 800 ; u2 = 1,03´10 800 + 500 = 11 624 u

1 = 1,08´u0 ; or 1,08´u1 = 11664 ¹ u2

Donc la suite u n'est pas géométrique.

u est une suite arithmético-géométrique.

TES DS1 suites géométriques S2

CORRECTION

8

Exercice 3 : (4 points)

Calculer chacune des sommes suivantes :

a)

S = 1 + 2 + 2² + ..... + 211

b)

T = 4 + 4

3 + 4

3² + ..... + 4

310
a) Il s'agit de la somme des 12 premiers termes de la suite géométrique de premier terme égal à 1 et de raison 2.

S = 1 - 2

12

1 - 2 = 212 - 1 = 4095

b)

Il s'agit de la somme des 11 premiers termes de la suite (vn) définie par vn = 4´

3 n T = 4 3 + 1

3² + .... + 1

310 = 4´(1 + q + q² + .... + q10) avec q = 1

3 T = 4

´1 - q11

1 - q = 4 ´ 1 - 1

3 11 1 - 1 3quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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