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Soit la fonction f définie et dérivable sur ℝ par : f(x)=4 ex+1On note C sa courbe représentative
Partie A
Soit g la fonction définie par
g(x)=ex-xex+11) Etudier les variations de g
g est une somme de fonction dérivable sur r donc g est dérivable sur r et on a : g'(x)=ex-(1×ex+x×ex) = -xexpour tout réel x , ex est strictement positif, donc le signe de g' est celui de -x d'où : •pour tout x positif, g' est négative et g décroissante •pour tout x négatif, g' est positive et g croissante2) Dresser le tableau de variations complet de g
Etude des limites :
•on sait de part les croissances comparées que lim x→-∞ xex=0 d'où comme lim x→-∞e x=0 par somme on a lim x→-∞ g(x)=1 •En +∞ , on a une FI donc on factorise g(x)=(1-x)ex+1 lim x→+∞1-x=-∞ et limx→+∞e x=+∞ donc par produit lim x→+∞(1-x)ex=-∞ et lim x→+∞ g(x)=-∞D'où le tableau de variation :
x-∞0+∞ g'(x)+0- g(x) 123) Montrer que l'équation
g(x)=0 admet une unique solution α.Donner un encadrement de α d'amplitude
10-2•Sur ]-∞;0], la fonction g est croissante et minorée par 1 donc l'équation g(x)=0 n'a pas de
solution •Sur [0;+∞[, g est décroissante et continue et on a g([0;+∞[)=]-∞;2].Comme 0 ∈ [-∞;2], d'après le th de la bijection, il existe une unique réel α ∈ [0;+∞[
•l'équation g(x)=0 admet donc une unique solution α •La calculatrice donne α entre 1,27 et 1,284) Démontrer que eα=1
α-1
On sait que g(α)=0 donc eα-αeα+1=0 eα(1-α)=-1 et eα=1α-1
5) Etudier le signe de g
g est positive sur ]-∞;α] et négative sur [α;+∞[Partie B Soit M un point de C et les projetés B et U de M sur les axes du repère (voir figure)1) Soit A la fonction qui à tout x ∈ ℝ+ , associe l'aire du rectangle
BOUM a) Déterminer A(x)A(x)=OB×BM=x×f(x)=x×4
ex+1=4x ex+1b) Déterminer les variations de A A '(x)=4(e x+1)-4xex(e x+1)2 = 4g(x) (ex+1)22) Montrer que l'aire du rectangle BOUM est maximale lorsque M a pour abscisse α
Le signe de A' est celui de g(x) donc d'après la question partie A 5, on en déduit que A' est positive
sur]-∞;α] et négative sur [α;+∞[ d'où A est croissante puis décroissante et admet un maximum
en x = αDéterminer un encadrement de cette aire maximale déduit de celui de α obtenue à la partie A
1,27<α<1,28 donc la fonction expo étant croissante elle conserve l'ordre et
e1,271+e1,28<1
1+eα<1
1+e1,27 d'où
4×1,27
1+e1,28<
A(α)<4×1,28
1+e1,27 c'est à dire 1,10 f'(x)=-4ex (ex+1)2droite parallèle donc coefficient directeur égaux •coefficient directeur de la tangente : f'(α) = -4eα (eα+1)2 •B a pour coordonnées (α;0) et U (0;f(α))coefficient directeur de (BU) : a = yB-yU xB-xU = 0- f(α) α-0 = -4
α(1+eα)
•On sait que eα=1 α-1 d'où 1+eα =...=
αα-1 d'où
f'(α) = -4 α-1
(αα-1)2 = -4(α-1) α2 et a =
-4 α(αα-1) = -4(α-1)
α2 d'où les droites
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