[PDF] REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS





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REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS

- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite ( ) : Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. Un 



ÉQUATIONS

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PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. PRIMITIVES ET. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Tout le cours sur les équations différentielles 



SECOND DEGRE (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRE (Partie 2). I. Résolution d'une équation du second degré.



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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. EQUATIONS. I. Notion d'équation. 1) Vocabulaire. INCONNUE : c'est une lettre qui cache un 



ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. ÉQUATIONS POLYNOMIALES. Partie 1 : Équations du second degré dans ?.



ÉQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ÉQUATIONS. Tout le cours sur les équations en vidéo : https://youtu.be/WoTpA2RyuVU.



ÉQUATIONS INÉQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ÉQUATIONS INÉQUATIONS. I. Notion d'équation. 1) Vocabulaire. INCONNUE :.



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8.



PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction.

1

REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES

Le cours en vidéo : https://youtu.be/naOM6YG6DJc Partie 1 : Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !;⃗,⃗, Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗

On a :

∈⟺ Il existe un réel tel que Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite .

Démonstration :

∈⟺ ⃗ et sont colinéaires ⟺Il existe un réel tel que

Exemple :

La droite passant par le point

1 -2 3 et de vecteur directeur ⃗ 4 5 -3 a pour représentation paramétrique : =1+4 =-2+5 =3-3 Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droite

Vidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo

Soit les points

2 3 -1 et 1 -3 2

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite () avec le plan de repère

2

Correction

- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite () : Un vecteur directeur de () est : 1-2 -3-3 2- -1 -1 -6 3 La droite () passe par le point 2 3 -1 Une représentation paramétrique de () est : =2- =3-6 =-1+3 - Soit le point d'intersection de la droite () avec le plan de repère Alors =0 car appartient au plan de repère

Donc -1+3=0 soit =

Et donc :

=2- 1 3 5 3 =3-6× 1 3 =1 =0

Le point a donc pour coordonnées Q

5 3 1 0 R.

Partie 2 : Équation cartésienne d'un plan

Propriété : L'espace est muni d'un repère orthonormé !;⃗,⃗,

Un plan de vecteur normal ⃗ non nul admet une équation de la forme +++=0, avec ∈ℝ.

Réciproquement, si , et sont non tous nuls, l'ensemble des points

tels que +++=0, avec ∈ℝ, est un plan. Cette équation s'appelle équation cartésienne du plan .

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/GKsHtrImI_o

- Soit un point de . et ⃗ sont orthogonaux .⃗=0 =0 3 =0 ⟺+++=0 avec =-

- Réciproquement, supposons par exemple que ≠0 (, et sont non tous nuls).

On note E l'ensemble des points

vérifiant l'équation +++=0

Alors le point Q

0 0 R vérifie l'équation +++=0. Et donc ∈E.

Soit un vecteur ⃗

. Pour tout point , on a : .⃗=V+

W+

-0 -0

E est donc l'ensemble des points

tels que .⃗=0. Donc l'ensemble E est le plan passant par et de vecteur normal ⃗.

Exemple : Le plan d'équation cartésienne -+5+1=0 a pour vecteur normal ⃗

1 -1 5 Méthode : Déterminer une équation cartésienne de plan

Vidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY

Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le

point -1 2 1 et de vecteur normal ⃗ 3 -3 1

Correction

Une équation cartésienne de est de la forme 3-3++=0. Le point appartient à donc ses coordonnées vérifient l'équation : 3× -1 -3×2+1+=0 donc =8. Une équation cartésienne de est donc : 3-3++8=0. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal

à un vecteur normal de l'autre.

4 Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculaires

Vidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc

Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :

2+4+4-3=0 et 2-5+4-1=0.

Démontrer que les plans et ′ sont perpendiculaires.

Correction

Les plans et ′sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est

orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Un vecteur normal de est ⃗ 2 4 4 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -5 4 =2×2+4× -5 +4×4=0

Les vecteurs ⃗ et ′

sont orthogonaux donc les plans et ′sont perpendiculaires.

Partie 3 : Applications

Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

Vidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE

Dans un repère orthonormé, le plan a pour équation 2-+3-2=0.

Soit

1 2 -3 et -1 2 0 a) Démontrer que la droite () et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection.

Correction

a) Un vecteur normal de est ⃗ 2 -1 3 () et sont sécants si ⃗ et ne sont pas orthogonaux.

On a :

-2 0 3

Comme :

.⃗=-2×2+3×3≠0, on conclut que () et le plan ne sont pas

parallèles et donc sont sécants. b) Une représentation paramétrique de la droite () est : =1-2 =2 =-3+3 5

Le point

, intersection de () et de , vérifie donc le système suivant : Z =1-2 =2 =-3+3

2-+3-2=0

On a donc : 2

1-2

-2+3 -3+3 -2=0

5-11=0 soit =

D'où :

=1-2× 11 5 17 5 =2 =-3+3× 11 5 18 5 Ainsi la droite () et le plan sont sécants en 17 5 2 18 5 Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite

Vidéo https://youtu.be/RoacrySlUAU

Dans un repère orthonormé, on donne les points 1 0 2 -1 2 1 et 0 1 -2

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ().

Correction

On appelle le projeté orthogonal du point sur la droite ().quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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