[PDF] ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Yvan Monka – Académie de

View - Download ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Previous PDF

Next PDF

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 1

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8

Partie 1 : Notion d'équation différentielle

Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction.

Exemples :

a) L'équation différentielle ��� =5 peut se noter ��� =5 en considérant que ��� est une fonction inconnue qui dépend de ���. Dans ce cas, une solution de cette équation est ���=5���. En effet,

5���

=5. On peut également noter l'équation différentielle sous la forme : =5. b) Une solution de l'équation différentielle ��� =2��� est ���=��� Pour une équation différentielle, la solution n'est habituellement pas unique.

Par exemple, ���=���

+1 est une autre solution de l'équation différentielle.

En effet,

+1 =2���. Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Vidéo https://youtu.be/LX8PxR-ScfM

Prouver que la fonction ��� définie sur

0;+∞

par ��� =3��� +ln��� est solution de l'équation différentielle ��� =6���+

Correction

Pour tout ��� de sur

0;+∞

, on a : =3×2���+ 1 =6���+ 1 Donc, ��� est bien solution de l'équation différentielle ��� =6���+ Partie 2 : Équations différentielles du type ���'=������

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle ���'=������, ���∈ℝ, sont les fonctions de la

forme ���⟼������ , où ��� est une constante réelle quelconque. Méthode : Résoudre une équation différentielle du type ���'=������

Vidéo https://youtu.be/YJNHTq85tJA

On considère l'équation différentielle 3��� +5���=0. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2

1) a) Déterminer la forme générale des solutions de l'équation.

b) Représenter à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, quelques courbes des fonctions solutions.

2) Déterminer l'unique solution telle que ���

1 =2.

Correction

1) a) 3���

+5���=0

3���

=-5��� 5 3

Les solutions sont de la forme : ���

b) Pour différentes valeurs de ���, on obtient :

2) ���

1 =2

Donc : ������

=2 =2 ���=2���

Et donc : ���

=2��� =2��� =2���

Propriété : Si ��� et ��� sont deux solutions de l'équation différentielle ���'=������, ���∈ℝ,

alors ���+��� et ������,���∈ℝ,sont également solutions de l'équation différentielle.

Démonstrations :

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3 Partie 3 : Équations différentielles du type ���'=������+���

Propriété : La fonction ���⟼-

est solution de l'équation différentielle

���'=������+��� (���≠0). Cette solution est appelée solution particulière constante.

Démonstration :

On pose : ���

. Alors ��� =0.

Or : ������

+���=���×E-

F+���=-���+���=0=���

Donc : ���

��� est donc solution de l'équation différentielle ���'=������+���.

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle ���'=������+��� (��� et ��� deux réels, ��� non

nul) sont les fonctions de la forme :

où ��� est la solution particulière constante de l'équation différentielle ���'=������+���

et ��� est une solution quelconque de l'équation différentielle ���'=������.

Remarque : L'équation ���'=������+��� est appelée équation différentielle linéaire du premier

ordre à coefficients constants.

Corollaire : Les solutions de l'équation différentielle ���'=������+��� sont les fonctions de la

forme ���⟼������ , où ���∈ℝ. Méthode : Résoudre une équation différentielle du type ���'=������+���

Vidéo https://youtu.be/F_LQLZ8rUhg

Vidéo https://youtu.be/CFZr44vny3w

On considère l'équation différentielle 2��� -���=3. a) Déterminer la forme générale des solutions de l'équation. b) Déterminer l'unique solution telle que ��� 0 =-1.

Correction

a) 2��� -���=3

2���

=���+3 1 2 3 2

Les solutions sont de la forme : ���

3 2 1 2

Soit : ���

-3, ���∈ℝ b) ��� 0 =-1

Donc : ������

-3=-1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 4 ���-3=-1 ���=2

Et donc : ���

=2��� -3 Partie 4 : Équations différentielles du type ���

Propriété (non exigible) :

Les solutions de l'équation différentielle ��� ���=0 sont les fonctions de la forme ���⟼ cos sin , où ��� Méthode : Résoudre une équation différentielle du type ��� ���=0

Vidéo https://youtu.be/klU6n691j7I

Résoudre l'équation différentielle : ��� +9���=0 avec ��� 0 =1 et ��� 0 =2.

Correction

+9���=0 s'écrit ��� +3 ���=0.

Les solutions sont alors de la forme :

cos

3���

sin

3���

- Or, ��� 0 =1 donc : ���

×1+���

×0=1 soit ���

=1. - Et, ��� 0 =2. =-3��� sin

3���

+3��� cos

3���

Donc : -3���

×0+3���

×1=2 soit ���

3 On en déduit la solution de l'équation différentielle : ��� =cos

3���

3 sin

3���

Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Maths: Equation ? deux inconnues

[PDF] Maths: Equations & Inéquations n°2 : exercice 2nde

[PDF] Maths: Equations/Démontrer et Résoudre

[PDF] Maths: ETUDES DE FONCTIONS

[PDF] MATHS: EXERCICE F1 ET F2 pour demain

[PDF] Maths: Exercice Second degré

[PDF] Maths: Exercices probabilité

[PDF] Maths: F(X) ou F(0)

[PDF] maths: fonctions

[PDF] Maths: Fonctions/Triangle rectangle

[PDF] Maths: Inéquations produits

[PDF] Maths: LA COURBE REPRESENTATIVE

[PDF] maths: la fonction

[PDF] Maths: les dérives (convexité, double dérivés)

[PDF] Maths: les équations