[PDF] PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES





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ÉQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr RESOUDRE UNE EQUATION : c'est chercher et trouver le nombre caché sous l'inconnue.



EQUATIONS INEQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. EQUATIONS Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-produit.



PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. PRIMITIVES ET. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Tout le cours sur les équations différentielles 



ÉQUATIONS INÉQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ÉQUATIONS RESOUDRE UNE EQUATION : C'est chercher et trouver le nombre inconnu.



ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. ÉQUATIONS POLYNOMIALES Méthode : Résoudre une équation du second degré dans ?.



EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS

Pour montrer que deux droites sont parallèles il faudra déterminer leur c) Résoudre un système d'équations linéaires à deux inconnues x et y et à deux ...



EQUATIONS DIFFERENTIELLES I Définition et notation

l'équation (E). Démonstration: Exemple : Résoudre (E4) y' -2 y = 1-2x et (E5) y' - 



REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants.



Équations différentielles

Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution (a) Montrer que si y0 est une solution particulière de l'équation de Riccati.



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 3. Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation. Vidéo https://youtu.be/lCT-8ijhZiE.

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PRIMITIVES ET

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Tout le cours sur les primitives en vidéo : https://youtu.be/bQ-eS1zZCdw Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8

Partie 1 : Primitive d'une fonction

1) Définition et propriétés

Exemple :

On considère les fonctions et définies par : =2+3 et +3-1

Si on dérive , on constate que :

=2+3=

Lorsque

=, on dit que est une primitive de . Définition : est une fonction continue sur un intervalle . On appelle primitive de , une fonction , telle que :

Remarque :

Dans ces conditions, dire que " est une primitive de » revient à dire que " est la dérivée de ». Méthode : Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre fonction

Vidéo https://youtu.be/7tQqY9Vkmss

Dans chaque cas, dire si est une primitive de . a) 2 2 et b) et (+1). c) ln() et -ln 2

Correction

a)

2

2

Donc est une primitive de .

b) =1× +1

Donc est une primitive de .

c) 1

×-ln()×1

2

1-ln()

2

Donc n'est pas une primitive de .

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2

Propriété : Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une

constante.

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/oloWk2F4bI8

Soit et deux primitives de la fonction sur . Alors : '()=() et '()=(). Donc : '()='(), soit ' -'()=0, soit encore (-)'()=0.

La fonction - possède une dérivée nulle sur , elle est donc constante sur .

On nomme cette constante. Ainsi :

-()= pour tout de . On en déduit que les deux primitives de diffèrent d'une constante. Propriété : est une fonction continue sur un intervalle . Si est une primitive de alors pour tout réel , la fonction ⟼ + est une primitive de .

Démonstration :

est une primitive de .

On pose

()+0=

Donc est une primitive de .

Exemple :

On a vu dans la méthode précédente que est une primitive de avec : 2 2 et

Donc, la fonction définie par

2 2 +5 est également une primitive de .

En effet :

2

2 +0== Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. - Démontrée dans le chapitre Intégration - Remarque : Bien que l'existence étant assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue. Par exemple, la fonction ⟼ ne possède pas de primitive sous forme explicite. Méthode : Recherche d'une primitive particulière

Vidéo https://youtu.be/-q9M7oJ9gkI

Soit la fonction définie sur ℝ* par a) Démontrer que la fonction définie sur ℝ* par est une primitive de . b) Déterminer la primitive de la fonction qui s'annule en =1. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3

Correction

a) ′ Donc '= et donc la fonction est une primitive de . b) On cherche la primitive de la fonction qui s'annule en =1, soit : 1 =0. Si est une primitive de alors : +, où est un nombre réel.

Donc :

1 1

Et donc :

1 +=0

Soit :

+=0 +=0 La primitive de la fonction qui s'annule en =1 est telle que :

2

2) Primitives des fonctions usuelles

Fonction Une primitive

-1;0 1 +1 1 1 avec >0 ln() 2 cos() sin() sin() -cos()

3) Linéarité des primitives

Propriété :

Si est une primitive de et est une primitive de alors : - +est une primitive de +, - est une primitive de ,avec réel.

Démonstrations :

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Méthode : Déterminer une primitive (1)

Vidéo https://youtu.be/GA6jMgLd_Cw

Vidéo https://youtu.be/82HYI4xuClw

Vidéo https://youtu.be/gxRpmHWnoGQ

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a) -2 b) =3 1 c) 1 5 d) 3 sur

0;+∞

e) =-sin() f) 2

Correction

a) 1 4 -2 b) =3 1 =3 2 -3× donc -3×S- 1

T=

3 c) 1 5 1 -4 1

4

4 d) 3 =3× 1 =3ln() Remarque : L'intervalle de recherche de la primitive est

0;+∞

, car la fonction est définie pour des valeurs strictement positive. e) =-sin() -cos =cos() f) 2 =2× 1 =2×2 =4

4) Primitives de fonctions composées

est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Fonction Une primitive

-1;0 1 +1 2 avec >0 ln() cos() sin() sin() -cos() Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 5

Méthode : Déterminer une primitive (2)

Vidéo https://youtu.be/iiq6eUQee9g

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a)

2-5

-5+4 b) 4. c) d) =cos

5

-3sin

3-1

Correction

a)

2-5

-5+4 du type ′ , avec =2.

En effet :

-5+4 → =2-5

Une primitive de ′

est de la forme

Soit :

1 3 -5+4 b) 4. 4. du type 5 5

En effet :

+1→ =2

Une primitive de

5 5 est de la forme 2

Soit :

1 2 ×2 +1= +1 c) 1 3

×3

du type ′

En effet :

=3

Une primitive de ′

est de la forme

Soit :

1 3 d) =cos

5

-3sin

3-1

1 5

×5cos

5

-3sin

3-1

Donc

1 5

×sin

5

+cos

3-1

Partie 2 : Équations différentielles

1) Définition d'une équation différentielle

Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et

où interviennent des dérivées de cette fonction.

Exemples :

a) L'équation =5 est une équation différentielle.

L'inconnue est la fonction .

En considérant que est la fonction inconnue qui dépend de , l'équation différentielle peut

se noter : =5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 6 b) L'équation =2 -3 est également une équation différentielle. L'inconnue est la fonction dont la dérivée est égale à 2 -3.

2) Équation différentielle du type '=

Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle .

La fonction est une solution de l'équation différentielle '= si et seulement si

Propriété :

Dire que est une primitive de , revient à dire que est une solution de l'équation

différentielle '=.

En effet, '=.

Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Vidéo https://youtu.be/LX8PxR-ScfM

Prouver que la fonction définie sur

0;+∞

par =3 +ln() est solution de l'équation différentielle =6+

Correction

=3×2+ 1 =6+ 1 Donc, est solution de l'équation différentielle : =6+

3) Équations différentielles du type '=

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ, sont les fonctions de la

forme ⟼ 0# , où est une constante réelle quelconque.

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/FQlxi8JKmg4

• Soit la fonction définie sur ℝ par 0# , où est un réel.

Alors,

0# 0#

Donc

est donc solution de l'équation différentielle '=.

• Réciproquement, soit une solution de l'équation différentielle '=.

Et soit la fonction définie sur ℝ par &0# est dérivable sur ℝ et on a : &0# &0# Comme est solution de l'équation différentielle '=, on a : '

Ainsi :

&0# &0# Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 7 &0# &0# =0. La fonction est donc égale à une constante réelle , soit : &0#

Et donc :

0# Méthode : Résoudre une équation différentielle du type '=

Vidéo https://youtu.be/YJNHTq85tJA

On considère l'équation différentielle 3 +5=0.

1) a) Déterminer la forme générale des fonctions solutions de l'équation.

b) Représenter à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, quelques courbes des fonctions solutions.

2) Déterminer l'unique solution telle que

1 =2.

Correction

1) a) 3

+5=0

3

=-5 5 3 Les solutions sont les fonctions de la forme : ⟼ b) Pour différentes valeurs de , on obtient :

2) est solution de l'équation différentielle, donc de la forme :

Donc

1

Or,

1 =2. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 8

Donc :

=2 =2 2 =2

Et donc :

=2 =2 =2

Propriété : Si et sont deux solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ,

alors + et ,∈ℝ,sont également solutions de l'équation différentielle.

Démonstrations :

4) Équations différentielles du type '=+

Propriété : La fonction ⟼-

7 8 est solution de l'équation différentielle

'=+ (≠0). Cette solution est appelée solution particulière constante.

Démonstration :

On pose :

7 8 . Alors =0.

Or,

+=×S-

T+=-+=0=

Donc :

est donc solution de l'équation différentielle '=+.

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=+ (≠0)sont les fonctions

de la forme ⟼ 0# 7 8 , où ∈ℝ. Solution de l'équation Solution particulière '= constante de l'équation

Remarque : L'équation '=+ est appelée équation différentielle linéaire du premier

ordre à coefficients constants. Méthode : Résoudre une équation différentielle du type '=+

Vidéo https://youtu.be/F_LQLZ8rUhg

Vidéo https://youtu.be/CFZr44vny3w

On considère l'équation différentielle 2 -=3. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 9 a) Déterminer la forme générale des fonctions solutions de l'équation. b) Déterminer l'unique solution telle que 0 =-1.

Correction

a) 2 -=3

2

=+3 1 2 3 2 Une solution particulière constante est la fonction : ⟼-3.

En effet : -

7 8 3 2 1 2 =-3. Les solutions de l'équation différentielle 1 2 sont de la forme : ⟼ Les solutions de l'équation différentielle 2 -=3 sont donc de la forme : -3, ∈ℝ b) est solution de l'équation différentielle, donc de la forme : -3, ∈ℝ

Donc

0 ×2 -3=-3

Or,

0 =-1

Donc : -3=-1

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