[PDF] Fiche 6 : Applications linéaires II

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Licence L1-Math/Info { Algebre II 2013-2014

Fiche 6 : Applications lineaires IIExercice 1.SoitB= (e1;e2;e3) une base deR3. On pose, f

1=e1+ 2e22e3,f2= 4e1+ 7e26e3etf3=3e15e2+ 5e3:

a. Verier queB0= (f1;f2;f3) forme une base deR3. b.Ecrire la matrice de passage deBversB0. c. Soitvle vecteur deR3de matrice0 @2 1 11 A dans la baseB0. Calculer la matrice devdans la baseB. d. Soitwle vecteur deR3de matrice0 @2 1 11 A dans la baseB. Calculer la matrice dewdans la baseB0. Exercice 2.Soitfl'application lineraire deR3dansR2denie par f(x;y;z) = (x+z;4x2y+z) pour tout (x;y;z)2R3. Notons la base canonique deR3parB= (e1;e2;e3) et celle deR2parC= (f1;f2). a. Donner la matrice defdans les basesBetC. b. Posonsv1=e1+e2+e3;v2=e1+ 2e2+ 4e3etv3=e1+ 3e2+ 9e3. Montrer que la famille de vecteursB0= (v1;v2;v3) forme une base deR3. c. Expliciter la matrice de passageQdeBversB0. Ensuite, calculerQ1. d. Posonsw1=f1+f2etw2=f2. Montrer que la famille de vecteursC0= (w1;w2) forme une base deR2. e. Expliciter la matrice de passagePdeCversC0. Ensuite, calculerP1. f. En deduire la matrice defdans les baseB0etC0. Exercice 3.Soientm;n2Netf:Km!Knune application lineaire. a. Montrer qu'il existe une base (e1;:::;em) deKmtelle que (er+1;:::;em) est une base du noyau def, pour un entierr2 f0;:::;mg. b. Verier que (f(e1);:::;f(er)) est une base de l'image def. c. En deduire qu'il existe des basesBetCdeKmet deKn, respectivement, dont la matrice defdans les basesBetCest donnee par0 B

BBBBBBBB@1 0 0

0 ......1......

00 0 0 0

0 0 0 001

C

CCCCCCCCA

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Exercice 4.Donner des basesBetCcomme dans l'exercice precedent pour l'applicationu deR4dansR3denie par f(x;y;z;w) = (x+z+w;x+y2w;yz+w):

Exercice 5.Soitfl'endomorphisme deR3deni par

f(e1) = 13e1+ 12e2+ 6e3; f(e2) =8e17e24e3; f(e3) =12e112e25e3; ou (e1;e2;e3) est la base canonique deR3. a. Donner la matrice defdans la base canonique. b. Posonsv1= 2e1+ 3e2;v2= 3e22e3etv3= 2e1+ 2e2+e3. Montrer que la famille de vecteursB= (v1;v2;v3) forme une base deR3. c. Exprimer l'image deBparfdans la baseB. En deduire la matrice defdans la base B.

Exercice 6.Soitul'endomorphisme deR3de matrice

M=0 @1 12 2 34

1 0 11

A dans la base canonique. On pose, f

3= (1;1;1),f2=u(f3)f3etf1=u(f2)f2:

a. Calculer les coordonnees def2etf1dans la base canonique. b. Verier queB= (f1;f2;f3) forme une base deR3. c. Donner la matriceNdeudans la baseB. d. Verier que pour tout entiern0, B n=0 @1nn(n1)2 0 1n

0 0 11

A e. En utilisant la matrice de passagePde la base canonique vers la baseB, calculer pour toutn0, la matriceAn, puisun(1;1;1).

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Exercices a preparer pour le contr^ole.

Exercice 1.SoitB= (f1;f2;f3;f4) une base deR4etun reel. On considere l'endomor- phismeudeni par u(f1) =f1+f4,u(f2) =f2f3,u(f3) = 2f3+f4etu(f4) =f3+ (4)f4: a. Donner la matriceAdeudans la baseB. b. Pour quelle valeur de, l'endomorphismeuest-il bijectif? Exercice 2.Soitfl'endomorphisme deR3deni pour (x;y;z)2R3par u(x;y;z) = (x+y+z;6x+ 4y+ 2z;3xy+z): a.Ecrire la matriceAdefdans la base canonique : b. CalculerA2et en deduire queff= 2f. c. En deduire que siv2Imfalorsf(v) = 2v. d. Montrer a l'aide de la question precedente que Kerf\Imf=f0R3g. e. En deduire queR3= KerfImf. f. Trouver une base (e1;e2;e3) telle quefa pour matrice 0 @0 0 0 0 2 0

0 0 21

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