[PDF] Prise en main du système de calcul Sage

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Sommaire1. Prise en main de l"environnement de calcul SAGE. . . . . . . . .25

2. Variables et expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3. Les polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4. Polynômes à plusieurs indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . .

33 §1 Prise en main de l"environnement de calcul SAGE

L"objectif de ce chapitre est de découvrir le système de calcul????, en particulier sa syntaxe, ses mécanismes d"affectation et d"évaluation. Dans ce cours, nous utilisons ????pour le calcul polynômial, nous présentons ici les principales opérations de???? pour la manipulation de polynômes. II.1.1.Le système de calcul????.-????est un système de calcul formel et numé- rique dont le développement a débuté en 2005 à l"université de Washington

1.????est

construit au dessus de systèmes libres déjà existants tels queMAXIMAetSYMPYpour le calcul symbolique,GAPpour la théorie des groupes,PARIpour la théorie des nombres, SINGULARpour l"algèbre commutative,SCYPYpour le calcul numérique,Rpour les sta- tistiques.????a pour objectif de fournir une alternative libre aux systèmes propriétaires tels queMAPLE,MAGMA,MATLAB. Un point fort, outre la mise en commun des potentialités de tous ces systèmes, est l"utilisation, au lieu d"une multitude de langages spécifiques, d"un langage informatique universel Python 25

26CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL????

implémentées dans un cadre catégorique et orienté objets avec des méthodes pour les

objets structurés et des méthodes pour leurs éléments. Les classes ainsi définies sont

regroupées dans des modules Python. Il existe plusieurs façons d"utiliser????: en " ligne de commande » , en écrivant des programmes interprétés ou compilés en????, en écrivant des scrits Python qui font ap- pels à la bibiothèque????. Nous utiliserons ici????par l"intermédiaire d"une "interface graphique» permettant d"éditer des "feuilles de travail» . II.1.2.Connexion au serveur????.-La connection au serveur????passe par une url dans votre navigateur web, puis saisir votre?????référérencé par l"annuaire ldap de l"UCBL. Après cette première identification, vous êtes connecté à un serveur????qui demande une identification : saisir le même?????et le??? ?? ?????associé. Vous accédez ainsi à une interface de gestion de "feuilles de travail» . II.1.3.Première feuille de travail.-Pour ouvir une nouvelle feuille de travail, cliquer ?une zone de menus :????,??????,????,????, permettant de gérer la feuille de travail, en particulier une entrée du menu????permet d"enregister la feuille de travail dans un fichier (le serveur????de l"UCBL étant en phase expérimentale, il est conseillé d"enregistrer ses feuilles de travail à l"issue de la séance), ?trois boutons????,???? ? ????,??????? ? ????, permettant d"enregistrer la feuille de travail et de quitter la feuille de travail en l"enregistrant ou non. ?des cellules pour la saisie des commandes. Dans un premier temps, nous n"utiliserons pas les autres fonctionnalités disponibles. II.1.4.Les cellules.-Les cellules permettent de saisir les instructions. Pour évaluer Exercice 1.-Saisir l"expression suivante puis l"évaluer. Il est possible d"évaluer séquentiellement toutes les cellules de la feuille de travail Pour insérer une cellule (entre deux cellules), cliquer sur la ligne bleu au-dessus ou II.1.5.Aide en ligne et complétion dynamique.-Une aide en ligne est disponible pour les commandes et les méthodes. Cette aide en ligne permet aussi d"obtenir une description des classes. Pour obtenir de l"aide sur une méthode ou une classe on exécute CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL????27

Exercice 2.-Tester les instructions suivantes :

Pour écrire le nom d"une méthode ou d"une classe, on peut utiliser la complétion dynamique en utilisant la touche?????.

§2 Variables et expressions

II.2.1.L"affectation.-Pour affecter à unevariableune valeur, on utilise le symbole ?, par exemple L"affectation d"une variable n"affiche pas la valeur de la variable sur la sortie standard.

Tester :

Pour un affichage plus visuel on peut utiliser la méthode??????. Saisir l"instruction suivante : Pour afficher la valeur de variable?avec une approximation avec 20 chiffres déci- maux : Il est possible de saisir des instructions sur plusieurs lignes, pour passer à la ligne, Pour réinitialiser les variables, on peut utiliser la méthode???????:

28CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL????

II.2.2.Expressions symboliques.-????permet de manipuler des expressions symbo- liques. La commande???permet de déclarer des variables symboliques. Exercice 3.-Saisir les instructions suivantes puis les évaluer. substituer des valeurs dans une expression symbolique : II.2.3.Fonctions.-On peut définir des fonctions de la façon suivante : Dans????, toute expression mathématique est un objet. Un objet possède des attri- buts définissant sa structure et des méthodes permettant de modifier sa structure ou de communiquer avec lui. En particulier, les fonctions sont des objets : qui possèdent des méthodes d"accès, par exemple : II.2.4.Les fonctions.-Pour définir une fonction avec????, on peut aussi utiliser la commande???. Par exemple, pour la fonction x7!x2 on peut procéder de la façon suivante : CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL????29 On peut définir des fonctions de plusieurs variables de la même façon. Par exemple, pour la fonction (x;y)7!cos2(x)+sin2(y) §3 Les polynômes à une indéterminée II.3.1.Anneaux de polynômes à une indéterminée.-Pour construire un anneau de nômes à une indéterminéexà coefficients dans un anneau ou corpsApeut se spécifier par les expressions équivalentes suivantes : les anneauxZ[x],Q[x],R[x]etZ=nZ[x]. obtenir l"indéterminée avec la méthode???????ou???.

II.3.2.Exemple.-Pour construireQ[x]:

de l"indéterminée de l"anneau ou du corps. On peut écrire aussi Pour récupérer l"indéterminée (avec le même nom) : La variable Python x représente alors le polynômexdeQ[x]:

30CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL????

Ainsi, le polynômexdeQ[x]est différent du polynômexdeR[x]et du polynômetde Q[t]. II.3.3.Construction de polynômes.-Un polynôme deA[x]se définit simplement comme une expression algébrique en l"indéterminéex: II.3.4.Opérations d"accès sur les polynômes d"une seule indéterminée.-Les prin- cipales opérations d"accès permettent d"obtenir le coef ficientde xk:????,

II.3.5.Opérations arithmétiques élémentaires.-Les opérations arithmétiques élé-

mentaires s"écrivent naturellement : l"addition? ? ?, la soustraction? ? ?, la multipli- cation? ? ?et la puissance?ˆ?. Il existe plusieurs syntaxes pour la substitution dans un polynôme?de l"indéterminée CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL????31 II.3.7.Arithmétique euclidienne.-L"anneauK[x]étant euclidien, les méthodes de division sont simples : pour calculer la di visioneuclidienne dans K[x], oùKest un corps,f=qg+r: pour calculer le plus grand commun di viseur(pgcd) de polynômes de K[x], oùK la méthode ????permet de calculer une relation de Bézout : g=pgcd(f1;f2) =u1f1+u2f2;oùg;u1;u2;f1;f22K[x]:

Exercice 4.-On considère les polynômes

f

1=x73x5+2x4x2+1;f2=x8+2x63x3x+5:

1.Déterminer le degré, le coefficient dominant et la liste des coefficients du produit

f 1f2.

32CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL????

2.Calculer la division euclidienne def2parf1.

3.Calculer le pgcd def1etf2.

4.Calculerf1(1).

II.3.8.Racines d"un polynôme.-Il existe plusieurs méthodes pour calculer les ra- cines d"un polynôme. La méthode?????d"un polynôme retourne les racines du poly- nôme dans son anneau de base, sous la forme d"une liste de couples (racine, multipli- cité) : Il est possible de spécifier le domaine, par exemple pour obtenir les racines réelles, puis les racines complexes : II.3.9.IdéauxdeA[x].-Lesidéauxd"anneaux depolynômessontdesobjets construits

à partir de la méthode?????:

ou bien avec la syntaxe suivante, pour construire l"idéalIdeQ[x]engendré par les deux polynômesf1=x21 etf2=x3x2+x1 : Pour réduire un polynôme modulo un idéal : Exercice 5.-SoitIl"idéal deQ[x]engendré par les polynômes f

1=x61;f2=x4+2x3+2x22x3:

1.Déterminer un générateurgdeItel queI=hgi.

2.Montrer que le polynômef=x4+2x23 est dansI.

3.Décomposerfen une combinaison algébrique def1etf2.

CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL????33 §4 Polynômes à plusieurs indéterminées ????permet de calculer avec les polynômes à plusieurs indéterminées. La différence fondamentale avec le cas à une seule indéterminée est que l"anneauK[x1;:::;xn]n"est pas principal, cf. exercice 1 du chapitre IV. Pour l"arithmétique euclidienne dans ces

Par exemple, pour l"anneauQ[x;y;z]:

II.4.2.Construction d"anneaux de polynômes.-Il est possible de construire des indéterminées d"un même nom indicé par des entiers naturels, comme par exemple x Par exemple pour construire l"anneauQ[x0;x1;x2;x3;x4;x5]: 1 er, 2e, ... générateur avec???,???, ... Pour l"évaluation, il faut donner une valeur à chacune des indéterminées ou préciser les indéterminées à substituer : anneau de polynômes à plusieurs indéterminées :

34CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL????

Dans cet exemple, on a spécifié l"ordre lexicographique,???, induit parzIV.4.8). L"ordre spécifié par défaut est l"ordre lexicographique inverse gradué, voir défini- II.4.3.Méthodes d"accès.-Les principales opérations d"accès permettent d"obtenir Onpeututiliserl"opérateurcrochet? ?pourextrairedescoefficients,ilacceptecomme paramètre un monôme ou sonexposant: Exercice 6.-Soitf=5x2y3z2+3xy2z+4z22xy+zy+zun polynôme deQ[x;y;z].

1.Avec????, donner le terme dominant, le coefficient dominant et le monôme dominant

defpour l"ordre lexicographique et pour l"ordre lexicographique gradué.

2.Donner le degré total def,

3.Écrirefcomme un polynôme enx.

CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL????35 II.4.4.Opérations arithmétiques sur le polynômes.-Pour les polynômes à plusieurs indéterminées, les opérations arithmétiques +, -, * s"utilisent comme dans le cas d"une seule indéterminée. CommeK[x1;:::;xn]n"est pas principal, les méthodes basées sur la division euclidienne des polynômes ne fonctionnent pas dans ce cas. Exercice 7.-Soientf=x3y3+2y2,f1=2xy2+3x+4y2etf2=y22y2 des poly- nômes deQ[x;y]. En utilisant l"ordre lexicographique induit pary36CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL???? Exercice 10.-Montrer que les polynômesf1etf2de l"exercice 7 ne forment pas une y1.f1=3x2yzy3z3,f2=xy2+z2,

2.f1=3x2yzxy3,f2=xy2+z2,

3.f1=3x2yyz,f2=xy2+z4.

II.4.6.Problème de l"appartenance à un idéal.- Exercice 13.-SoitIl"idéal deQ[x;y;z]défini par I= yx3;x2yz:

2.Le polynômef=xy3z2+y5z3appartient-il àI?

Exercice 14.-Les polynômex3+1 etx31 s"écrivent-ils comme combinaison algé- brique des polynômesx+y+z,xy+yz+zxetxyz1? Exercice 15.-On considère dansQ[x;y;z]les idéaux I= x2+z;xy+y2+z;xzy32yz;y4+3y2z+z2; J= x2+z;xy+y2+z;x3yz:

A-t-onIJ,JIouI=J?

II.4.7.Résolution de systèmes d"équations polynomiales.- Exercice 16.-SoitI=hf1;f2il"idéal deR[x;y]engendré par les polynômes f

1=x2+2y21;

f

2=x2+xy+y21:

1.Déterminer une famille de générateurs de l"idéalI\R[x]et de l"idéalI\R[y].

2.Déterminer les solutions du système d"équations suivant

f

1(x;y) =0;

f

2(x;y) =0:

CHAPITRE II. PRISE EN MAIN DU SYSTÈME DE CALCUL????37 Exercice 17.-Poura=1;2;3, déterminer toutes les solutions dansQdu système x2+2y2=a; x

2+xy+y2=a:

Exercice 18.-Déterminer une base des idéaux d"éliminationI1etI2pour l"idéalI engendré par les équationsx

2+y2+z2=4;

x

2+2y2=5;

xz=1: Déterminer les solutions dansQ3de ce système.

Exercice 19.-On considère les équations

t

2+x2+y2+z2=0;

t

2+2x2xyz2=0;

t+y3z3=0:

SoitIl"idéal engendré par ces équations.

xExercice 21.-Montrer que la fonction réelle f= (x2+y2)(x2+y21)z+z3+x+y ne possède pas de point critique.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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