[PDF] Devoir maison en Math I Analyse

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Universit´e Claude Bernard LYON 1 Automne 2007

Devoir maison en Math I Analyse

Exercice 1

Pour chacun des ensembles suivants, d´eterminer s"il y a une borne inf´erieure, une borne sup´erieure, et si oui lesquelles.?xnx n+ 1;x?]0,+∞[, n?N? xn|xn-1|;x?]0,1[?]1,+∞[, n?N?? xnx n+ 1;x?]0,+∞[, n=E(x) +E(1/x)? (Ci-dessus,E(x) d´esigne la partie enti`ere dex.)

Exercice 2

1. Montrer que la relation de r´ecurrence

u n+1=15 ?1-⎷1-un?, et la donn´ee initiale u 0=15 permettent de d´efinir une suite (un)n?Nde r´eels appartenant `a l"intervalle ]0,1[.

2. Montrer que cette suite (un)n?Nest d´ecroissante.

3. Montrer que (un)n?Nest convergente et calculer sa limite.

Exercice 3

Soit (un)n?Nune suite r´eelle telle que les trois suites (vn)n?N, (wn)n?Net (xn)n?Nd´efinies par

v n=u2n, wn=u2n+1, xn=u3n,pour toutn?N, convergent.

1. Montrer (en utilisant la notion de suite extraite) que les suites (vn)n?Net (xn)n?Nont

mˆeme limite.

2. Montrer que (vn)n?Net (wn)n?Nont mˆeme limite.

3. Peut-on en d´eduire que (un)n?Nconverge? (On justifiera la r´eponse.)

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Exercice 4

Soitf:R→Rune fonction telle que, pour tousx,y?R,

1. Montrer quefest 2π-p´eriodique (c"est-`a-dire quef(x+ 2π) =f(x) pour toutx?R).

2. Montrer quefest continue surR.

3. Montrer quefest d´erivable enπ2

et calculerf?(π2

Exercice 5

Pour tout entiern?N?, on consid`ere la fonctionfn: [0,1]→Rd´efinie par : f n(x) =xn-(1-x)2.

1. Dans cette question, l"entiern?N?est fix´e.

(a) Lafonctionfnest-elle monotone? (b) Montrer qu"il existe un uniqueαn?]0,1[ tel quefn(αn) = 0. (c) Quel est le signe defn+1(αn)?

2. On consid`ere maintenant lasuitede terme g´en´eralαn.

(a) Montrer `a l"aide de la question pr´ec´edente que la suite (αn)n?N?est croissante. (b) En d´eduire que la suite (αn)n?N?est convergente. On noteraα= limn→∞αn. (c) Supposons queα <1. i. Montrer qu"alorsαnntend vers 0 quandntend vers l"infini. ii. A l"aide de la relationfn(αn) = 0, en d´eduire que (1-α)2= 0 (d) Conclure. 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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