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Table des matières
I Notion de primitive1
I.1 Primitivedefsur un intervalleI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
II Calculs de primitives2
II.1 Primitivesusuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II.2 Primitiveset opérations:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III Calculs d"aires3
I Notion de primitive
I.1 Primitive defsur un intervalleI
Définition
Soitfune fonction définie et continue sur un intervalleI.Fest une primitivedefsurIsi, et seulement si :
la fonctionFest dérivable surIet a pour dérivéef.-?x?I,F?(x)=f(x).
Exemple :
La fonctionFdéfinie surRpar :F(x)=x22est une primitivedef:x?→surR, car pour toutxdeR, F ?(x)=x=f(x). Remarque:G:x?→x22+5 est aussi une primitivedefcarG?=f.Une primitiven"est pas unique.
Propriété
SoitFune primitived"une fonctionfetkun réel.
F+kest aussi une primitivedef.
Démonstration:
F+k)?=F?+0=F?=fdoncF+kest bien une primitivedef.
Propriété réciproque
SoientFetGdeux primitivesd"une fonctionf.
Alors, il existe un réelktel queG=F+k.
Démonstration:
Par hypothèse,F?=fetG?=g.
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4Alors :(G-F)?=G?-F?-f-f=0.
G-Fest une fonction de dérivée nulle, donc une fonction constante.Il existek?Rtel queG-F=kdoncG=F+k.
Remarque: il suffit de connaître une primitivepour connaître toutes les primitivesd"une fonction.
Remarque: il y a des fonctions dont on ne sait pas exprimer une primitive à l"aide de fonctions usuelles,
commex?→1 1+x4.Vous verrez en physique que la détermination de la constantese fait souvent à partir des conditions ini-
tiales, c"est-à-dire les conditions à l"instantt=0.II Calculs de primitives
II.1 Primitives usuelles
Par lecture inverse du tableau des dérivées des fonctions usuelles, on obtient les résultats suivants :
(y compris les fonctions non encore étudiées, comme la fonction logarithme népérien ln et sa réciproque, la
fonction exponentielle):FonctionUne primitiveValidité
f(x)=a?RF(x)=axR f(x)=xn(n?N?)F(x)=xn+1n+1R f(x)=1xF(x)=ln(x)]0 ;+∞[ f(x)=1x2F(x)=-1x]-∞; 0[ ou ]0 ;+∞[ f(x)=1xn,n?N,n>1F(x)=-1(n-1)xn-1]-∞: 0[ ou ]0 :+∞[ f(x)=12?xF(x)=?x]0;+∞[ f(x)=exF(x)=exR f(x)=cosxF(x)=sinxR f(x)=sinxF(x)=-cosxR f(x)=1+tan2x=1cos2xF(x-=tanx (2k-1)π2;(2k+1)π2?
,k?ZPage 2/4
II.2 Primitives et opérations :
Soientuetvdeux fonctions admettant des primitivesrespectivesUetVsur un intervalleIetgune fonction admettant une primitiveGsur un intervalleJcontenant l"intervalleu(I).On noteula dérivée deu.
Fonctionune primitivevalidité
f=u?×g◦uF=G◦uI f=u?un(n?N?un+1 n+1I f=u?uln|u|u ne s"annule pas surI f=u?un,n?N,n>1F=-1(n-1)un-1une s"annule pas surI f=u?2?uF=?uu>0 surI f=u?euF=euensemble de définition deu f=u?cos(u)sin(u)I f=u?sin(u)cos(u)IIII Calculs d"aires
Le calcul intégral permet (entre autre) de calculer l"aire comprise entre une courbe représentative d"une
fonction positive, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=aetx=b. Exemple: calculer l"aire hachurée entre les droites d"équationsx=-1,5 etx=1 :0.51.0
0.5 1.0 1.5-0.5-1.0-1.52.0
a=1.94On verra le résultat "magique» suivant :
L"aire se définit à l"aide d"une intégrale et vaut : A=? b a f(x) dx=F(b)-F(a) oùFest n"importequelle primitivedef.On lit "intégrale de a à b de f(x) dx»
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4Le termedxcorrespond à une variation infinitésimale de la variable; ilest obligatoire (ne serait-ce que
pour avoir une formule homogène à une aire (produit de deux longueurs); nous en reparlerons de manière
plus détaillée dans le cours... et les droites d"équationsx=1 etx=3.123456789
-11 2 3-1 a=8.67 OUne primitivedefestF=x?→13x3.
L"aire vautA=?
3 1 f(x)dx=F(3)-F(1)=263unités d"aire.
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