E. Les graphes probabilistes
Définition 1 Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dans lequel : 2 État probabiliste et matrice de transition. Définition 2.
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Chaînes de Markov
Définition 2.1 (Chaîne de Markov). Une chaîne de Markov sur X de matrice de transition P est une suite de variables aléatoires (Xn)n2Ndéfinies sur un espace (?
CHAÎNES DE MARKOV
n?1 k=0 pxkxk+1 . ?. Définition 4. On appelle matrice de transition la matrice P = (px
Chaînes de Markov
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1 Définition
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Chapitre2
ChaînesdeMarkov
Résumé.Unechaînede Markovestunpro cessusaléatoire(X n n!N dont lestransitio nssontdonnéesparune matricestochastiqueP(X n ,X n+1 Cesproc essusvérifientlapropriétéde Markov,c'est-à-direqu'ob servésàpartird'untemps(d'arrêt)T,(X
T+n n!N nedépend quedeX T etest denouv eauunechaînedeMarkov. Lesétatsd 'unechaînedeMarkov peuventêtreclassése ndeuxcatégo ries:lesétatstr ansitoires,quine sontvisitésqu'unnombre finidefois p.s.,etles étatsr écurrents,quiune foisatteints sontvisités p.s.uneinfinitédefois, ainsiquetouslesautres étatsdanslamême classederéc urrenc e.Pourunecha înedeMarkov irréductiblerécu rrente,lamesureempiriqueetlaloima rgina ledupro - cessusconv ergentsoitversl'uniquemesuredeprobabilitéP-invariante (récurrencepositive),soit verslevecteur nul(récurrencenulle).Cette théories'appliqueen particulierauxmarchesaléatoiresetau xmodèles defilesd'attente. Danscequis uit,onfixeune spac ed'étatsXfiniou dénombrable,muni delatribude l'ensembledesparties P(X).SiXestfini,on noteraNsonnombre d'éléments.1.Ma tricesstochastiqueset propriétédeMarkov
1.1.Cha înesdeMarkov.UnematricestochastiquesurXestunefonction P:
(x,y)!X"#P(x,y)![0,1]telleque,p ourto utx!X, y!XP(x,y)=1.
Autrementdit,tout x!Xdéfinitunemesure de probabilité P(x,·)surX,appelée probabilitédetransitionàpartirdex. Définition2.1(Chaîne deMarkov).Unechaîne deMar kovsur Xdematric ede transitionPestune suitedevariablesaléatoir es(X n n!N définiessurun espace (!,B,P) età valeursdans X,tellequepourtoutn,ettouspointsx 0 ,...,x n+1 P[X n+1 =x n+1 |X 0 =x 0 ,...,X n =x n ]=P(x n ,x n+1Ainsi,lalo iconditio nnelleP
X n+1 |(X 0 ,...,Xn) estlaprobabilité detransitio nP(X n ,·).Il estutiled ereprésenter lesmesuresdeprobabilité "surXpardesvecteursen ligne ("(x 1 ),"(x 2 ),...,"(x k ),...).Alors,si" 0 estlaloi deX 0 ,quipeutêtrearbitraire,ona P[(X 0 ,X 1 ,...,X n )=(x 0 ,x 1 ,...,x n )]="(x 0 )P(x 0 ,x 1 )···P(x n"1 ,x n 782. CHAÎNE SDEMARKOV
parconditionneme ntsuccessif,desortequ'enparticulierlaloi" n deX n estdonnée par leproduit matriciel" n 0 P n .D'unpo intdevuedual,sifestunefonction bornéesurX,vuecommeunvecteurcolonne,alors
E[f(X n+1 )|X 0 =x 0 ,...,X n =x n ]=(Pf)(x n E[f(X n n f=" 0 P n f. Notonsquelesproduitsmatriciels considérésso ntlicites mêmelorsquel'espace d'états estinfinidénom brable,puisqu'ona desbonnesbornessur lessommesde coe cientssur chaquelignedelam atricedetransi tion. Exemple.Onrepr ésenteusuellementunechaînedeMa rkovd'espaced'étatsXpar ungra pheorientéétiquetéG=(V,E)dontlessommetssont leséléments deX,etdont lesarê tesétiquetéessontlescouples (x,y)avecP(x,y)>0,lavaleurdelaprobabilité detransitio nétantl'étiquettedel'arêtex#y.Con sidéronsparexemplelachaînede Markovd'espaced' états[[1,N]],etdematricedetransition P= 1 3 11111 .11 111
1 31
3 1 3 9 Leg rapheassociéestdessinéci-dessus, etlachaîneconsidéréeestl amarc hea léatoire surlecercle Z/NZoù,àchaq ueét ape,onaprobabilité1/3derestera umêmeendro it,et probabilité1/3desauter àgaucheo uàdro ite.Lesloismarginalesdecettec haînepeuvent êtrecalculéesco mmesuit.P ourtoutvecteurv!(C) Z/NZ ,notons
ˆv(k)=
1 N N j=1 v(j)# jk satransforméede Fourier discrète, avec#=e 2i!/N .D'autrepart,notonsC N lamatrice circulante C N 01 0 .1 10 ;P= I+C N +(C N "1 3Pourtoutve cteurv,
(vC N )(k)=# k N parla transforméedeFourierdiscrètea gitdia gonalement,avec valeurs propres#,# 2 N .Il s'ensuitquesi Destlamat rice diagonaleD=diag
1+2cos
2! N 31+2cos
4! N 31+2cos
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