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Introduction
Dans le chapitre 2, on s'est intéressé à l'étude du comportement des chaînes de Markov (calcul de la distribution stationnaire...) Par ailleurs, il est parfois plus utile de décrire les opérations du système de sorte à optimiser sa performance (exemple: les files d'attente). Dans ce chapitre on s'intéresse à la manière de concevoir les opérations dans un processus de Markov à temps discret de sorte à optimiser ces performances. Ainsi, au lieu d'accepter passivement la matrice de transition fixe, on va à chaque état de la chaîne déterminer la décision à prendre qui affectera les probabilités de transition et minimisera le coût du processus 3Exemple: États
Le processus vérifie la propriété d'un processus de Markov ? 4Exemple: Matrice de transition
5Exemple: Coût de production et de
maintenance L'état 3 est un état absorbant. Arrivée à cet état, l'entreprise doit remplacer la machine par une nouvelle (le processus démarre ainsi de l'état 0). Le remplacement nécessite une semaine et coûte 1000$ en terme de production et la nouvelle machine vaut4000$. Aussi, on peut identifier le coût d'une production
défectueuse: 2 6Exemple: Stratégie de maintenance
Remplacer la machine lorsqu'elle tombe en panne (état 3): 7Exemple: Le coût moyen à long terme
8Exemple: Autres stratégies de
maintenance 9Processus de décision Markovien
1. L'état id'une chaîne de Markov à temps discret est observé après chaque
transition (i=0, ..., M)2. Après chaque observation, une décision kest choisie parmi un ensemble
de Kdécisions possibles (k=1, 2, ..., K). Quelques décisions peuvent ne pas être applicables pour certains états.3. Si la décision d
i =kest prise à l'état i, alors un coût immédiat moyen est induit C ik4. La décision d
i =kdans l'état iva déterminer la probabilité de transition de l'état iàl'état j. On note cette probabilitép ij (k), j=0, 1,..., M.5. La donnée des décisions d
0 , d 1 , ..., d M constitue une stratégie pour le processus de décision Markovien.6. L'objectif est de trouver la stratégie qui optimise le coût moyen à long
terme par unité de temps. 3 10Exemple: Autres stratégies de
maintenance 11Exemple: Évaluations des stratégies de
maintenance 12Exemple: Évaluations des stratégies de
maintenance avec 13Stratégie déterministe de décision
4 14Stratégie stochastique de décision
1 1 K k ik D 15Formulation du PL: Variable de
décision 16Formulation du PL: Contraintes
et 17Formulation du PL: Fonction objectif
Minimiser le coût moyen à long terme
5 18 P.L. 19Distribution du temps d'attente
Le P.L. présente M+2contraintes dont une redondante. Ainsi la solution du P.L. comprend M+1, y ik0. Par ailleurs, pour chaque
i=0,1,..., Mil existe au moins un ktel que y ik >0, donc pour chaque iil existe exactement un seul ktel que y ik >0. 1ou 0 20Exemple: Formulation
21Exemple: Solution
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