fic00056.pdf
Donner un exemple de matrice dans M2(R) non diagonalisable ni sur C
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1
résumé GL2(Z) COMMENT DIAGONALISER UNE MATRICE 2 × 2
A est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P telle que P?1AP = ? où. ? est diagonale. La recette Considérons par exemple.
Fiche Méthode 14 : Diagonaliser une matrice dire si elle est
Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des Exemple 2 : matrice symétrique quatre valeurs propres (D'après ÉM Lyon 2013).
Valeurs propres vecteurs propres
https://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/L2/diag.pdf
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
Il existe alors une matrice inversible P et une matrice triangulaire T de Mn(C) telles que A = PTP-1. 7.1.7. Exemple. — La matrice suivante de M4(R). A =.
Amphi 5 : Diagonalisation des matrices symétriques réelles
7 oct. 2019 Rappels : Réduction des endomorphismes - matrices diagonalisables. Somme directe : exemple. Propriété. Soit E de dimension finie.
Rappel. Le polynôme caractéristique dune matrice carrée A est det
17 déc. 2012 Exemple : Le polynôme caractéristique de ... Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On.
Endomorphismes diagonalisables
Exercice 3. Proposez un test effectif pour savoir si une matrice complexe est diagonalisable `a valeurs propres distinctes. Traitez ensuite le cas des matrices
Polynômes dendomorphismes
Si A est diagonalisable A est semblable à une matrice diagonale. Or deux matrices semblables ont le même polynôme minimal (à faire en exercice). Donc il suffit
1.AestdiagonalesiA=10
022.Aestdiagonalisables"il existe une matrice inversiblePtelle queP1AP= , où
est diagonale. 3.v=x y ,v6=0 0 est unvecteur proprepourA, devaleur propre, siAv=v.La recetteConsidérons par exemple
A=1 2 2 11. Polynôme caractéristique deA: c"estpA(x) = det(AxI2). Ici
pA(x) = det
A=1 2 2 1 x0 0x = det1x2 2 1x = (1x)222 =x22x3:2. Valeurs propres deA: ce sont les racines depA(x): ici
x22x3 = 0,x= 1p1 + 3;
donc nous avons1=1et2= 3.3. Les valeurs propres comment sont-elles?
(a)1; 2complexes conjuguées :An"est pas diagonalisable surR; (b)16=2réelles :Aest diagonalisable, et sa forme diagonale est =10 02 (c)1=2:Adiagonalisable si et seulement siAest déjà diagonale (au départ) : il n"y a rien à ajouter. Ici,Aest diagonalisable, et sa forme diagonale est =1 0 0 3Dans la suite, on s"intéressera au cas (b).
4. Vecteur proprev1de valeur propre1: c"est une solutionnon nulledu système
(A1I2)v1= 0. Ici1(1) 2
2 1(1)
x y =0 02x+ 2y= 0
2x+ 2y= 0,x+y= 0
donc on peut prendrev1=1 1 (Attention : il y a toujours une infinité de solutions, c-a-d une équation disparaît toujours, sinon il y a une erreur quelque part).5. Vecteur proprev2de valeur propre2: ici
13 2 2 13 x y =0 02x+ 2y= 0
2x2y= 0,xy= 0
donc on peut prendrev2=1 16. La matricePest simplement la matrice qui a (dans l"ordre)v1etv2en colonne :
iciP=v1v2=1 1
1 1 C"est fini, (si on a bien fait les calculs)P1AP= . Vérifiez si vous n"êtes pas sûrs! Ici P1=1detP
11 1 1 =12 11 1 1 et on peut vérifier à la main que 12 11 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 =1 0 0 3quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] matrice identité d'ordre 3
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