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IUT d"Orsay - D

´epartement Informatique 2012-20013

Exercices de math

´ematiques DUT 1A - S1

Feuille 6 - Calcul matriciel

1 Op

´erations sur les matrices

1.Exercice corrig´e en amphi

Calculer, quand cela est possible, les produitsABetBA: (a)A=0 @1 0 1 1 1 2

2 1 01

A etB=0 @1 2 31
A (b)A=a1anetB=0 B @b 1... b p1 C A

2.Exercice corrig´e en amphi

SoitA= (aij)ij2 M3

L

1=a11a12a13,L2=a21a22a23,L3=a31a32a33les trois lignes deA

C 1=0 @a 11 a 21
a 311
A ,C2=0 @a 12 a 22
a 321
A ,C3=0 @a 13 a 23
a 331
A les trois colonnes deA (a)P=0 @0 0 00 0 0 1 A i. Calculer PAet v´erifier que ses lignes sontL1,L2et L3: ii. Calc ulerAPet v´erifier que ses colonnes sontC1,C2et C3: (b)P=0 @10 0 1 0

0 0 11

A i. Calculer PAet v´erifier que ses lignes sontL1+L2,L2etL3: ii. Cal culerAPet v´erifier que ses colonnes sontC1,C2+C1etC3: (c)P=0 @1 0 0 0 0 1

0 1 01

A i. Calculer PAet v´erifier que ses lignes sontL1,L3etL2: ii. Cal culerAPet v´erifier que ses colonnes sontC1,C3etC2: 1

3.(a) Soit A= (aij)ij2 M3;2v´erifiant

8(i;j)2 f1;2;3g f1;2g; aij=i+j2

CalculerApuistA:

(b)

Soit B= (bij)ij2 M2;4v´erifiant

8(i;j)2 f1;2g f1;2;3;4g; bij=ij

CalculerBpuistB:

(c) i.

Calculer ABpuist(AB):

ii.

Cal culer

tBtAet v´erifier quet(AB) =tBtA: (d)

Le produit BAest-il d´efini?

4.

Soient

A=5 2 3

23 4
; B=0 @21 1 0

0 2 2 2

3 01 31

A ; C=0 B

B@1 0 0

0 0 0 0 0 3 01 01 C

CA; D=0

@21 1 2 321
A (a)

Calculer le sproduits AB;AD;BC;CBetCD.

(b) Existe-t-il d"autre sproduits possibles entre ces matrices ?Si oui, les calculer . 5.

Soit A=0

@0 4 2 0 2 0 2841
A . V´erifier queA3+ 2A212A=8I3: 6.

Soient A=0

@3 1 2 2 0 2 1 211 A ,B=0 @1 2 0 3 1 01 A etC=0 @3 1 2 4 1 11 A (a)

Calculer ABetAC.

(b)

Justifier que la r

`egle de simplification

8(n;p;m)2(N)3;8A2 Mn;p;8(B;C)2(Mp;m)2; AB=AC)B=C

n"est pas valide. 7.

Soit A=0 1

1 0 . D

´eterminerfM2M2;AM=MAg.

8. (a) AetBsont deux matrices carr´ees quelconques de taillen: i. D

´evelopper(A+B)2:

ii. D

´evelopper(A+B)3:

2 (b)AetBsont deux matrices carr´ees de taillenv´erifiantAB=BA: i. D

´evelopper(A+B)2:

ii. D

´evelopper(A+B)3:

9. Les formulessuivantessont-ellesvalidespourA,BetCtroismatricescarr´eesquelconques de taillen? (a)A3+A2B+A=A(A2+AB+In) (b)A2B2B2A+AB= (A22BA+A)B (c)AB2+A3B2+AB=AB(B+A2B+In) (d)A3B2AB2+AB=A(A22B+In)B 10.

Soit A=0

@1 0 1 0 1 0

0 0 11

A (a)

Montrer par r

´ecurrence que pour tout entiern1,An=0

@1 0n 0 1 0

0 0 11

A (b)

Calc ulerSn=Pn

k=1Aken fonction den: 11.

Soit A=1 1 1

0 1 1 etfAl"application associ´ee`aAd´efinie par : f A:( R3!R2

X!fA(X) =AX

(a)

Calculer fA(X)pourX=0

@x 1 x 2 x 31
A (b)

Soit Y=y1

y 2

2R2, d´eterminerf1

A(fYg) =fX2R3;fA(X) =Yg:

(c)fAest-elle injective? surjective? bijective?

12.Exercice corrig´e en amphi : Application du calcul matriciel aux relations binaires

Rappel : SoitR= (E;F;GR)une relation binaire de l"ensembleE=fx1;:::;xngdans l"ensembleF=fy1;:::;ypg: On d

´efinitR, la matrice d"adjacence deR:

8i2 f1;:::;ng;8j2 f1;:::;pgrij=(

1sixiRyj

0sinon

3 (a)Soit Rune relation binaire surE: i.

Quelle est la propri

´et´e deRqui caract´erise le fait que la relationRest r

´eflexive?

sym

´etrique?

antisym

´etrique?

ii. D ´emontrer queRest transitive si et seulement si

8(i;j)2 f1;:::;ng2;(R2)ij= 1 =)rij= 1

iii. Exprimer la matrice d"adjacence de R1en fonction deR: (b) Soit R= (E;F;GR)etRsa matrice d"adjacence,S= (F;H;GS)etSsa matrice d"adjacence. Calculer la matrice d"adjacence deS Ren fonction deRet deS:

13.Exercice suppl´ementaire

SoitA=1 2 3etB=0

@0 2 1 0 0 11 A (a)

Calculer ABpuist(AB):

(b)

Calculer

tBtAet v´erifier quet(AB) =tBtA:

14.Exercice suppl´ementaire

SoientA=2 4

36
etB=2 2 1 1 (a) V

´erifiez queAB= 0bien queA6= 0etB6= 0:

(b)

Calculer BAet v´erifier queAB6=BA:

15.Exercice suppl´ementaire

SoitA=0

@1 2 0 1 1 11 A etfAl"application associ´ee`aAd´efinie par : f A:( R2!R3

X!fA(X) =AX

(a)

Calculer fA(X)pourX=x1

x 2 (b)

Soit Y=0

@1 1 11 A , d´eterminerf1

A(fYg) =fX2R2;fA(X) =Yg:

(c)

Justifier que fAn"est pas bijective.

4

2 Matrices inversibles

1.Exercice corrig´e en amphi

SoitA=a b

c d 2 M 2 D ´emontrer que siadbc6= 0, alorsAest inversible etA1=1adbc db c a

2.Exercice corrig´e en amphi

SoitA2 Mnn:Montrer par un raisonnement par l"absurde que s"il existeX2 Mn;1avecquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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