Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 11. Soit N une matrice nilpotente il existe q ? N tel que Nq = 0. Montrer que la matrice I ?N est inversible et exprimer son inverse en fonction
Feuille dexercices no 15 : corrigés
On vient de calculer les puissances d'une matrice en la diagonalisant. Exercice 3. 1. La matrice : B =.. 0 1 0. 0 0 1. 0 0 0.. est nilpotente
Épreuve de Mathématiques 5 Exercice 1 (Centrale TSI 2011
NP et les matrices M et N sont semblables donc : MatB (f) est également nilpotente et de même indice de nilpotence que MatB(f). 1. Source : corrigé (très
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1
87 EXERCICES MATHÉMATIQUES
dx. Exercice 71. Si N est une matrice nilpotente et A une matrice de même ordre que N qui commute avec A montrer
Corrigé du DM n 8
Corrigé du DM n. ?. 8. Exercice [Ecricome 2011]. On dit qu'une matrice A carrée d'ordre n est une matrice nilpotente s'il existe un entier naturel k non
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
I. Les matrices et abrégé d'algèbre linéaire Exercice 1. ... Toute matrice nulle est nilpotente d'indice de nilpotence 1. Les ma- trices suivantes.
Chapitre 8 — alg`ebre linéaire — exercices corrigés page 1
Soit A une matrice triangulaire supérieure stricte de Mn(K). Montrer que An est la matrice nulle. b. (***) Réciproquement montrer que toute matrice nilpotente
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ?k ? [[1n]]
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
sable et d'une matrice nilpotente. affirme que ? est diagonalisable N est nilpotente et ?N = N? (c'est un bon exercice de le vérifier à la main).
1 87 EXERCICES DE MATHÉMATIQUES posés à l'oral des concours 1994 et 1995 des écoles d'ingénieurs de Yamoussoukro. Exercice 1. Soit E
un espace vectoriel sur un corps KK=RouC de dimension 3 et f un endomorphisme de E . Prouver que •si f!0 et f 2 =0 alors la matrice de f (dans une base quelconque) est semblable à 000 000 100. •si f 2 !0 et f 3 =0 alors la matrice de f (dans une base quelconque) est semblable à 000 100
010 . Exercice 2. Soit E un espace vectoriel sur un corps KK=RouC de dimension 3 et f un endomorphisme de E . On suppose que f 2 !0 , f 3 =0 . On considère un endomorphisme g de E tel que fog=gof . Montrer que g est une combinaison linéaire de id,f,f 2
2 Exercice 3. Soit E
un espace vectoriel sur un corps KK=RouC . a) Soit deux endomorphismes f et g de E tels que fog!gof=id E (1). Montrer que, pour tout entier n≥1, f n og!gof n =nf n!1 . b) Si E est de dimension finie, montrer qu'il est impossible de trouver f et g vérifiant (1). c) Sur KX , on définit f et g par: f:Pa! P ,g:PaXP . Calculer fog!gofExercice 4. Soit E
un espace vectoriel sur un corps KK=RouC de dimension p . On considère (n+1) formes linéaires f 1 ,f 2 ,...,f n ,f sur E . Montrer que kerf i i=1 n I !kerf"#$ 1 n %K n ,f=$ i f i i=1 n . Si n=p, donner une condition nécessaire et suffisante pour que f 1 ,f 2 ,...,f n soit une base de E . Exercice 5. On considère une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels S=p ij et on suppose que, pour tout i,j!1,...,n , p ij !0 et que, pour tout i!1,...,n , p ij =1 j=1 n . a) Montrer que 1 est valeur propre de S . b) Montrer que si !"1 est valeur propre de S , alors !<1 . Exercice 6. On considère la fraction rationnelle F= X 2 +pX+q X 2 !1 2 . Déterminer p et qpour que les résidus en 1 et -1 soient nuls. Rappel: : Dans une décomposition en éléments simples, on appelle résidu relatif au pole a
le coefficient de 1 X!a . Exercice 7. Étudier la loi ! définie sur R par: !a,b "R 2 ,a#b=a1+b 2 +b1+a 23 Exercice 8. Soit T
la loi définie sur I=!1,1 par !x,y "I 2 ,xTy= x+y 1+xy . Montrer que I,T est un groupe abélien. Exercice 9. Montrer que lim n!+" 2 n sin 2 n . On définit deux suites u n et v n par u 0 =!2,v 0 =1 et pour tout entier n, u n+1 =2+u n ,v n+1 =2v n . Montrer que lim n!+" v n 2#u n . En déduire une méthode de calcul de ! . Exercice 10. On considère deux réels a et b tels que b>a>0 . Étudier les suites u n et v n définies par v 0 =a , u 0 =b et, pour tout entier n, u n+1 u n +v n 2 ,v n+1 =u n v n . Exercice 11. Montrer que I n sin2n+1 x sinx 0 !2 dx ne dépend pas de l'entier n. Calculer I n . Calculer ensuite lim n!+" 1 x 1 sinx 0 )2 sin2n+1 xdx . En déduire la valeur (après en avoir montré l'existence) de sinx x 0 dx . Exercice 12. Pour a!0,1 et D=0, 2 &0,a , calculer dxdy ycosx+1 D . En déduire ln1+acost cost 0 !2 dt . Exercice 13. On considère la fonction f:R 2 !Rquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] matrice spe maths es
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