Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 11. Soit N une matrice nilpotente il existe q ? N tel que Nq = 0. Montrer que la matrice I ?N est inversible et exprimer son inverse en fonction
Feuille dexercices no 15 : corrigés
On vient de calculer les puissances d'une matrice en la diagonalisant. Exercice 3. 1. La matrice : B =.. 0 1 0. 0 0 1. 0 0 0.. est nilpotente
Épreuve de Mathématiques 5 Exercice 1 (Centrale TSI 2011
NP et les matrices M et N sont semblables donc : MatB (f) est également nilpotente et de même indice de nilpotence que MatB(f). 1. Source : corrigé (très
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1
87 EXERCICES MATHÉMATIQUES
dx. Exercice 71. Si N est une matrice nilpotente et A une matrice de même ordre que N qui commute avec A montrer
Corrigé du DM n 8
Corrigé du DM n. ?. 8. Exercice [Ecricome 2011]. On dit qu'une matrice A carrée d'ordre n est une matrice nilpotente s'il existe un entier naturel k non
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
I. Les matrices et abrégé d'algèbre linéaire Exercice 1. ... Toute matrice nulle est nilpotente d'indice de nilpotence 1. Les ma- trices suivantes.
Chapitre 8 — alg`ebre linéaire — exercices corrigés page 1
Soit A une matrice triangulaire supérieure stricte de Mn(K). Montrer que An est la matrice nulle. b. (***) Réciproquement montrer que toute matrice nilpotente
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ?k ? [[1n]]
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
sable et d'une matrice nilpotente. affirme que ? est diagonalisable N est nilpotente et ?N = N? (c'est un bon exercice de le vérifier à la main).
Réduction
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1**SoitA=0
@1 2 2 2 1 22 2 11
A . Pournentier relatif donné, calculerAnpar trois méthodes différentes. @3 0 0 8 4 05 0 11
A @3 1 0 41 04 821 A 1.
Vérifier que An"est pas diagonalisable.
2.Déterminer K er(AI)2.
3. Montrer que Aest semblable à une matrice de la forme0 @a0 0 0b c 0 0b1 A 4.Calculer Anpournentier naturel donné.
Vérifier quefest un endomorphisme deR2n[X]puis déterminer les valeurs et vecteurs propres def.fest-il
diagonalisable ? etB=X4X.Vérifier quefest un endomorphisme deEpuis déterminer Kerf, Imfet les valeurs et vecteurs propres def.
Exercice 6***SoitAune matrice rectangulaire de format(p;q)etBune matrice de format(q;p). Comparer les polynômes
caractéristiques deABetBA. et quevest nilpotent. Montrer que det(u+v) =detu. Montrer queAest nilpotente si et seulement si8k2[[1;n]], Tr(Ak) =0. quefest nilpotent. Soientuetvdeux endomorphismes deEtels que9(a;b)2C2=uvvu=au+bv. Montrer queuetvont un vecteur propre en commun. 1.Montrer que (E;)est un groupe
2. Soit Aun élément deEtel que9p2N=Ap=I2. Montrer queA12=I2. A ACalculer detM. Déterminer les éléments propres deMpuis montrer queMest diagonalisable si et seulement si
Aest diagonalisable.
BBBB@0b:::b
a .........b a:::a01 C CCCA. 2Montrer que les images dans le plan complexe des valeurs propres deAsont cocycliques. (Indication : pour
calculercA, considérerf(x) =X+x b+x:::b+x
a+x......... .........b+x a+x:::a+xX+x 1.Montrer que 1 est v aleurpropre de A.
2.Soit lune valeur propre deA.
(a)Montrer que jlj61.
(b) Montrer qu"il e xisteun réel wde[0;1]tel quejlwj61w. Conséquence géométrique ? BBBB@0:::0 1
.........0 01 0:::01
C CCCAMontrer queAest diagonalisable.
BBBBBBB@0 1 0:::0
......0 0 ...11 0::: :::01
CCCCCCCA(de formatn>3). DiagonaliserJn.
2.En déduire la v aleurde
a0a1:::an2an1
a n1a0a1an2............ a2...a0a1
a1a2:::an1a0
31.Calculer det (Ps)pour touts2Sn.
2. (a)Montrer que 8(s;s0)2S2n,PsPs0=Pss0.
(b) On pose G=fPs;s2Sng. Montrer que(G;)est un groupe isomorphe àSn. 3.Soit A= (ai;j)16i;j6n2Mn(C). CalculerAPs.
4.T rouverles v aleurspropres d"une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme
: toute permutation se décompose de manière unique à l"ordre près des facteurs en produit de cycles à
supports disjoints). caractéristique est scindé surK.Montrer qu"il existe un couple d"endomorphismes(d;n)et un seul tel quedest diagonalisable,nest nilpotent
netf=d+n. a b:::b b a .........b b:::b a dansC.8x2R,(j(f))(x) =1x
R x0f(t)dtsix6=0 et(j(f))(0) =f(0).
1.Montrer que jest un endomorphisme deE.
2. Etudier l"injecti vitéet la surjecti vitéde j. 3.Déterminer les éléments propres de j.
que pourk2 f1;2;3g,fk=lku+mkv. Montrer quefest diagonalisable. 4 Exercice 26**IRésoudre dansM3(C)l"équationX2=0 @0 1 0 0 0 10 0 01
A Montrer quefetgsont simultanément trigonalisables. communes si et seulement si la matricecA(B)est inversible. inversible si et seulement siPetcfsont premiers entre eux. BB@1 1 0 0
0 1a00 0 1b
0 0 0 11
C CA. Peut-on trouver deux matrices distinctes semblables parmi les quatre matrices M0;0,M0;1,M1;0etM1;1?
BBBB@1 0:::0
2 n0:::01 C CCCA. BBB@0:::0a1.........
0:::0an1
a1:::an1an1
C CCAoùa1,...,ansontnnombres complexes (n>2).Aest-elle diagonalisable? parfdans chacun des cas suivants : 5 1.A=0 @1 11 1 1 11 1 11
A 2.A=0 @2 2 1 1 3 11 2 21
A 3.A=0 @66 5 41 1076 41
A @1 37 2 614 1 371 A
Commutant de
0 @1 01 1 2 12 2 31
AEstable parf. On suppose quefest diagonalisable. Montrer que la restriction defàFest un endomorphisme
diagonalisable deF. entier pair. Correction del"exer cice1 N1ère solution.A=2JI3oùJ=0 @1 1 1 1 1 11 1 11
A . On aJ2=3Jet plus généralement8k2N,Jk=3k1J. Soitn2N. Puisque les matrices 2JetIcommutent, la formule du binôme de NEWTONpermet d"écrire A n= (2JI)n= (I)n+nå k=1 n k (2J)k(I)nk= (1)nI+ nå k=1 n k 2 k3k1(1)nk! J = (1)nI+13 nå k=1 n k 6 k(1)nk!J= (1)nI+13
((61)n(1)n)J 13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A ce qui reste vrai quandn=0.Soit de nouveaun2N.
((1)nI+13 (5n(1)n)J)((1)nI+13 (5n(1)n)J) =I+13 ((5)n1+(5)n1)J+19 (1(5)n(5)n+1)J2 =I+13 ((5)n1+(5)n1)J+39 (1(5)n(5)n+1)J=I; et donc A n=13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 AFinalement
8n2Z,An=13
0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A .2ème solution.Puisque rg(A+I) =1, dim(Ker(A+I)) =2 et1 est valeur propre deAd"ordre au moins2. La troisième valeur proprelest fournie par la trace :l11=3 et doncl=5. Par suite,cA=
(X+1)2(X5).De plus,0
@x y z1 A2E1,x+y+z=0 et doncE1=Vect(e1;e2)oùe1=0
@1 1 01 A ete2=0 @1 0 11 ADe même,
0 @x y z1 A2E1,x=y=zetE5=Vect(e3)oùe3=0
@1 1 11 AOn poseP=0
@1 1 1 1 0 1 01 11 A etD=diag(1;1;5)et on aA=PDP1.Calcul deP1. Soit(i;j;k)la base canonique deR3.
8 :e 1=ij e 2=ik e3=i+j+k,8
:j=ie1 k=ie2 e3=i+ie1+ie2,8
>:i=13 (e1+e2+e3) j=13 (2e1+e2+e3) k=13 (e12e2+e3) 7quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] matrice spe maths es
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