CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1
Partiel Corrigé
7 nov. 2015 Correction: (exercice I) 1) Le polynome caractéristique vaut ... aussi le Th du cours: la matrice est trigonalisable dans R ssi PB(x) est ...
Trigonalisation
Trigonalisation. Exercice 1 [ 00816 ] [correction]. Montrer qu'une matrice triangulaire inférieure est trigonalisable. Exercice 2 [ 00817 ] [correction].
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 4. Soit u l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est elle est trigonalisable ce qui prouve qu'elle admet un plan stable
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
laire inférieure une matrice est trigonalisable dans Mn(K) si
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 5. Soit A la matrice suivante. A = (1 1. 2 1. ) 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A.
Feuille de TD no 1 2 Pour commencer
8 déc. 2021 Exercice 1. Dire si les matrices suivantes sont diagonalisables trigonalisables. Si oui
Walanta
? Sur C toute matrice carrée est trigonalisable. Trigonalisation. Dans la pratique
Exercice 1 Exercice 2
Ces matrices sont-elles trigonalisables dans R? 4. Lorsqu'elles sont trigonalisables déterminer une base dans laquelle l'application linéaire est triangulaire
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
Mini-exercices. 1. La matrice A = 28 ?27. 12 ?8 est-elle trigonalisable sur ? Si oui trouver P telle que P?1AP soit triangulaire supérieure.
Partiel
Corrigé
L2 - 2015-2016 - Université Denis-Diderot (Paris 7) Algèbre et Analyse pour la PhysiqueSamedi 7 Novembre 2015Durée: 2h30Aucun document n"est autorisé - ni appareil électronique. Enoncez précisément les résultats
du cours utilisés. On pourra traiter les questions indépendamment les unes des autres.Exercice I.
On considère les matricesA:=1 1
0 1 etB:=0 1 1 01) La matriceAest-elle diagonalisable ?
2) La matriceBest-elle:
i) diagonalisable dansR? ii) trigonalisable dansR? iii) diagonalisable dansC? (Justifier les réponses). Correction:(exercice I) 1) Le polynome caractéristique vautPA(x) = (x1)2dont1seule valeur propre deA. Le sous-espace propre associé estE1:=Ker(AI) =fx y ;(AI)x y = 0g= :::=fx 0 ;x2Rg=V ect1 0 (cas réel), doncdim(E1) = 1Or la multiplicité de la valeur propre1est(1) = 2, donc par Th du coursAn"est pas diagonalisable. Dans le cas deCle raisonnement est
le même.2-i) Le calcul donnnePB(x) =x2+ 1 = (xi)(x+i). Les valeurs propres,i, ne sont pas dans
Rdonc la matriceBn"est pas diagonalisable dansR.
2-ii) La matrice ne peut pas non plus etre trigonalisable dansRpour la meme raison. On rappelle
aussi le Th du cours: la matrice est trigonalisable dansRssiPB(x)est scindé dansR(ce qui n"est pas
le cas ici).2-iii) On a deux valeurs propres distinctesien dimension2, d"après un résultat du cours cela
implique que la matrice est diagonalisable.Exercice II.
Soituune application linéaire deR3dansR3, dont la représentation matricielle dans la base canonique est donnée par la matriceAsuivante: A=0 @32 2 21 222 31
A 1
1) Calculer le polynôme caractéristique deA.
2) Trouver les valeurs propres deA. (On doit trouver deux valeurs propres distinctes.)
3) Pour chaque valeur propre, déterminer le sous-espace propre correspondant. On donnera
une base de chaque sous-espace propre.4) Montrer que la matriceAest diagonalisable, et proposer une baseBde vecteurs propres.
CalculerD=MatB(u), la représentation matricielle deudans la baseB. Donner la matrice depassage, notéeP, de la base canonique à la baseBtrouvée à la question précédente, et donner
une relation entreA,PetD.Correction:(Exercice II.) 1)
PA(x) =
3x2 2 21x222 3x
L
3 L3L2=
3x2 2 21x201 +x1x
(1) = (1x) 3x2 2 21x201 1 C
2 C2+C3= (1x)
3x0 2 2 1x2 0 0 1 (2) = (1x)3x0 2 1x = (1x)2(3x)(3)2) On a donc= 1valeur propre double, et= 3valeur propre simple.
3) D"une part,
E1=Ker(AI) =0
@x y z1 A ;0 @22 2 22 222 21
A0 @x y z1 A = 0 (4) 0 @x y z1 A ;2x2y+ 2z= 0(5) 0 @x x+z z1 A ; x;zdansR(6) x0 @1 1 01 A +z0 @0 1 11 A ; x;zdansR(7) =V ect0 @1 1 01 A ;0 @0 1 11 A :(8)
Les vecteurv1=0
@1 1 01 A etv2=0 @0 1 11 A étant clairement linéairement indépendant car non colinéaires, 2 on a bien ainsi une base deE1. D"autre part, en raisonnant par équivalences, E3=Ker(A3I) =0
@x y z1 A ;0 @02 2 24 222 01
A0 @x y z1 A = 0 (9) 0 @x y z1 A ;y+z= 0; x2y+z= 0; xy= 0(10) 0 @x y z1 A ; x=y=z=V ect0 @1 1 11 A ;(11) etv3=0 @1 1 11 A est une base deE3.
4) On a doncdim(E1) = 2 =(1), etdim(E3) = 1 =(3). Par th du cours, la dimension de
chaque sous-espace propre étant égale à l"ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante, la
matrice est diagonalisable. Une base de vecteur propre est par exempleB= (v1;v2;v3). La matrice de l"opérateurudans cette base est MatB(u) =0
@1 0 0 0 1 00 0 31
A La matrice de passagePest par définitionP= [v1;v2;v3] =0 @1 0 1 1 1 10 1 11
A et on aA=PDP1.Exercice III.
Soituune application linéaire deR3dansR3, telle que sa représentation matricielle (dans la base canonique) soit donnée par la matrice suivante: B=0 @3 2 6 2 1 4 2 031 A1) Calculer le polynome caractéristique deB, en déduire les valeurs propres deB.
2) Montrer queuest trigonalisable dansR.
3) Déterminer les sous espaces propres deu. En déduire queun"est pas diagonalisable.
Dans la suite on cherche à calculerBnpourn2N.
4-a.) SoitP(x) = (x1)2(x+ 1). Montrer queP(B) = 0.
4-b.) Pour toutn2N, on effectue la division Euclidienne dexnparP(x). Le reste étant un
polynome de degré2, il existe des coefficients réelsan,bn,cnet un polynomeQ(x)tels que x n=P(x)Q(x) +anx2+bnx+cn;8x2R:(12) 3Montrer le système d"équations
(1)n=anbn+cn(13a)1 =an+bn+cn(13b)
n= 2an+bn(13c)4-c.) En déduirean;bnetcnen fonction den.
4-d.) En déduire une expression deBnen fonction den.
Correction:(Exercice III.) 1) On a
PB(x) =
3x2 6 2 1x4 2 03xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] matrice exercice correction
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