[PDF] Sans titre 23 févr. 2013 vecteur

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Chapitre4.Valeurspropres, vecte urspropres.Diagonalis ation.49 Chapitre4.Valeursprop res,ve cteurspropres.Diagon alisation. Etantdonn´ee unematricecarr´eeA,oncherche`alamettresousuneformesemblable(au sensduch ap.1, (4.4))particuli` erementsim ple,`asavoirunefo rmediagonale.Autre ment ditonche rcheunebas edanslaquelleseuls les ´el´ement sdiagonauxdelamat riceson t nonnuls. Onverraquece lan'est pastoujourspossibl e,mais quelesv aleurssus ceptibles ment. Lesim plicationsphysiquesdecetteop´erationde "diagonalisation",dansdesprobl`e mes impliquantdesoscillateursm´ ecaniques ou´electriquescoupl´es,sontimportanteset seront discut´eesensuite.Maisilexist ebiend'autresprobl`eme sphysiqueso`ucesconceptssont importants.Signalonsainsiqu'enPhys iqueQuantique,o`ulesquan tit´esobservablessont

repr´esent´eespardesop´erateurslin´eairesa gissantsu rl'espacevectorieldes´etats(oudes

"fonctionsd'onde"),lesvaleu rspropresdecesop´erateu rsconstituentlesvaleurssuscepti- blesd'ˆetre observ´eesdansuneexp´e rience...

1.Ve cteursetvaleurspropres

1.1.D´efi nitionsdebase

Consid´eronsunematricecarr´eediag onalen!n,c'est-`a-diredelaforme a ij i ij cequ 'on´ecriraencoreA=diag(! 1 n Si#e i ,i=1,···,nd´esignentlesvecteursdela baseo`uAacetteforme,onvoitque Ae i i e i o`ue i estla matrice colonnerepr´esentant#e i ,soit(e i j ij Celanousm` ene`alad´efin itionsuivante, pourun ematri ceAcarr´eequelconque D´efinition:SoitAunema tricecarr´ee,soitXunve cteur(matricecolonne) nonnultel que

AX=!X,(1.1)

J.-B.Z.23F´ evrier2013

50M´ethodesmath´ematiquesp ourphysiciens2.LP207

avec!unnom brer´eel(ouco mplexe,voirplusbas ).OnditqueXestvecteurpropredeA pourlavaleurpropre!. Onvi entdevoirquesil amatri ceAestdi agonale,alorschaquevecteurdeba seestun vecteurproprepourla valeurpropredonn´ eeparleterme correspondantdeladiagonale deA. R´eciproquement,supposonsquel'onaittrouv´e nvecteurspropreslin´ eairementind´ependants X i (unehypoth `esepasinnocente,commeonvale voir).Alor scesX i peuventˆetrechoisis commenouvelleb asedel'espacevectoriel,etdan scettebase,Aestd iagonale.Unetelle matriceestditediagonalisable.Autrementdit,silamatriceAestdi agonalisable,ilexiste unema triceVtellequeV !1

AVsoitunemat ricediagon aledevaleurspropres,

V !1

AV=!=diag(!

1 2 n 1

0···0

0! 2

···0

00···!

n "#A=V!V !1 (1.2) Maistoutema tricen'estpasdia gonalisable.Ainsicommeonvale voirpl usbas,lamatr ice "triangulairesup´erieure" 1a 01 n'estpasdiagonalisable.

1.2.Valeu rspropresd'unematricesi nguli`ere

Supposonsquelamatric eAestsin guli`ere.CelasignifiequesesnvecteurscolonnesA j ne sontpasind ´ependants( cfchap.1,Th´eor`emedu§4.6),doncqu' ilexistennombresnon tousnulsx j telsque j x j A j =0,soitencore $i=1,···,n j a ij x j =0.(1.3)

Celaexprim equelevecteurXdeco mposantesx

j estvect eurpropredeApourlavale ur proprenulle.Lar ´eciproqueest´ev idente: lacondition(1.3)expr imelad´ependancelin´ea ire descolo nnesdeA,donclefaitqu'elleestsinguli`ere. Proposition1:Unematri ceestsinguli`ere(no ninversi ble)ssielleadmetlava leurpropre 0.

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Chapitre4.Valeurspropres, vecte urspropres.Diagonalis ation.51

1.3.Sous- espacepropre.

SoientXetYdeuxvect eurspropresdeAdemˆ emevaleurpropre:AX=!X,AY=!Y. Iles tclairque toutecombinais onlin´eai redeXetYestau ssivecteurprop repourlavaleu r propre!:A($X+%Y)=!($X+%Y).Le svecteursp ropresdeApouruneva leurpropr e donn´ee!formentdoncunsous-e spacevector iel,ap pel´eespacepropredel avaleurpropre Proposition2:Deuxvecteu rsproprespourdeuxvaleur spropres!%=µsont n´ecessairementind´ependants. Preuve.SoientXunv ecteurproprepourlavale urpropre!etYunve cteurpropre deuxnombre saetbnontousde uxnuls:suppos onsparex emplebnonnul.A ppliquant A`ac ett ere lat ion ,on aur ait 0=A(aX+bY)=a!X+bµY=0,soituneautrerelation lin´eaireentreXetY.Encombinantcesdeuxrelations(parexemple,!foislaprem i`ere moinslasecond e),ona uraitb(!&µ)Y=0,avecb%=0etY%=0,cequiimplique!=µ contrairement`al'hypoth`ese.Laproposi tionest d´emontr´ee. Plusg´en´e ralementond´emontre(parr´ecurrence)queqvecteursproprescorresp ondant`aq valeurspropresdisti nctessontn´ecessaire mentlin´eairementind´epen dants. Corollaire1:Siunem atr icecarr´een!nposs`edenvaleurspropresdisti nctes,cette matriceestdiagona lisable. Ene etelle poss`edealorsnvecteurspropresind´epe ndants(Prop.2),onpeu tleschoisir commebase,etlama triceestdonc di agonal isable. Proposition3:Unematri ceestdiagonalisabl essilaso mmedesdimensionsdesesespaces propresest´egale` an.

1.4.Polyn ˆomecaract´eristique

Soit!uneva leurpropredeA.Nousr´ecrivonslacondition(1.1)souslaforme (A&!II)X=0.(1.4) Commeonl'avu` alapro position1 ci-de ssus,l 'exist enced'unve cteurXsatisfaisant(1.4) estla conditi onn´ecessaireetsu santepourque A&!IIso itsinguli`er e.Maisserappelant leTh ´eor`emefondamentalduchapitre2 (§3),cela est´equivale nt`adet(A&!II)=0.

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52M´ethodesmath´ematiquesp ourphysiciens2.LP207

Pourunemat ricecarr´ een!n,l'expression

P(z)=det(A&zII)(1.5)

estun polynˆ omedelavariablez,dedegr´enenr aisondelamultili n´earit ´edud´ eterminant.

D´efinition:Cepo lynˆomeestappel´epolynˆomecaract´eristiqu edeA. Onvi entdevoirquetou tevale urpropreest uneracine dupolynˆomecaract´e ristique. R´eciproquement(grˆaceaufaitquetoutesles propositionsimpliqu´eessontdesconditions n´ecessairesetsu santes),touteracinede P(z)estunevaleurpropredeA. Th´eor`eme1:Lesva leurspropressontlesra cinesdupolynˆomecara ct´eristique. Selonquel'ontr availl esurR,ensembledesnombresr´eels,ousurC,leschosessont unpe udi ´erentes.SurClepo lynˆomecaract´eristiqueaex actementnracines,distinctes ounon ("th´e or`emefondamentaldel'alg`ebre").Onp eutdonc´e crire

P(z)=det(A&zII)=

n i=1 i &z)(1.6) aveclecoe cientdez n

´ega l`a (&1)

n (pourquoi?).Parcontreilpeu tarriv erquele polynˆomecaract´eristique n'aitpasderacinesurR,auquelcaslamatriceAn'apasde valeurproprer´ee lle,ouqu'iln'aitq uen Exemples

1.Soi tA=

21
1&1 P(z)= 2&z1 1&1&z =(2&z)(&1&z)&1=z 2 &z&3 etad euxr acinesdisti nctes 1 2 (1±

13).Lamat ricees tdoncdiagonalisable.Onv avoir

aupar agraphesuivantcommentd´ eterminersesvecte urspropres.

2.Soi tA=

11 01 .Sonpolynˆomecaract´eristiqueest 1&z1 01&z =(1&z) 2 etl aseuleva leurpropre possibleest!=1,laracine(double)deP(z).O nmontre raplus basquela matric en'estpasdiagonalisable,n'ayantqu'unseulvecteurproprei nd´ependant

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Chapitre4.Valeurspropres, vecte urspropres.Diagonalis ation.53 pourlaval eurpro pre1.Cettesituatio ndoitˆetrecompar´ eeaveccelledelamatriceA= II 2 10 01 puisqued´ej`adi agonale!

3.Soi tA=

cos$&sin$ sin$cos$ lam atriced'unerotationd'a ngle$danslepl an.Le polynˆomecaract´eristiqu esecalculeais´ement

P(z)=z

2 &2zcos$+1 dontlesrac inessontco mplexesz 1,2 tinctes,elleestdiago nalisable`a conditiond e"passerdansle scomplexes ";sesvecteurs propressontalorse ux-mˆemes`ac omposantescomple xes,commeo nverraci -dessous. Sur 'Traceetd´eter minant entermesdesvaleurspropres Onco nstatedanslesexemplespr ´ec´edentse tond´emon treais´ementeng´en´eralqu e Proposition4:Lasom medesracinesdu polynˆ omecaract´eristiqu ed'une matriceAest ´ega le` asa tra ce, leurp rod uit `as ond ´ete rmi nan t n i=1 i =trAet n i=1 i =detA.(1.7) Ene et,enfaisan tz=0dans(1.6),onaP(0)=det A= i i .Lapremi`erepropri´et´e d´ecouledelamultilin´ea rit´e dud´ete rminant:iln'estpasdi #ciled'identi fierletermeen z n!1 dansled ´evelo ppementdud´eterminantcomme(&1) n!1 i a ii etda nsl'expression i i &z)comme(&1) n!1 i i Noterquepo urdesmatri ces2!2,on peu tdonc´ecrirel '´equationc aract´eristiquesous laf orme

P(z)=z

2 &(trA)z+detA=0,(1.8) dontlescoe cientssecalculenta is´eme ntauvudeA. Noterenfinqu edesmatricess emblable sontmˆeme polynˆomecaract´eristique,puisque siB=W !1

AW,alorsP

B (z)=det(B&zII)=de t(W !1 (A&zII)W)=det(A&zII)=P A (z).

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54M´ethodesmath´ematiquesp ourphysiciens2.LP207

2.D iagonalisationd'unematrice

2.1.D´et erminationdesvecteurspropres

Supposonsqu'onconnais seunevaleurpropre !dela matric eA,soitparrecherchedes racinesdesonpolynˆo mecaract ´eristiqu e,soitparuneautrem´ ethode.Quepeut-ondire alorsdel'es paceprop repourcettevaleurpropre ?UnvecteurpropreXpourlaval eur propre!satisfait (A&!II)X=0. Ones tramen´e` aunsyst`emelin´eaire homog` enedut ype´etudi´eauchapit re3,don ton cherchelessolutio nsXnontriv iales(nonnulle s),puisqu'unvecteurprop reXestpa r d´efinitionnonnul.Onvadoncs'i nt´eresser aunoyaudeA&!IIe tycher che runensemble maximaldevecteursi nd´epe ndants,doncunebasedu sous-espacepropredev aleurpropre!. Noterquece rtainesval eursproprespouvantˆetrec omplexes,on peutˆetr eamen´e`a rechercherlesvecteurspropres complexesc orrespondants,etdonc`a´etendreladiscussion ducha pitre3aucascomplexe ,ce quinepr´e senteaucune di cult´enouvelle.

2.2.Diagon alisation.Changementdebase.

Supposonsmaintenant qu'onatrouv´envecteurspropresind´epe ndantsX i dela matri ce

A.FormonslamatriceVdontlesX

i sontlesvecteur s-colonn es.Ona

AV=A(X

1 X 2

···X

n ./01 V 1 X 1 2 X 2 n X n )=(X 1 X 2

···X

n 1

0···0

0! 2

···0

.0 0

0···0!

n doncAV=V!o`u!=diag(! 1 2 n )estlamatricediagonaledesvaleurspropres, cequ 'onpeutencorer´ecrir e

AV=V!"#A=V!V

!1 "#!=V !1 AV. Lama triceVestdo nclamatricequ idiago naliselamatriceA.

Onvi entdoncded´emon trerlapropo sition

Proposition5:Sila matric eAadmetnvecteurspropresind´epe ndantsX i ,elleest diagonalisable.LamatriceVdedia gonalisation,tellequeA=V!V !1 ,estlamatrice dontlesvec teurs-colo nnessontlesvecteurspropresdeA.

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Chapitre4.Valeurspropres, vecte urspropres.Diagonalis ation.55

2.3.Exe mples

Reprenonslesexemple spr´ec´eden ts:

1erexem ple.A=

21
1&1 ,valeurspropres! 1 2 (1±

13).Pour!

,on´ecrit A&! II= 3 2 1 2 131
1& 3 2 1 2 13 quiestb iensingul i`ere(d´ete rminantnul)etdont leno yauestengendr´e parlesX= telsque(A&!

II)X=0,soit

1 2 (3&

13)(+)=0.

Onpr endparexemple(=1et)=&

1 2 (3&

13).Unve cteurp ropredeApourlaval eur

propre! estdo ncX 1 1 2 (3& 13) (outoutv ecteurquil uiestproportionnel ).

Unve cteurproprepourlava leurpropre!

s'obtienticisimplementencha ngeantp artout lesig nede

13dan sl'expre ssiondeX

(lev´e rifier).Finalement X 1 1 2 (3& 13) X 1 1 2 (3+ 13) Cesdeux vecteursprop respeuventˆetrechoisisc ommenouvelleba se,cequidiagona lisela matrice A=V 2 1+ 13 2 0 0 1! 13 2 3 V !1 ,V= 11 !3+ 13 2 !3! 13 2 ,V !1 1 13 3+ 13 2 1 !3+ 13 2 &1 V !1 AV= 0 0!

2`emeexemple. A=

11 01 ,valeurpropre!=1double.Lenoyaude(A&II)= 01 00 esteng endr´eparlesvecteursX= proprededimension 1,e ngendr´eparlevecteur 1 0 .LamatriceAn'aqu'uns eulvecteurquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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