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CHAPITRE

6Valeurs propres et vecteurs propres

Sommaire1 Pr

´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

2 Valeurs propres et espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3 Calcul des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4 Le cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 L"objectif de ce chapitre est d"introduire les notions de valeur propre et de vecteur propre

d"une matrice et de pr ´esenter des m´ethodes permettant de d´eterminer ces valeurs propres, no- tamment via le calcul avec le polyn

ˆome caract´eristique de la matrice.

x1 Pr´eliminaires Nous avons vu dans le chapitre 5 que la notion de valeur propre d"une matrice intervient dans le d ´ecouplage d"un syst`eme d"´equation. En particulier, les vecteurs propres interviennent pour d ´ecrire le changement de variable permettant d"obtenir un syst`eme d´ecoupl´e. Nous avons illustr

´e la probl´ematique du d´ecouplage avec les syst`emes d"´equations diff´erentielles lin´eaires

et les syst `emes d"´equations r´ecurrentes. Avant de d´efinir formellement dans la section suivante les notions de valeur propre et de vecteur propre d"une matrice, nous consid

´erons un nouvel

exemple d"illustration avec le probl `eme de migration de population suivant.

6.1.1. Migration de population.-On´etudie la r´epartition de la population entre deux zones

g

´eographiques d"un mˆeme pays, disons entre une r´egion nord et une r´egion sud. Chaque ann´ee,

un mouvement de population entre ces deux zones s"op `ere de la fac¸on suivante : -80%de la population des r´egions du nord part vivre dans les r´egions du sud, -70%de la population des r´egions du sud rejoint les r´egions nords. On suppose que la population totale du pays reste constante d"une ann

´ee`a l"autre, ainsi20%

des habitants des r ´egions du nords restent dans le nord et30%des habitants des r´egions du sud restent dans le sud. Le mouvement de population est sch

´ematis´e par la figure 6.1

1

2CHAPITRE 6. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRESFIGURE6.1 - Mouvement de population entre deux zones g´eographiques

Etant donn´e une r´epartition initiale, l"ann´eek= 0, de la population entre les deux zones,

quelle sera la r ´epartition de population lak-i`eme ann´ee? Est-ce qu"au bout d"un certain temps, toute la population va se retrouver en zone sud, ou bien le nombre d"habitants va-t-il se stabiliser dans chaque zone?

6.1.2. Mod

´elisation du probl`eme.-Notonsnkle nombre d"habitants des r´egions du nord la

k-i`eme ann´ee etskle nombre d"habitants des r´egions du sud lak-i`eme ann´ee. L"´evolution des

deux populations est r ´egie par le syst`eme d"´equations coupl´ees suivantn k+1= 0:2nk+ 0:7sk s k+1= 0:8nk+ 0:3sk qui s"

´ecrit matriciellement sous la forme :nk+1

s k+1 =Ank s k avec

A=0:2 0:7

0:8 0:3

et o `u le vecteurp(k) =nk s k exprime la r

´epartition de la population au nord et au sud

l"ann ´eek. Par exemple, si l"ann´eek= 0, on a un million d"habitants au nord et dix mille habitants au sud,i.e.,p(0) =106 10 4 , alors l"ann

´ee suivante,`ak= 1, il y aura

p(1) =n1 s 1 =A106 10 4

207000

803000

Pour conna

ˆıtre la population dans chacune des r´egions lak-i`eme ann´ee, on peut appliquer la formule suivante, obtenue par r

´ecurrence sur le nombre d"ann´eesk:nk

s k =Akn0 s 0 Voici les valeurs du vecteurp(k)pour quelques valeurs dek: p(1) =207000

803000

;p(2) =603500

406500

;p(3) =405250

604750

p(4) =504375

505625

;p(5) =454812:5

555187:5

;p(6) =479593:75

530406:25

;(6.1) p(7) =467203:12

542796:87

;p(8) =473398:43

536601:56

;p(30) =471333:33

538666:66

CHAPITRE 6. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES3FIGURE6.2 -´Evolution de la population entre le nord et le sud les 12 premi`eres ann´ees

Nous allons montrer que le calcul des puissancesk-i`eme successives de la matriceApeut se faire `a l"aide d"un simple calcul de valeurs propres de la matriceA. Cette approche permet d"

´eviter les multiplications de la matriceApar elle-mˆeme, cette op´eration´etant coˆuteuse en

nombre d"op ´erations. Cette approche va nous permettre aussi de mieux comprendre l"´evolution du syst `eme, ici de l"´evolution de la population dans chaque zone g´eographique, en fonction du vecteur de r

´epartition initialp(0).

6.1.3. Calcul des valeurs propres.-Nous allons donner dans ce chapitre une m´ethode de

calcul des valeurs propres pour une matrice : les valeurs propres de la matriceAsont les solu- tionsde l"´equation suivante : det(A12) = 0: Soit

0:20:7

0:8 0:3

=20:50:5 = (1)(+ 0:5) = 0: La matriceAposs`ede ainsi deux valeurs propres,= 1et=0:5, qui sont les racines du polyn

ˆome20:50:5.

Siest valeur propre, commedet(A12) = 0, la matriceA12admet un noyau non trivial. Autrement dit, il existe des vecteursxsolutions de l"´equation suivante Ax=x:

Ces vecteurs sont dans la m

ˆeme direction queAx, on les appellesvecteurs propresassoci´es`a

la valeur propre. La valeur propre indique si les vecteurs propres sont laiss´es inchang´es, s"ils

sont

´etir´es, r´eduits ou encore invers´es. Dans notre exemple, les vecteurs propres associ´es`a la

valeur propre= 1reste inchang´es, ils v´erifientAx=x. Ceux associ´es`a la valeur propre =0:5sont r´eduits et invers´es :Ax=0:5x.

6.1.4. Les sous-espaces propres.-Lorsque l"on calcule les puissances de la matriceA, les

valeurs propres sont ´elev´ees`a la puissance, alors que les vecteurs propres restent inchang´es. En effet, pour tout vecteur proprexassoci´e`a la valeur propre0:5, on a A

2x=A(Ax) =0:5Ax= (0:5)2x;

ainsi, pour tout entierk, A kx= (0:5)kx:

4CHAPITRE 6. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES

Pour un vecteur proprexassoci´e`a la valeur propre1, on aAkx=x, pour tout entierk.

Par suite, en d

´ecomposant les vecteurs dans une base de vecteurs propres, on pourra alors calculer les puissances deAsimplement en calculant les puissances des valeurs propres.

L"ensemble des vecteurs propres associ

´es`a la valeur propre0:5est d´efini par

E

0:5=fx2R2jAx=0:5xg:

DoncE0:5est form´e des vecteursx=x1

x 2 dont les composantes satisfont le syst `eme d"

´equations suivant :0:5x1= 0:2x1+ 0:7x2

0:5x2= 0:8x1+ 0:3x2

Ainsi,E0:5est l"espace vectoriel de dimension1engendr´e par le vecteur1 1 . De la m

ˆeme

fac¸on, on montre que l"espace vectoriel form ´e des vecteurs propres associ´es`a la valeur propre

1, d´efini par

E

1=fx2R2jAx=xg:

estengendr

´eparlevecteur0:875

1 etant donn´e le vecteur initialn0 s 0 =106 10 4 , il existe deux r

´eels uniques1et2tels que

n0 s 0 =11 1 +20:875 1

De cette

´equation, on d´eduit les deux r´eels1et2, on a

1=1646:1033

et2=1616:1033

On peut alors exprimer le vecteur

nk s k , on a nk s k =Akn0 s 0 =1Ak1 1 +2Ak0:875 1 =1(0:5)k1 1 +20:875 1 D"o `unk s k =1646:1033 (0:5)k1 1 +1616:1033
0:875 1

On a ainsi r

´esolu le probl`eme du calcul de la r´epartition de la population lak-i`eme ann´ee sans avoir `a faire le produit de la matriceApar elle-mˆemek-fois. Siktend vers l"infini, on a de fac¸on imm

´ediate que

lim k!+1 nk s k =1616:1033 0:875 1 =471333;33

538666;66

Nous retrouvons les valeurs num

´eriques obtenues en (6.1).

CHAPITRE 6. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES5

x2 Valeurs propres et espaces propres

6.2.1. D

´efinitions.-SoitAune matrice deMn(K). Un scalairedansKest appel´evaleur propredeA, si l"une des conditions´equivalentes suivantes est v´erifi´ee : i)Ker(A1n)6=f0g, ii)det(A1n) = 0, iii)il existe un vecteur non nulxdeKn, solution de l"´equation Ax=x: L" ´equivalence des assertionsi),ii)est imm´ediate. L"assertioniii)est une simple reformula- tion dei) Un vecteurxv´erifiant l"assertioniii)est appel´evecteur propredeAassoci´e`a la valeur propre. Le sous ensemble deKform´e des valeurs propres deAest appel´e lespectresurKde la matriceAet sera not´e dans la suiteSpK(A), ouSp(A)s"il n"y a pas de confusion possible avec le corps de base.

6.2.2. Exemple.-Consid´erons la matrice suivante deM2(R):

A=0 1 1 0

Alors, on a

0 1 1 0 1 1 =1 1 ainsi le vecteur 1 1 est un vecteur propre deAassoci´e`a la valeur propre1. Par ailleurs, on a 0 1 1 0 1 1 =11 1 le vecteur 1 1 est un vecteur propre deAassoci´e`a la valeur propre1.

6.2.3. Sous-espaces propres.-6.2.4 Proposition.-SoitAune matrice deMn(K)et soitune valeur propre deA.

L"ensemble des vecteurs propres associ

´es`a

E =fx2KnjAx=xg est un sous-espace vectoriel deKn. De plus, le sous-espaceEest stable parA,i.e., le vecteurAxappartient`aE, pour tout vecteurxdeE.

6CHAPITRE 6. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES

Preuve.On v ´erifie que l"ensembleEcontient le vecteur nul et que sixetysont deux vecteurs deEetetdeux scalaires, alors

A(x+y) =Ax+Ay;

=x+y; =(x+y):

Montrons la stabilit

´e du sous-espaceEparA. Six2E, on a

A(Ax) =A(x) =Ax;

doncAx2E.

6.2.5. D

´efinition.-L"espaceEest appel´e lesous-espace proprede la matriceAassoci´e`a la valeur propre.

6.2.6. Remarque.-Pour la preuve de la proposition 6.2.4, on peut remarquer aussi que

E = Ker(A1n)est un sous-espace vectoriel deKn, en tant que noyau d"une matrice. En particulier, une matriceAadmet0comme valeur propres si, et seulement si, elle est non inversible. Le sous-espace propre associ

´e`a la valeur propre0est alorsKer(A).

6.2.7. Exemple.-Nous avons montr´e que la matrice

A=0 1 1 0 admet pour valeur propres1et1. Les sous-espaces propres associ´es sont E

1= Vect(1

1 ); E1= Vect(1 1

6.2.8. Somme de sous-espaces propres.-SoitAune matrice deMn(K)admettant deux

valeurs propres distinctes1et2. Les sous-espaces propresE1etE2sont alors en somme directe. En effet, sixest un vecteur propre deAassoci´e aux deux valeurs propres1et2. On a

Ax=1xetAx=2x:

D"o `u (12)x=0: Comme les valeurs propres1et2sont suppos´ees distinctes, on en d´eduit quex=0. On a donc E

1\E2=f0g:

C"est ainsi queE1etE2sont en somme directe. Plus g´en´eralement on a :6.2.9 Proposition.-Soient1;:::;pdes valeurs propres d"une matriceAdeMn(K),

distinctes deux `a deux. Les sous-espaces propresE1; ::: ; Epsont en somme directe.

CHAPITRE 6. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES7

Preuve.On proc `ede par r´ecurrence sur le nombrepde valeurs propres distinctes. Sip= 1, il n"y a rien `a d´emontrer. Supposons que les sous-espacesE1,:::,Epsoient en somme directe. D"apr `es 2.3.9, c"est´equivalent`a E

1\E2=f0g;(E1+E2)\E3=f0g; ::: ;(E1+E2++Ep1)\Ep=f0g:

Pour montrer que les sous-espacesE1;:::;Ep;Ep+1sont en somme directe, il suffit de mon- trer que (E1+E2++Ep)\Ep+1=f0g: Soitx=x1++xpun vecteur de(E1+E2++Ep)\Ep+1, o`uxk2Ek, pour tout k2J1;pK. CommeAxk=kxk, on a

Ax=1x1++pxp:

Par ailleurs,xest un vecteur propre associ´e`ap+1, d"o`u

Ax=p+1x=p+1x1++p+1xp:

Par suite,

0= (1p+1)x1++ (pp+1)xp:

Les sous-espacesE1,:::,Ep´etant en somme directe,0=0E1++0Epest la seule d

´ecomposition de0. D"o`u, pour toutk2J1;pK,

(kk+1)xk=0Ek; Comme les valeurs propresisont deux`a deux distinctes, tous les vecteursxksont nuls, par suite le vecteurxest nul. Ainsi, le sous-espace(E1+E2++Ep)\Ep+1est trivial et les sous-espacesE1;:::;Ep;Ep+1forment une somme directe. Decer

1;:::;n, alors

K n=E1:::En:

6.2.10. Exemple.-Consid´erons la matrice suivante deM2(R)

A=1 1 1 1 La matriceAest de rang1, du th´eor`eme du rang, on d´eduit que son noyauKer(A), qui est le sous-espace propre associ ´e`a la valeur propre0, est de dimension1. On remarque que E

0= Vect(e1)avece1=1

1 . On remarque aussi que le vecteure2=1 1 est vecteur propre deAassoci´e`a la valeur propre2, carAe2= 2e2. Le sous-espace propreE2est de dimension1et engendr´e par le vecteure2. Les vecteure1ete2forment une baseBdeR2, on a : R

2=E0E2:

Consid

´erons la matrice de passage de la base canonique deR2`a la baseB: P

BCan=1 1

1 1

8CHAPITRE 6. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES

Elle admet pour inverse la matrice

P

BCan1=12

11 1 1 On v

´erifie alors que0 0

0 2 =PBCan1APBCan:

6.2.11 Exercice.-D´eterminer les valeurs propres et espaces propres des matrices suivantes

deM3(R): a) 2

40 0 0

0 0 0

0 0 03

5 ;b)2

40 0 1

0 0 0quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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