SECOND DEGRÉ (Partie 1)
Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation x =? . Méthode :
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de la forme le minimum ? est atteint lorsque a(x ? ?)2 = 0.
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation x = ? b. 2a.
Le maximum ou le minimum dune fonction du second degré
Le maximum ou le minimum d'une fonction du second degré servent de fonctions du second degré pour déterminer la hauteur maximale d'une arche ou la ...
LA DÉRIVÉE SECONDE
La rubrique précédente nous a permis d'analyser une fonction par sa dérivée première. Les points stationnaires critiques
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
Définition : Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole. Exemple : La fonction f définie sur ? par. 2. ( ).
Le maximum ou le minimum dune fonction du second degré (suite)
Le maximum ou le minimum d'une fonction du second degré. (suite). La factorisation partielle. Puisque le sommet se situe sur l'axe de symétrie de la
G. VALIRON - Sur le maximum et le minimum des fonctions de deux
SUR LE MAXIMUM ET LE MINIMUM DES FONCTIONS. DE DEUX VARIABLES ;. PAR M. G. VALIRON. (2) Le cas où les termes du second degré sont de la forme Xx2.
X. Algorithmes doptimisation
arrive à la solution (maximum ou minimum). Les algorithmes d'optimisation ont besoin en général des dérivées de premier et deuxième dégré de la fonction ...
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
Remarque : Soit la fonction f définie sur ? par : ( ) = + + avec ?0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour = ? . (
SECOND DEGRÉ - Chapitre 1/2
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/WVYWdN13kPE Partie 1 : Fonction polynôme du second degréDéfinition : On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction ! définie sur ℝ
par une expression de la forme : où les coefficients ', ) et * sont des réels donnés avec '≠0.Remarque :
Une fonction polynôme du second degré s'appelle également " trinôme ».Exemples et contre-exemples :
=3$ -7$+3 0 1 2 -5$+ 3 5 =4-2$ sont des fonctions polynômes du second degré. 6 $-4 5-2$ 7 =5$-3 est une fonction polynôme du premier degré (fonction affine). 8 =5$ -7$ +3$-8 est une fonction polynôme de degré 4. Partie 2 : Forme canonique d'une fonction polynôme du second degréPropriété :
Toute fonction polynôme ! du second degré définie sur ℝ par ! +)$+* peut s'écrire sous la forme : +;, où : et ; sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de !.Démonstration :
Comme '≠0, on peut écrire :
2' 2' A+* 2' 2' A+* 2 2' 4' 2' 4' 2' -4'* 4' +; avec :=- et ;= - Méthode : Déterminer la forme canonique d'une fonction polynôme du second degréVidéo https://youtu.be/JcT6kph74O0
Vidéo https://youtu.be/OQHf-hX9JhM
Soit la fonction polynôme ! du second degré définie sur ℝ par : ! =2$ -20$+10.Écrire ! sous sa forme canonique.
Correction
On veut exprimer la fonction ! sous sa forme canonique : =J($ -J) 2 + J où J, J et J sont des nombres réels. =2$ -20$+10 =2 -10$ +10 =2 $!-10$+25 -25 +10 =2 ($-5)! -25 +10 =2 $-5 -50+10 =2 $-5 -40 !($)=2 $-5 -40 est la forme canonique de !. Partie 3 : Variations, extremum et représentation graphique1) Variations
Propriétés :
Soit ! une fonction polynôme du second degré, telle que ! - Si ' est positif, ! est d'abord décroissante, puis croissante : " ! ». - Si ' est négatif, ! est d'abord croissante, puis décroissante : " ☹ ». ← car $ -10$ est le début du développement de $-5 et ($-5)!=$!-10$+25 3 '>0 '<02) Extremum
Exemple : Soit la fonction ! donnée sous sa forme canonique par : ! =2 $-1 +3On a : 2
$-1 ≥0Donc : 2
$-1 +3≥3Soit : !($)≥3
Or : !
1 =3 donc pour tout $, ! ≥!(1). ! admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3.Propriété :
Soit ! une fonction polynôme du second degré définie par !($)=' avec '≠0. - Si '>0, ! admet un minimum pour $=:. Ce minimum est égal à ;. - Si '<0, ! admet un maximum pour$=:. Ce maximum est égal à ;.Propriété : Pour !($)='$
+)$+*, avec '≠0, on a : :=- et ;=!H- 2) I 4Si '>0: Si '<0 :
Définition :
La représentation graphique d'une fonction polynôme ! du second degré s'appelle une parabole.Le point de coordonnées
s'appelle le sommet de la parabole.Il correspond à l'extremum de la fonction !.
Propriété :
La parabole admet pour axe de symétrie la droite d'équation $=:. Méthode : Déterminer les caractéristiques d'une paraboleVidéo https://youtu.be/7IOCVfUnoz0
Soit la fonction polynôme du second degré défini par !($)=2$ -12$+1. Déterminer le sommet de la parabole de ! et son axe de symétrie.Correction
- Les coordonnées du sommet de la parabole sont , avec : 2' -122×2
=3 2' 3 =2×3 -12×3+1=-17Le point de coordonnées
3;-17 est donc le sommet de la parabole.Remarque : Comme '=2>0, ce sommet correspond
à un minimum.
- La parabole possède un axe de symétrie d'équation , soit $=3. La droite d'équation $=3 est donc axe de symétrie de la parabole. 53) Représentation graphique
Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme du second degréVidéo https://youtu.be/KK76UohzUW4
Représenter graphiquement la fonction polynôme ! du second degré définie sur ℝ par +4$.Correction
Commençons par écrire la fonction ! sous sa forme canonique : +4$ -4$ -4$+4-4 $-2 -4 $-2 +4 ! admet donc un maximum en :=2 égal à ;=4. Remarque : On peut aussi appliquer les formules :=- et ;=!H- 2) I Les variations de ! sont donc données dans le tableau suivant : Pour représenter graphiquement la fonction !, on calcule les coordonnées de quelques points appartenant à la courbe : 0 = -(0) +4×0=0 1 = -(1) +4×1=-1+4=3 On obtient d'autres points par symétrie par rapportà la droite d'équation $=2.
On trace la courbe représentative de ! ci-contre.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] maximum minimum fonction seconde
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