Exercices corrigés
La fonction f étant convexe sur Df elle admet un minimum global en (2
VARIATIONS DUNE FONCTION
Exercice : Déterminer les variations d'une fonction. Vidéo https://youtu.be/zHYaPOWi4Iw. Vidéo https://youtu.be/__KaMRG51Ts. 2. Maximum et minimum.
Exercices corrigés
Fonction renvoyant plusieurs valeurs sous forme d'un tuple. Écrire une fonction minMaxMoyqui reçoit une liste d'entiers et qui renvoie le minimum le maximum et
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La preuve du sens de variation de la fonction inverse est l'objet de l'exercice 32 . B. Maximum et minimum d'une fonction. DÉFINITION : Maximum minimum et
2020 Variations des Fonctions 2nde Soit f une fonction définie sur
I Variations (séance1 cours+exercices : 2h) Remarque : Une fonction peut ne pas avoir de maximum ou de minimum en particulier lorsqu'elle est.
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La preuve du sens de variation de la fonction inverse est l'objet de l'exercice 32 . B. Maximum et minimum d'une fonction. DÉFINITION : Maximum minimum et
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les d'incertitude et pour trouver les extrema (maximum minimum) d'une fonction de.
Majorant minorant
minimum.
Exercices de mathématiques - Exo7
Tous les exercices. Table des matières 49 120.02 Maximum minimum
Fonctions de deux variables
alors f atteint son maximum et son minimum soit sur le bord du rectangle soit en des points critiques. Exemple. On consid`ere la fonction f := (x
1 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVARIATIONS D'UNE FONCTION
Tout le cours sur les variations en vidéo : https://youtu.be/i8aYSIidNlk Tout le cours sur les fonctions affines en vidéo : https://youtu.be/n5_pRx4ozIg Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes1. Définitions
On a représenté ci-dessous dans un repère la fonction définie par =5- Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite :Sur l'intervalle [0;2,5], on
monte, on dit que la fonction est croissante.Sur l'intervalle [2,5;5], on
descend, on dit que la fonction est décroissante. est décroissante sur 2,5;5Si augmente (3<4),
alors () diminue ((3)>(4)). est croissante sur 0;2,5Si augmente (1<2),
alors ()augmente ((1)<(2)).2 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction est croissante, - une fonction est décroissante, si < alors . si < alorsRemarques :
• Pour une fonction constante : on a toujours • Dire que est monotone signifie que est soit croissante, soit décroissante. • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. Exercice : Déterminer les variations d'une fonctionVidéo https://youtu.be/zHYaPOWi4Iw
Vidéo https://youtu.be/__KaMRG51Ts
2. Maximum et minimum
Exemple : On reprend la fonction définie dans l'exemple de la partie 1.Sur l'intervalle [0;5], on a :
2,5 =6,25. On dit que 6,25 est le maximum de la fonction . Ce maximum est atteint en 2,5.3 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction admet un maximum en , si pour tout , - une fonction admet un minimum en , si pour tout ,Remarque : Un minimum ou un maximum
s'appelle un extremum.TP avec Python :
Approcher un extremum par la méthode du balayage3. Tableau de variations
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone. Méthode : Déterminer graphiquement les variations d'une fonction et dresser le tableau de variationsVidéo https://youtu.be/yGqqoBMq8Fw
On considère la représentation graphique la fonction :4 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr a) Sur quel intervalle la fonction est-elle définie ? b) Donner les variations de la fonction. c) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints. d) Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.Correction
a) La fonction est définie sur [-5;7]. b) La fonction est croissante sur les intervalles [-4;0] et [5;7]. Elle est décroissante sur les intervalles [-5;-4] et [0;5]. c) Le maximum de est 3,5. Il est atteint en =0. Le minimum de est -4. Il est atteint en =-4 . d)Partie 2 : Cas des fonctions affines
1. Définitions
Définitions : Une fonction affine est définie sur ℝ par =+, où et sont deux nombres réels. Lorsque =0, la fonction définie par = est une fonction linéaire.Exemples :
• Fonction affine : =-+6 • Fonction linéaire :2. Variations
Propriété : Soit une fonction affine définie sur ℝparSi >0, alors est croissante.
Si <0, alors est décroissante.
Si =0, alors est constante.
Démonstration :
Soient et deux nombres réels tels que <.On sait que < donc ->0.
Le signe de
est le même que celui de .5 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr - Si >0, alors > 0 soitDonc est croissante.
- Si =0, alors = 0 soitDonc est constante.
- Si <0, alors < 0 soitDonc est décroissante.
Méthode : Déterminer les variations d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/9x1mMKopdI0
Déterminer les variations des fonctions affines suivante : a) =3+2 b) =7-6 c) ℎCorrection
1)
=3+2 >0 donc est croissante.2)
=7-6=-6+7 <0 donc est décroissante.3) ℎ
=-=-1 <0 donc ℎ est décroissante.3. Représentation graphique
Propriétés :
- Une fonction affine est représentée par une droite. - Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine du repère. Soit la fonction affine définie par ()=+. s'appelle le coefficient directeur s'appelle l'ordonnée à l'origine. Méthode : Déterminer graphiquement une fonction affineVidéo https://youtu.be/OnnrfqztpTY
Vidéo https://youtu.be/fq2sXpbdJQg
Vidéo https://youtu.be/q68CLk2CNik
Déterminer graphiquement l'expression des fonctions et représentées respectivement
par les droites (d) et (d').6 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
Ce nombre s'appelle le coefficient directeur.
Si on avance de 1 : on monte de .
Ce nombre s'appelle l'ordonnée à l'origine.
- se lit sur l'axe des ordonnées.Pour (d) : Le coefficient directeur est 2
L'ordonnée à l'origine est -2
L'expression de la fonction est :
=2-2Pour (d') : Le coefficient directeur est -0,5
L'ordonnée à l'origine est -1
L'expression de la fonction est :
=-0,5-1 Propriété des accroissements : Soit la fonction affine définie sur ℝ par =+ et deux nombres réels distincts et .Alors : =
Démonstration :
Comme ≠, et on a : =
Remarque : Dans le calcul de ,inverser et n'a pas d'importance.En effet :
Méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/ssA9Sa3yksM
Vidéo https://youtu.be/0jX7iPWCWI4
Déterminer par calcul une expression de la fonction telle que : (-2)=4 et (3)=1.7 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
est une fonction affine, donc elle s'écrit sous la forme : • Calcul de : On a (-2)=4 et (3)=1, donc d'après la propriété des accroissements :Donc :
• Calcul de b :On a par exemple : (3)=1, donc :
×3+=1
+=1 =1+ 9 5 5 5 9 5 • D'où :Partie 3 : Cas des fonctions de référence
1. Variations de la fonction carré
Vidéo https://youtu.be/B3mM6LYdsF8
Propriété :
La fonction carré est décroissante sur l'intervalle -∞;0 et croissante sur l'intervalle0;+∞
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDémonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/gu2QnY8_9xk
On pose :
- Soit et deux nombres réels quelconques positifs tels que <. Or ->0, ≥0 et ≥0 donc ≥0 ce qui prouve que est croissante sur l'intervalle0;+∞
- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue en choisissant et deux nombres réels quelconques négatifs tels que <.2. Variations de la fonction inverse
Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y
quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24[PDF] Maximum ou minimum d'un polynôme
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